北師大版七年級下冊數(shù)學(xué)第五章生活中的軸對稱單元測試題
一．選擇題（共 10 小題）
1．如圖，OP 為∠AOB 的角平分線，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別是 C、D，則下列結(jié)論 錯(cuò)誤的是（ ）
A．PC=PD B．∠CPD=∠DOP C．∠CPO=∠DPO D．OC=OD
2．如圖，在△ABC 中，AC 的垂直平分線分別交 AC、BC 于 E，D 兩點(diǎn)，EC=4，△ABC
的周長為 23，則△ABD 的周長為（ ）
A．13 B．15 C．17 D．19
3．如圖，在△ABC 中，DE 是 AC 的垂直平分線，△ABC 的周長為 19cm，△ABD 的周長 為 13cm，則 AE 的長為（ ）
A．3cm B．6cm C．12cm D．16cm
4．如圖所示，線段 AC 的垂直平分線交線段 AB 于點(diǎn) D，∠A=50°，則∠BDC=（ ）
A．50° B．100° C．120° D．130°
ACE 的平 分線相交于點(diǎn) D，則∠D 的度數(shù)為（ ）
A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°
6．一個(gè)等腰三角形一邊長為 4cm，另一邊長為 5cm，那么這個(gè)等腰三角形的周長是（ ）
A．13cm B．14cm C．13cm 或 14cm D．以上都不對
7．下列圖形中不是軸對稱圖形的是（ ）
A． B． C． D．
8．如圖，把一張矩形紙片 ABCD 沿 EF 折疊后，點(diǎn) A 落在 CD 邊上的點(diǎn) A′處，點(diǎn) B 落在點(diǎn)
B′處，若∠2=40°，則圖中∠1 的度數(shù)為（ ）
A．115° B．120° C．130° D．140°
9．如圖，D 是直角△ABC 斜邊 BC 上一點(diǎn)，AB=AD，記∠CAD=α，∠ABC=β．若α=10°， 則β的度數(shù)是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．不能確定
10．如圖，∠B=∠C，∠1=∠3，則∠1 與∠2 之間的關(guān)系是（ ）
A．∠1=2∠2 B．3∠1?∠2=180° C．∠1+3∠2=180° D．2∠1+∠2=180°
二．填空題（共 10 小題）
11．如圖，OP 為∠AOB 的平分線，PC⊥OB 于點(diǎn) C，且 PC=3，點(diǎn) P 到 OA 的距離為 ．
第 11 題圖 第 12 題圖 第 13 題圖
12．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為 48°，則該等腰三角形的底角的度數(shù)為 ．
13．如圖，在△ABC 中，AB=AC=6，AB 的垂直平分線交 AB 于點(diǎn) E，交 BC 于點(diǎn) D，連接
AD，若 AD=4，則 DC= ．
14．如圖，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分線，DE⊥AB 于點(diǎn) E，S△ABC=7，DE=2，AB=4， 則 AC 的長是 ．
15．如圖所示，已知△ABC 的周長是 20，OB、OC 分別平分∠ABC 和∠ACB，OD⊥BC 于
D，且 OD=3，則△ABC 的面積是 ．
16．如圖，△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交 BC 于點(diǎn) D．已知 BD：CD=3：2，點(diǎn)
D 到 AB 的距離是 6，則 BC 的長是 ．
17．如圖，△ABC 中，∠A=80°，∠B=40°，BC 的垂直平分線交 AB 于點(diǎn) D，連結(jié) DC，如 果 AD=3，BD=8，那么△ADC 的周長為 ．
18．如圖，∠AOB 是一角度為 10°的鋼架，要使鋼架更加牢固，需在其內(nèi)部添加一些鋼管：
EF、FG、GH…，且 OE=EF=FG=GH…，在 OA、OB 足夠長的情況下，最多能添加這樣的 鋼管的根數(shù)為 ．
19．已知：如圖，△ABC 中，BO，CO 分別是∠ABC 和∠ACB 的平分線，過 O 點(diǎn)的直線 分別交 AB、AC 于點(diǎn) D、E，且 DE∥BC．若 AB=6cm，AC=8cm，則△ADE 的周長為 ．
20．如圖，四邊形 ABCD 中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在 BC、CD 上分別找一點(diǎn) M、
N，使△AMN 周長最小時(shí)，則∠AMN+∠ANM 的度數(shù)為 ． 三．解答題（共 10 小題）
21．如圖，在△ABC 中，∠ACB=90 ?，BE 平分∠ABC，交 AC 于 E，DE 垂直平分 AB 于
D，求證：BE+DE=AC．
