北師大版七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)第五章生活中的軸對(duì)稱單元測(cè)試題

一．選擇題（共 10 小題）
1．如圖，OP 為∠AOB 的角平分線，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別是 C、D，則下列結(jié)論 錯(cuò)誤的是（ ）

 
A．PC=PD B．∠CPD=∠DOP C．∠CPO=∠DPO D．OC=OD
2．如圖，在△ABC 中，AC 的垂直平分線分別交 AC、BC 于 E，D 兩點(diǎn)，EC=4，△ABC
的周長(zhǎng)為 23，則△ABD 的周長(zhǎng)為（ ）
A．13 B．15 C．17 D．19
3．如圖，在△ABC 中，DE 是 AC 的垂直平分線，△ABC 的周長(zhǎng)為 19cm，△ABD 的周長(zhǎng) 為 13cm，則 AE 的長(zhǎng)為（ ）
A．3cm B．6cm C．12cm D．16cm

4．如圖所示，線段 AC 的垂直平分線交線段 AB 于點(diǎn) D，∠A=50°，則∠BDC=（ ）

A．50° B．100° C．120° D．130°
 ACE 的平 分線相交于點(diǎn) D，則∠D 的度數(shù)為（ ）
A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°

6．一個(gè)等腰三角形一邊長(zhǎng)為 4cm，另一邊長(zhǎng)為 5cm，那么這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是（ ）
A．13cm B．14cm C．13cm 或 14cm D．以上都不對(duì)
7．下列圖形中不是軸對(duì)稱圖形的是（ ）

A．   B．     C．     D．

8．如圖，把一張矩形紙片 ABCD 沿 EF 折疊后，點(diǎn) A 落在 CD 邊上的點(diǎn) A′處，點(diǎn) B 落在點(diǎn)

B′處，若∠2=40°，則圖中∠1 的度數(shù)為（ ）

A．115° B．120° C．130° D．140°
 
9．如圖，D 是直角△ABC 斜邊 BC 上一點(diǎn)，AB=AD，記∠CAD=α，∠ABC=β．若α=10°， 則β的度數(shù)是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．不能確定

10．如圖，∠B=∠C，∠1=∠3，則∠1 與∠2 之間的關(guān)系是（ ）

A．∠1=2∠2 B．3∠1?∠2=180° C．∠1+3∠2=180° D．2∠1+∠2=180°

二．填空題（共 10 小題）
11．如圖，OP 為∠AOB 的平分線，PC⊥OB 于點(diǎn) C，且 PC=3，點(diǎn) P 到 OA 的距離為  ．
 

第 11 題圖 第 12 題圖 第 13 題圖
12．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為 48°，則該等腰三角形的底角的度數(shù)為  ．

13．如圖，在△ABC 中，AB=AC=6，AB 的垂直平分線交 AB 于點(diǎn) E，交 BC 于點(diǎn) D，連接
AD，若 AD=4，則 DC=  ．
14．如圖，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分線，DE⊥AB 于點(diǎn) E，S△ABC=7，DE=2，AB=4， 則 AC 的長(zhǎng)是  ．
15．如圖所示，已知△ABC 的周長(zhǎng)是 20，OB、OC 分別平分∠ABC 和∠ACB，OD⊥BC 于
D，且 OD=3，則△ABC 的面積是  ．
 

16．如圖，△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交 BC 于點(diǎn) D．已知 BD：CD=3：2，點(diǎn)

D 到 AB 的距離是 6，則 BC 的長(zhǎng)是  ．
 
17．如圖，△ABC 中，∠A=80°，∠B=40°，BC 的垂直平分線交 AB 于點(diǎn) D，連結(jié) DC，如 果 AD=3，BD=8，那么△ADC 的周長(zhǎng)為  ．
18．如圖，∠AOB 是一角度為 10°的鋼架，要使鋼架更加牢固，需在其內(nèi)部添加一些鋼管：

EF、FG、GH…，且 OE=EF=FG=GH…，在 OA、OB 足夠長(zhǎng)的情況下，最多能添加這樣的 鋼管的根數(shù)為  ．
 
 

19．已知：如圖，△ABC 中，BO，CO 分別是∠ABC 和∠ACB 的平分線，過 O 點(diǎn)的直線 分別交 AB、AC 于點(diǎn) D、E，且 DE∥BC．若 AB=6cm，AC=8cm，則△ADE 的周長(zhǎng)為  ．

20．如圖，四邊形 ABCD 中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在 BC、CD 上分別找一點(diǎn) M、

N，使△AMN 周長(zhǎng)最小時(shí)，則∠AMN+∠ANM 的度數(shù)為  ． 三．解答題（共 10 小題）
21．如圖，在△ABC 中，∠ACB=90 ?，BE 平分∠ABC，交 AC 于 E，DE 垂直平分 AB 于
D，求證：BE+DE=AC．

22．如圖，在△ABC 中，AB=AC，點(diǎn) D 是 BC 邊上的中點(diǎn)，DE、DF 分別垂直 AB、AC 于 點(diǎn) E 和 F．求證：DE=DF．
 
 
23．如圖，在△ABC 中，AB=AC，∠A=40°，BD 是∠ABC 的平分線，求∠BDC 的度數(shù)．

24．如圖，在△ABC 中，AB=AC，AD 是 BC 邊上的中線，AE⊥BE 于點(diǎn) E，且 BE= ． 求證：AB 平分∠EAD．
 
 

25．如圖，△ABC 是等邊三角形，BD 平分∠ABC，延長(zhǎng) BC 到 E，使得 CE=CD． 求證：BD=DE．
 
 
26．如圖，在△ABC 中，DM、EN 分別垂直平分 AC 和 BC，交 AB 于 M、N 兩點(diǎn)，DM 與
EN 相交于點(diǎn) F．
（1）若△CMN 的周長(zhǎng)為 15cm，求 AB 的長(zhǎng)；

（2）若∠MFN=70°，求∠MCN 的度數(shù)．

 
27．如圖，在△ABC 中，AB 的垂直平分線 MN 交 AB 于點(diǎn) D，交 AC 于點(diǎn) E，且 AC=15cm，
△BCE 的周長(zhǎng)等于 25cm．

（1）求 BC 的長(zhǎng)；（2）若∠A=36°，并且 AB=AC．求證：BC=BE

28．已知點(diǎn) D、E 在△ABC 的 BC 邊上，AD=AE，BD=CE，為了判斷∠B 與∠C 的大小關(guān) 系，請(qǐng)你填空完成下面的推理過程，并在空白括號(hào)內(nèi)，注明推理的根據(jù)．
解：作 AM⊥BC，垂足為 M
∵AD=AE，
∴△ADE 是  三角形，
∴DM=EM （  ） 又∵BD=CE，
∴BD+DM=  ，即 BM=  ； 又∵  （自己所作），
∴AM 是線段  的垂直平分線；
∴AB=AC （  ）
∴  ．
 
29．電信部門要修建一座電視信號(hào)發(fā)射塔 P，按照設(shè)計(jì)要求，發(fā)射塔 P 到兩城鎮(zhèn) A、B 的距 離必須相等，到兩條高速公路 m 和 n 的距離也必須相等．請(qǐng)?jiān)趫D中作出發(fā)射塔 P 的位置．（尺 規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）
 
 
 
30．以點(diǎn) A 為頂點(diǎn)作兩個(gè)等腰直角三角形（△ABC，△ADE），如圖 1 所示放置，使得一直 角邊重合，連接 BD，CE．
（1）說明 BD=CE；
（2）延長(zhǎng) BD，交 CE 于點(diǎn) F，求∠BFC 的度數(shù)；
（3）若如圖 2 放置，上面的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)簡(jiǎn)單說明理由．
 

北師大版七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)第五章生活中的軸對(duì)稱單元測(cè)

試題

參考答案與試題解析

一．選擇題（共 10 小題）

1．（2018•懷化）如圖，OP 為∠AOB 的角平分線，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別是 C、D， 則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）

A．PC=PD B．∠CPD=∠DOP C．∠CPO=∠DPO D．OC=OD
【分析】先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出 PC=PD，再利用 HL 證明△OCP≌△ODP，根據(jù)全等 三角形的性質(zhì)得出∠CPO=∠DPO，OC=OD．
【解答】解：∵OP 為∠AOB 的角平分線，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別是 C、D，
∴PC=PD，故 A 正確；
在 Rt△OCP 與 Rt△ODP 中，

，

∴△OCP≌△ODP，
∴∠CPO=∠DPO，OC=OD，故 C、D 正確． 不能得出∠CPD=∠DOP，故 B 錯(cuò)誤．
故選 B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．也考查了 全等三角形的判定與性質(zhì)，得出 PC=PD 是解題的關(guān)鍵．

2．（2018•天門）如圖，在△ABC 中，AC 的垂直平分線分別交 AC、BC 于 E，D 兩點(diǎn)，EC=4，

△ABC 的周長(zhǎng)為 23，則△ABD 的周長(zhǎng)為（ ）

A．13 B．15 C．17 D．19
【分析】根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出 AD=DC，AE=CE=4，求出 AC=8，AB+BC=15，求 出△ABD 的周長(zhǎng)為 AB+BC，代入求出即可．
【解答】解：∵AC 的垂直平分線分別交 AC、BC 于 E，D 兩點(diǎn)，
 
∴AD=DC，AE=CE=4， 即 AC=8，
∵△ABC 的周長(zhǎng)為 23，
∴AB+BC+AC=23，
∴AB+BC=23?8=15，
∴△ABD 的周長(zhǎng)為 AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=15， 故選 B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用，能熟記線段垂直平分線性質(zhì)定理的內(nèi)容是 解此題的關(guān)鍵，注意：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．