22．如圖，在△ABC 中，AB=AC，點(diǎn) D 是 BC 邊上的中點(diǎn)，DE、DF 分別垂直 AB、AC 于 點(diǎn) E 和 F．求證：DE=DF．
23．如圖，在△ABC 中，AB=AC，∠A=40°，BD 是∠ABC 的平分線，求∠BDC 的度數(shù)．
24．如圖，在△ABC 中，AB=AC，AD 是 BC 邊上的中線，AE⊥BE 于點(diǎn) E，且 BE= ． 求證：AB 平分∠EAD．
25．如圖，△ABC 是等邊三角形，BD 平分∠ABC，延長 BC 到 E，使得 CE=CD． 求證：BD=DE．
26．如圖，在△ABC 中，DM、EN 分別垂直平分 AC 和 BC，交 AB 于 M、N 兩點(diǎn)，DM 與
EN 相交于點(diǎn) F．
（1）若△CMN 的周長為 15cm，求 AB 的長；
（2）若∠MFN=70°，求∠MCN 的度數(shù)．
27．如圖，在△ABC 中，AB 的垂直平分線 MN 交 AB 于點(diǎn) D，交 AC 于點(diǎn) E，且 AC=15cm，
△BCE 的周長等于 25cm．
（1）求 BC 的長；（2）若∠A=36°，并且 AB=AC．求證：BC=BE
28．已知點(diǎn) D、E 在△ABC 的 BC 邊上，AD=AE，BD=CE，為了判斷∠B 與∠C 的大小關(guān) 系，請你填空完成下面的推理過程，并在空白括號(hào)內(nèi)，注明推理的根據(jù)．
解：作 AM⊥BC，垂足為 M
∵AD=AE，
∴△ADE 是 三角形，
∴DM=EM （ ） 又∵BD=CE，
∴BD+DM= ，即 BM= ； 又∵ （自己所作），
∴AM 是線段 的垂直平分線；
∴AB=AC （ ）
∴ ．
29．電信部門要修建一座電視信號(hào)發(fā)射塔 P，按照設(shè)計(jì)要求，發(fā)射塔 P 到兩城鎮(zhèn) A、B 的距 離必須相等，到兩條高速公路 m 和 n 的距離也必須相等．請?jiān)趫D中作出發(fā)射塔 P 的位置．（尺 規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）
30．以點(diǎn) A 為頂點(diǎn)作兩個(gè)等腰直角三角形（△ABC，△ADE），如圖 1 所示放置，使得一直 角邊重合，連接 BD，CE．
（1）說明 BD=CE；
（2）延長 BD，交 CE 于點(diǎn) F，求∠BFC 的度數(shù)；
（3）若如圖 2 放置，上面的結(jié)論還成立嗎？請簡單說明理由．
北師大版七年級下冊數(shù)學(xué)第五章生活中的軸對稱單元測
試題
參考答案與試題解析
一．選擇題（共 10 小題）
1．（2018•懷化）如圖，OP 為∠AOB 的角平分線，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別是 C、D， 則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．PC=PD B．∠CPD=∠DOP C．∠CPO=∠DPO D．OC=OD
【分析】先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出 PC=PD，再利用 HL 證明△OCP≌△ODP，根據(jù)全等 三角形的性質(zhì)得出∠CPO=∠DPO，OC=OD．
【解答】解：∵OP 為∠AOB 的角平分線，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別是 C、D，
∴PC=PD，故 A 正確；
在 Rt△OCP 與 Rt△ODP 中，
，
∴△OCP≌△ODP，
∴∠CPO=∠DPO，OC=OD，故 C、D 正確． 不能得出∠CPD=∠DOP，故 B 錯(cuò)誤．
故選 B．
【點(diǎn)評】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．也考查了 全等三角形的判定與性質(zhì)，得出 PC=PD 是解題的關(guān)鍵．
2．（2018•天門）如圖，在△ABC 中，AC 的垂直平分線分別交 AC、BC 于 E，D 兩點(diǎn)，EC=4，
△ABC 的周長為 23，則△ABD 的周長為（ ）
A．13 B．15 C．17 D．19
【分析】根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出 AD=DC，AE=CE=4，求出 AC=8，AB+BC=15，求 出△ABD 的周長為 AB+BC，代入求出即可．
【解答】解：∵AC 的垂直平分線分別交 AC、BC 于 E，D 兩點(diǎn)，
∴AD=DC，AE=CE=4， 即 AC=8，
∵△ABC 的周長為 23，
∴AB+BC+AC=23，
∴AB+BC=23?8=15，
∴△ABD 的周長為 AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=15， 故選 B．