3．（2018•恩施州）如圖，在△ABC 中，DE 是 AC 的垂直平分線，△ABC 的周長(zhǎng)為 19cm，

△ABD 的周長(zhǎng)為 13cm，則 AE 的長(zhǎng)為（ ）

A．3cm  B．6cm  C．12cm D．16cm
【分析】根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出 AD=DC，AE=CE= AC，求出 AB+BC+AC=19cm，
AB+BD+AD=AB+BC=13cm，即可求出 AC，即可得出答案．
【解答】解：∵DE 是 AC 的垂直平分線，
∴AD=DC，AE=CE= AC，
∵△ABC 的周長(zhǎng)為 19cm，△ABD 的周長(zhǎng)為 13cm，
∴AB+BC+AC=19cm，AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=13cm，
∴AC=6cm，
∴AE=3cm， 故選 A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用，能熟記線段垂直平分線性質(zhì)定理的內(nèi)容是 解此題的關(guān)鍵，注意：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．

4．（2018•黃石）如圖所示，線段 AC 的垂直平分線交線段 AB 于點(diǎn) D，∠A=50°，則∠BDC=

（ ）

 

A．50° B．100° C．120° D．130°
 
【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到 DA=DC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠DCA=∠A， 根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)計(jì)算即可．
【解答】解：∵DE 是線段 AC 的垂直平分線，
∴DA=DC，

∴∠DCA=∠A=50°，

∴∠BDC=∠DCA+∠A=100°， 故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分
線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．

5．（2018•棗莊）如圖，在△ABC 中，AB=AC，∠A=30°，E 為 BC 延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠ABC

與∠ACE 的平分線相交于點(diǎn) D，則∠D 的度數(shù)為（ ）
 

A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°

【分析】先根據(jù)角平分線的定義得到∠1=∠2，∠3=∠4，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠1+∠
2=∠3+∠4+∠A，∠1=∠3+∠D，則 2∠1=2∠3+∠A，利用等式的性質(zhì)得到∠D= ∠A，然 后把∠A 的度數(shù)代入計(jì)算即可．
【解答】解：∵∠ABC 的平分線與∠ACE 的平分線交于點(diǎn) D，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠ACE=∠A+∠ABC， 即∠1+∠2=∠3+∠4+∠A，
∴2∠1=2∠3+∠A，
∵∠1=∠3+∠D，
∴∠D= ∠A= ×30°=15°． 故選 A．
 
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是根據(jù)三角形內(nèi)角和是 180°和三角形外角性質(zhì) 進(jìn)行分析．

6．（2018•湘西州）一個(gè)等腰三角形一邊長(zhǎng)為 4cm，另一邊長(zhǎng)為 5cm，那么這個(gè)等腰三角形 的周長(zhǎng)是（ ）
A．13cmB．14cm C．13cm 或 14cm D．以上都不對(duì)
【分析】分 4cm 為等腰三角形的腰和 5cm 為等腰三角形的腰，先判斷符合不符合三邊關(guān)系， 再求出周長(zhǎng)．
【解答】解：當(dāng) 4cm 為等腰三角形的腰時(shí)， 三角形的三邊分別是 4cm，4cm，5cm 符合三角形的三邊關(guān)系，
∴周長(zhǎng)為 13cm；
當(dāng) 5cm 為等腰三角形的腰時(shí)， 三邊分別是，5cm，5cm，4cm，符合三角形的三邊關(guān)系，
∴周長(zhǎng)為 14cm， 故選 C
【點(diǎn)評(píng)】此題是等腰三角形的性質(zhì)題，主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系， 分類考慮是解本題的關(guān)鍵．

7．（2018•瀘州）下列圖形中不是軸對(duì)稱圖形的是（ ）

A．   B．     C．     D．
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念求解．
【解答】解：根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念可知：A，B，D 是軸對(duì)稱圖形，C 不是軸對(duì)稱圖形， 故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念：軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分沿對(duì) 稱軸折疊后可重合．

8．（2018•聊城）如圖，把一張矩形紙片 ABCD 沿 EF 折疊后，點(diǎn) A 落在 CD 邊上的點(diǎn) A′

處，點(diǎn) B 落在點(diǎn) B′處，若∠2=40°，則圖中∠1 的度數(shù)為（ ）

 

A．115° B．120° C．130° D．140°
 
【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)得出∠BFE=∠EFB'，∠B'=∠B=90°，根據(jù)三角形內(nèi) 角和定理求出∠CFB'=50°，進(jìn)而解答即可．
【解答】解：∵把一張矩形紙片 ABCD 沿 EF 折疊后，點(diǎn) A 落在 CD 邊上的點(diǎn) A′處，點(diǎn) B

落在點(diǎn) B′處，

∴∠BFE=∠EFB'，∠B'=∠B=90°，

∵∠2=40°，

∴∠CFB'=50°，

∴∠1+∠EFB'?∠CFB'=180°， 即∠1+∠1?50°=180°， 解得：∠1=115°，
故選 A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用性 質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，注意：折疊后的兩個(gè)圖形全等．

9．（2018•莊河市自主招生）如圖，D 是直角△ABC 斜邊 BC 上一點(diǎn)，AB=AD，記∠CAD=α，

∠ABC=β．若α=10°，則β的度數(shù)是（ ）

 

A．40° B．50° C．60° D．不能確定

【分析】根據(jù) AB=AD，可得出∠B=∠ADB，再由∠ADB=α+∠C，可得出∠C=β?10°，再 根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出β即可．
【解答】解：∵AB=AD，
∴∠B=∠ADB，

∵α=10°，∠ADB=α+∠C，
 
∴∠C=β?10°，

∵∠BAC=90°，

∴∠B+∠C=90°， 即β+β?10°=90°， 解得β=50°，
故選 B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理以及三角形外角的性質(zhì)，是基 礎(chǔ)知識(shí)要熟練掌握．

10．（2018•孝感模擬）如圖，∠B=∠C，∠1=∠3，則∠1  與∠2 之間的關(guān)系是（   ）

 

A．∠1=2∠2 B．3∠1?∠2=180°    C．∠1+3∠2=180°      D．2∠1+∠2=180°

【分析】由已知條件∠B=∠C，∠1=∠3，在△ABD 中，由∠1+∠B+∠3=180°，可推出結(jié)論．

【解答】解：∵∠1=∠3，∠B=∠C，∠1+∠B+∠3=180°，

∴2∠1+∠C=180°，

∴2∠1+∠1?∠2=180°，

∴3∠1?∠2=180°． 故選 B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)的應(yīng)用．

二．填空題（共 10 小題）

11．（2018•常德）如圖，OP 為∠AOB 的平分線，PC⊥OB 于點(diǎn) C，且 PC=3，點(diǎn) P 到 OA

的距離為  3  ．
 
 
【分析】過 P 作 PD⊥OA 于 D，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得 PD=PC， 從而得解．
【解答】解：如圖，過 P 作 PD⊥OA 于 D，
∵OP 為∠AOB 的平分線，PC⊥OB，
∴PD=PC，
∵PC=3，
∴PD=3． 故答案為：3．
 

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

12．（2018•通遼）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為 48°，則該等腰三角形的底角的 度數(shù)為  69°或 21°   ．
【分析】分兩種情況討論：①若∠A＜90°；②若∠A＞90°；先求出頂角∠BAC，再利用三角 形內(nèi)角和定理即可求出底角的度數(shù)．
【解答】解：分兩種情況討論：

①若∠A＜90°，如圖 1 所示：

∵BD⊥AC，

∴∠A+∠ABD=90°，

∵∠ABD=48°，

∴∠A=90°?48°=42°，

∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C= （180°?42°）=69°；

②若∠A＞90°，如圖 2 所示： 同①可得：∠DAB=90°?48°=42°，
∴∠BAC=180°?42°=138°，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C=   （180°?138°）=21°；
 
綜上所述：等腰三角形底角的度數(shù)為 69°或 21°． 故答案為：69°或 21°．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)以及余角和鄰補(bǔ)角的定義；注意分類討論方法的運(yùn)用， 避免漏解．

13．（2018•牡丹江）如圖，在△ABC 中，AB=AC=6，AB 的垂直平分線交 AB 于點(diǎn) E，交

BC 于點(diǎn) D，連接 AD，若 AD=4，則 DC=  5  ．

【分析】過 A 作 AF⊥BC 于 F，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到 BF=CF= BC，由 AB 的垂直 平分線交 AB 于點(diǎn) E，得到 BD=AD=4，設(shè) DF=x，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．
【解答】解：過 A 作 AF⊥BC 于 F，
∵AB=AC，
∴BF=CF= BC，
∵AB 的垂直平分線交 AB 于點(diǎn) E，
∴BD=AD=4， 設(shè) DF=x，
∴BF=4+x，
∵AF2=AB2?BF2=AD2?DF2， 即 16?x2=36?（4+x）2，
∴x=0.5，
∴DF=0.5，
∴CD=CF+DF=BF+DF=BD+2DF=4+0.5×2=5，
 
故答案為：5．

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握 轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．

14．（2018•營(yíng)口模擬）如圖，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分線，DE⊥AB 于點(diǎn) E，S△ABC=7，
DE=2，AB=4，則 AC 的長(zhǎng)是  3  ．

【分析】過點(diǎn) D 作 DF⊥AC 于 F，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得 DE=DF， 再根據(jù) S△ABC=S△ABD+S△ACD 列出方程求解即可．
【解答】解：如圖，過點(diǎn) D 作 DF⊥AC 于 F，
∵AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分線，DE⊥AB，
∴DE=DF，
由圖可知，S△ABC=S△ABD+S△ACD，
×4×2+ ×AC×2=7， 解得 AC=3．
故答案為 3．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

15．（2018•邯鄲二模）如圖所示，已知△ABC 的周長(zhǎng)是 20，OB、OC 分別平分∠ABC 和∠

ACB，OD⊥BC 于 D，且 OD=3，則△ABC 的面積是  30  ．

 
【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得點(diǎn) O 到 AB、AC、BC 的距離都相 等（即 OE=OD=OF），從而可得到△ABC 的面積等于周長(zhǎng)的一半乘以 3，代入求出即可．

【解答】解：如圖，連接 OA，過 O 作 OE⊥AB 于 E，OF⊥AC 于 F，
∵OB、OC 分別平分∠ABC 和∠ACB，
∴OE=OF=OD=3，
∵△ABC 的周長(zhǎng)是 22，OD⊥BC 于 D，且 OD=3，
∴S△ABC= ×AB×OE+ ×BC×OD+ ×AC×OF= ×（AB+BC+AC）×3
= 20×3=30， 故答案為：30．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，判斷出三角形的面積與
周長(zhǎng)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

16．（2018•白云區(qū)校級(jí)二模）如圖，△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交 BC 于點(diǎn) D．已 知 BD：CD=3：2，點(diǎn) D 到 AB 的距離是 6，則 BC 的長(zhǎng)是  15  ．
 

【分析】作 DE⊥AB 于 E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到 CD=DE，根據(jù)題意求出 BD 的長(zhǎng)，計(jì) 算即可．
【解答】解：作 DE⊥AB 于 E，

∵AD 平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，

∴CD=DE=6，又 BD：CD=3：2，
∴BD=9，
∴BC=BD+DC=15， 故答案為：15．

 
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解 題的關(guān)鍵．

17．（2018•句容市一模）如圖，△ABC 中，∠A=80°，∠B=40°，BC 的垂直平分線交 AB 于 點(diǎn) D，連結(jié) DC，如果 AD=3，BD=8，那么△ADC 的周長(zhǎng)為  19  ．
 
【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到 DB=DC，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的 性質(zhì)證明 CA=CD=DB=8，根據(jù)三角形周長(zhǎng)公式計(jì)算即可．
【解答】解：∵BC 的垂直平分線交 AB 于點(diǎn) D，
∴DB=DC，

∴∠DCB=∠B=40°，

∵∠A=80°，∠B=40°，

∴∠ACB=60°，

∴∠ACD=20°，

∴∠ADC=80°，

∴CA=CD=DB=8，
∴△ADC 的周長(zhǎng)=AD+AC+CD=19， 故答案為：19．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理以及等腰三角形的性質(zhì)， 掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．

18．（2018•河北模擬）如圖，∠AOB 是一角度為 10°的鋼架，要使鋼架更加牢固，需在其內(nèi) 部添加一些鋼管：EF、FG、GH…，且 OE=EF=FG=GH…，在 OA、OB 足夠長(zhǎng)的情況下，
最多能添加這樣的鋼管的根數(shù)為  8  ．

【分析】根據(jù)已知利用等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，找出圖中存在的規(guī)律，根據(jù) 規(guī)律及三角形的內(nèi)角和定理不難求解．

【解答】解：∵添加的鋼管長(zhǎng)度都與 OE 相等，∠AOB=10°，
 
∴∠GEF=∠FGE=20°，…從圖中我們會(huì)發(fā)現(xiàn)有好幾個(gè)等腰三角形，即第一個(gè)等腰三角形的 底角是 10°，第二個(gè)是 20°，第三個(gè)是 30°，四個(gè)是 40°，五個(gè)是 50°，六個(gè)是 60°，七個(gè)是 70°， 八個(gè)是 80°，九個(gè)是 90°就不存在了．所以一共有 8 個(gè)．
故答案為 8．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了三角形的內(nèi)角和是 180 度的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性 質(zhì)；發(fā)現(xiàn)并利用規(guī)律是正確解答本題的關(guān)鍵．

19．（2018•淮安一模）已知：如圖，△ABC 中，BO，CO 分別是∠ABC 和∠ACB 的平分 線，過 O 點(diǎn)的直線分別交 AB、AC 于點(diǎn) D、E，且 DE∥BC．若 AB=6cm，AC=8cm，則△
ADE 的周長(zhǎng)為  14cm  ．
 
【分析】?jī)芍本�平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，以及根據(jù)角平分線性質(zhì)，可得△OBD、△EOC 均為等 腰三角形，由此把△AEF 的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為 AC+AB．
【解答】解：∵DE∥BC
∴∠DOB=∠OBC，
又∵BO 是∠ABC 的角平分線，
∴∠DBO=∠OBC，
∴∠DBO=∠DOB，
∴BD=OD， 同理：OE=EC，
∴△ADE 的周長(zhǎng)=AD+OD+OE+EC=AD+BD+AE+EC=AB+AC=14cm． 故答案是：14cm．
 
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)和等腰三角形的判定及性質(zhì)，正確證明△OBD、△EOC
均為等腰三角形是關(guān)鍵．

20．（2018•廣東校級(jí)一模）如圖，四邊形 ABCD 中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在 BC、

CD 上分別找一點(diǎn) M、N，使△AMN 周長(zhǎng)最小時(shí)，則∠AMN+∠ANM 的度數(shù)為  100°   ．
 
 

【分析】作點(diǎn) A 關(guān)于 BC 的對(duì)稱點(diǎn) A′，關(guān)于 CD 的對(duì)稱點(diǎn) A″，根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問

題，連接 A′A″與 BC、CD 的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn) M、N，利用三角形的內(nèi)角和定理列式求出

∠A′+∠A″，再根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)和三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得

∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″），然后計(jì)算即可得解．

【解答】解：如圖，作點(diǎn) A 關(guān)于 BC 的對(duì)稱點(diǎn) A′，關(guān)于 CD 的對(duì)稱點(diǎn) A″， 連接 A′A″與 BC、CD 的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn) M、N，
∵∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，

∴∠A′+∠A″=180°?∠130°=50°， 由軸對(duì)稱的性質(zhì)得：∠A′=∠A′AM，∠A″=∠A″AN，
∴∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″）=2×50°=100°． 故答案為：100°．
 
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱確定最短路線問題，軸對(duì)稱的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角 形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，確定出點(diǎn) M、N 的位置是解題的關(guān) 鍵，要注意整體思想的利用．

三．解答題（共 10 小題）
 
21．（2018•歷下區(qū)一模）如圖，在△ABC 中，∠ACB=90 ?，BE 平分∠ABC，交 AC 于 E，

DE 垂直平分 AB 于 D， 求證：BE+DE=AC．
【分析】根據(jù)角平分線性質(zhì)得出 CE=DE，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出 AE=BE，代入
AC=AE+CE 求出即可．

【解答】證明：∵∠ACB=90°，

∴AC⊥BC，
∵ED⊥AB，BE 平分∠ABC，
∴CE=DE，
∵DE 垂直平分 AB，
∴AE=BE，
∵AC=AE+CE，
∴BE+DE=AC．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線性質(zhì)和線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用，注意：線段垂直平分線上 的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．

22．（2018•歷下區(qū)一模）如圖，在△ABC 中，AB=AC，點(diǎn) D 是 BC 邊上的中點(diǎn)，DE、DF

分別垂直 AB、AC 于點(diǎn) E 和 F． 求證：DE=DF．
 
【分析】D 是 BC 的中點(diǎn)，那么 AD 就是等腰三角形 ABC 底邊上的中線，根據(jù)等腰三角形 三線合一的特性，可知道 AD 也是∠BAC 的角平分線，根據(jù)角平分線的點(diǎn)到角兩邊的距離 相等，那么 DE=DF．
【解答】證明： 證法一：連接 AD．
∵AB=AC，點(diǎn) D 是 BC 邊上的中點(diǎn)
∴AD 平分∠BAC（三線合一性質(zhì)），
∵DE、DF 分別垂直 AB、AC 于點(diǎn) E 和 F．
∴DE=DF（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等）． 證法二：在△ABC 中，
 
∵AB=AC

∴∠B=∠C（等邊對(duì)等角） …（1 分）

∵點(diǎn) D 是 BC 邊上的中點(diǎn)

∴BD=DC             …（2 分）

∵DE、DF 分別垂直 AB、AC 于點(diǎn) E 和 F

∴∠BED=∠CFD=90°…（3 分） 在△BED 和△CFD 中
∵ ，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE=DF（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)；利用等腰三角形三線合 一的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．

23．（2018•長(zhǎng)春二模）如圖，在△ABC 中，AB=AC，∠A=40°，BD 是∠ABC 的平分線， 求∠BDC 的度數(shù)．

【分析】首先由 AB=AC，利用等邊對(duì)等角和∠A 的度數(shù)求出∠ABC 和∠C 的度數(shù)，然后由 BD 是∠ABC 的平分線，利用角平分線的定義求出∠DBC 的度數(shù)，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和 定理即可求出∠BDC 的度數(shù)．

【解答】解：∵AB=AC，∠A=40°，

∴∠ABC=∠C= =70°，
∵BD 是∠ABC 的平分線，

∴∠DBC=   ∠ABC=35°，
 
∴∠BDC=180°?∠DBC?∠C=75°．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解答 本題的關(guān)鍵是正確識(shí)圖，利用等腰三角形的性質(zhì)：等邊對(duì)等角求出∠ABC 與∠C 的度數(shù)．

24．（2018•西城區(qū)一模）如圖，在△ABC 中，AB=AC，AD 是 BC 邊上的中線，AE⊥BE

于點(diǎn) E，且 BE= ． 求證：AB 平分∠EAD．
 
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到 BD= BC，AD⊥BC 根據(jù)角平分線的判定定理即可得 到結(jié)論．．
【解答】證明：∵AB=AC，AD 是 BC 邊上的中線，
∴BD= BC，AD⊥BC，
∵BE= BC，
∴BD=BE，
∵AE⊥BE，
∴AB 平分∠EAD．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解 題的關(guān)鍵．

25．（2018•門頭溝區(qū)一模）如圖，△ABC 是等邊三角形，BD 平分∠ABC，延長(zhǎng) BC 到 E， 使得 CE=CD．
求證：BD=DE．

 

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°，再根據(jù)角之間的關(guān) 系求得∠DBC=∠CED，根據(jù)等角對(duì)等邊即可得到 DB=DE．
 
【解答】證明：∵△ABC 是等邊三角形，BD 是中線，

∴∠ABC=∠ACB=60°．

∠DBC=30°（等腰三角形三線合一）． 又∵CE=CD，
∴∠CDE=∠CED．
又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，
∴∠CDE=∠CED= ∠BCD=30°．
∴∠DBC=∠DEC．
∴DB=DE（等角對(duì)等邊）．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查學(xué)生對(duì)等邊三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)的理解及運(yùn)用；利用三

角形外角的性質(zhì)得到∠CDE=30°是正確解答本題的關(guān)鍵．

 

26．（2018 春•吉州區(qū)期末）如圖，在△ABC 中，DM、EN 分別垂直平分 AC 和 BC，交 AB

于 M、N 兩點(diǎn)，DM 與 EN 相交于點(diǎn) F．
（1）若△CMN 的周長(zhǎng)為 15cm，求 AB 的長(zhǎng)；

（2）若∠MFN=70°，求∠MCN 的度數(shù)．

【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得 AM=CM，BN=CN， 然后求出△CMN 的周長(zhǎng)=AB；
（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式求出∠MNF+∠NMF，再求出∠A+∠B，根據(jù)等邊對(duì)等 角可得∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，然后利用三角形的內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可得解．
【解答】解：（1）∵DM、EN 分別垂直平分 AC 和 BC，
∴AM=CM，BN=CN，
∴△CMN 的周長(zhǎng)=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB，
∵△CMN 的周長(zhǎng)為 15cm，
∴AB=15cm；

（2）∵∠MFN=70°，

∴∠MNF+∠NMF=180°?70°=110°，
 
∵∠AMD=∠NMF，∠BNE=∠MNF，

∴∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF=110°，

∴∠A+∠B=90°?∠AMD+90°?∠BNE=180°?110°=70°，

∵AM=CM，BN=CN，
∴∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，

∴∠MCN=180°?2（∠A+∠B）=180°?2×70°=40°．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，等邊對(duì)等角的 性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，（2）整體思想的利用是解題的關(guān)鍵．

27．（2018 春•滕州市期末）如圖，在△ABC 中，AB 的垂直平分線 MN 交 AB 于點(diǎn) D，交

AC 于點(diǎn) E，且 AC=15cm，△BCE 的周長(zhǎng)等于 25cm．
（1）求 BC 的長(zhǎng)；

（2）若∠A=36°，并且 AB=AC．求證：BC=BE．

【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得 AE=BE，然后求出
△BCE 的周長(zhǎng)=AC+BC，再求解即可；

（2）根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠C=72°，根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的 距離相等可得 AE=BE，根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠ABE=∠A，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與 它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠BEC=72°，從而得到∠BEC=∠C，然后根據(jù)等角對(duì)等邊求解．
【解答】（1）解：∵AB 的垂直平分線 MN 交 AB 于點(diǎn) D，
∴AE=BE，
∴△BCE 的周長(zhǎng)=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC，
∵AC=15cm，
∴BC=25?15=10cm；

（2）證明：∵∠A=36°，AB=AC，

∴∠C= （180°?∠A）= （180°?36°）=72°，
∵AB 的垂直平分線 MN 交 AB 于點(diǎn) D，
∴AE=BE，
 
∴∠ABE=∠A，

由三角形的外角性質(zhì)得，∠BEC=∠A+∠ABE=36°+36°=72°，

∴∠BEC=∠C，
∴BC=BE．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，三角形的一個(gè) 外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，等角對(duì)等邊的性質(zhì)，綜合題難度不大，熟記各 性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．

28．（2018 春•衡陽縣校級(jí)期末）已知點(diǎn) D、E 在△ABC 的 BC 邊上，AD=AE，BD=CE，為 了判斷∠B 與∠C 的大小關(guān)系，請(qǐng)你填空完成下面的推理過程，并在空白括號(hào)內(nèi)，注明推理
的根據(jù)．
解：作 AM⊥BC，垂足為 M
∵AD=AE，
∴△ADE 是 等腰 三角形，
∴DM=EM （ 等腰三角形底邊上的高也是底邊上的中線  ） 又∵BD=CE，
∴BD+DM=  CE+EM  ，即 BM=  CM  ； 又∵  AM⊥BC  （自己所作），
∴AM 是線段  BC  的垂直平分線；
∴AB=AC （ 線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等  ）
∴ ∠B=∠C  ．

【分析】首先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，得 DM=EM，結(jié)合已知條件，根據(jù)等式的性質(zhì)，得 BM=CM，從而根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，得 AB=AC，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可證 明．
【解答】解：作 AM⊥BC，垂足為 M
∵AD=AE，
∴△ADE 是等腰三角形，
∴DM=EM （等腰三角形底邊上的高也是底邊上的中線） 又∵BD=CE，
∴BD+DM=CE+EM，即 BM=CM； 又∵AM⊥BC（自己所作），
∴AM 是線段 BC 的垂直平分線；
∴AB=AC （線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等）
∴∠B=∠C．
 
故答案為：等腰，等腰三角形底邊上的高也是底邊上的中線，CE+EM，CM，AM⊥BC，BC， 線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，∠B=∠C．

【點(diǎn)評(píng)】此題綜合考查了等腰三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)．等腰三角形底邊上的 高、底邊上的中線、頂角的平分線互相重合；等腰三角形的兩個(gè)底角相等．

29．（2018 秋•西市區(qū)校級(jí)期中）電信部門要修建一座電視信號(hào)發(fā)射塔 P，按照設(shè)計(jì)要求， 發(fā)射塔 P 到兩城鎮(zhèn) A、B 的距離必須相等，到兩條高速公路 m 和 n 的距離也必須相等．請(qǐng)
在圖中作出發(fā)射塔 P 的位置．（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）
 
【分析】根據(jù)題意，P 點(diǎn)既在線段 AB 的垂直平分線上，又在兩條公路所夾角的平分線上．故 兩線交點(diǎn)即為發(fā)射塔 P 的位置．
【解答】解：設(shè)兩條公路相交于 O 點(diǎn)．P 為線段 AB 的垂直平分線與∠MON 的平分線交點(diǎn)

或是與∠QON 的平分線交點(diǎn)即為發(fā)射塔的位置．如圖，滿足條件的點(diǎn)有兩個(gè)，即 P、P′．

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了線段的垂直平分線和角的平分線的性質(zhì)，屬基本作圖題．
 
30．（2018 春•長(zhǎng)清區(qū)期末）以點(diǎn) A 為頂點(diǎn)作兩個(gè)等腰直角三角形（△ABC，△ADE），如 圖 1 所示放置，使得一直角邊重合，連接 BD，CE．
 

（1）說明 BD=CE；
（2）延長(zhǎng) BD，交 CE 于點(diǎn) F，求∠BFC 的度數(shù)；
（3）若如圖 2 放置，上面的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)簡(jiǎn)單說明理由．

【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到 AB=AC，∠BAD=∠EAC=90°，AD=AE，利 用“SAS”可證明△ADB≌△AEC，則 BD=CE；
（2）由△ADB≌△AEC 得到∠ACE=∠DBA，利用三角形內(nèi)角和定理可得到∠BFC=180°

?∠ACE?∠CDF=180°?∠DBA?∠BDA=∠DAB=90°；

（3）與（1）一樣可證明△ADB≌△AEC，得到 BD=CE，∠ACE=∠DBA，利用三角形內(nèi) 角和定理得到∠BFC=∠CAB=90°．
【解答】解：（1）∵△ABC、△ADE 是等腰直角三角形，

∴AB=AC，∠BAD=∠EAC=90°，AD=AE，

∵在△ADB 和△AEC 中，

，

∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴BD=CE；

（2）∵△ADB≌△AEC，
∴∠ACE=∠ABD，

而在△CDF 中，∠BFC=180°?∠ACE?∠CDF

又∵∠CDF=∠BDA

∴∠BFC=180°?∠DBA?∠BDA

=∠DAB
 
=90°；

（3）BD=CE 成立，且兩線段所在直線互相垂直，即∠BFC=90°．理由如下：

∵△ABC、△ADE 是等腰直角三角形

∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠EAD=90°，

∵∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD
∴∠BAD=∠CAE，
∵在△ADB 和△AEC 中，

，

∴△ADB≌△AEC（SAS）
∴BD=CE，∠ACE=∠DBA，

∴∠BFC=∠CAB=90°．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、

“ASA”、“AAS”；全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)．

本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/chuyi/1175231.html

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