【點(diǎn)評】本題考查了線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用，能熟記線段垂直平分線性質(zhì)定理的內(nèi)容是 解此題的關(guān)鍵，注意：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．
3．（2018•恩施州）如圖，在△ABC 中，DE 是 AC 的垂直平分線，△ABC 的周長為 19cm，
△ABD 的周長為 13cm，則 AE 的長為（ ）
A．3cm B．6cm C．12cm D．16cm
【分析】根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出 AD=DC，AE=CE= AC，求出 AB+BC+AC=19cm，
AB+BD+AD=AB+BC=13cm，即可求出 AC，即可得出答案．
【解答】解：∵DE 是 AC 的垂直平分線，
∴AD=DC，AE=CE= AC，
∵△ABC 的周長為 19cm，△ABD 的周長為 13cm，
∴AB+BC+AC=19cm，AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=13cm，
∴AC=6cm，
∴AE=3cm， 故選 A．
【點(diǎn)評】本題考查了線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用，能熟記線段垂直平分線性質(zhì)定理的內(nèi)容是 解此題的關(guān)鍵，注意：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．
4．（2018•黃石）如圖所示，線段 AC 的垂直平分線交線段 AB 于點(diǎn) D，∠A=50°，則∠BDC=
（ ）
A．50° B．100° C．120° D．130°
【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到 DA=DC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠DCA=∠A， 根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)計(jì)算即可．
【解答】解：∵DE 是線段 AC 的垂直平分線，
∴DA=DC，
∴∠DCA=∠A=50°，
∴∠BDC=∠DCA+∠A=100°， 故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分
線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．
5．（2018•棗莊）如圖，在△ABC 中，AB=AC，∠A=30°，E 為 BC 延長線上一點(diǎn)，∠ABC
與∠ACE 的平分線相交于點(diǎn) D，則∠D 的度數(shù)為（ ）
A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°
【分析】先根據(jù)角平分線的定義得到∠1=∠2，∠3=∠4，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠1+∠
2=∠3+∠4+∠A，∠1=∠3+∠D，則 2∠1=2∠3+∠A，利用等式的性質(zhì)得到∠D= ∠A，然 后把∠A 的度數(shù)代入計(jì)算即可．
【解答】解：∵∠ABC 的平分線與∠ACE 的平分線交于點(diǎn) D，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠ACE=∠A+∠ABC， 即∠1+∠2=∠3+∠4+∠A，
∴2∠1=2∠3+∠A，
∵∠1=∠3+∠D，
∴∠D= ∠A= ×30°=15°． 故選 A．
【點(diǎn)評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是根據(jù)三角形內(nèi)角和是 180°和三角形外角性質(zhì) 進(jìn)行分析．
6．（2018•湘西州）一個(gè)等腰三角形一邊長為 4cm，另一邊長為 5cm，那么這個(gè)等腰三角形 的周長是（ ）
A．13cmB．14cm C．13cm 或 14cm D．以上都不對
【分析】分 4cm 為等腰三角形的腰和 5cm 為等腰三角形的腰，先判斷符合不符合三邊關(guān)系， 再求出周長．
【解答】解：當(dāng) 4cm 為等腰三角形的腰時(shí)， 三角形的三邊分別是 4cm，4cm，5cm 符合三角形的三邊關(guān)系，
∴周長為 13cm；
當(dāng) 5cm 為等腰三角形的腰時(shí)， 三邊分別是，5cm，5cm，4cm，符合三角形的三邊關(guān)系，
∴周長為 14cm， 故選 C
【點(diǎn)評】此題是等腰三角形的性質(zhì)題，主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系， 分類考慮是解本題的關(guān)鍵．
7．（2018•瀘州）下列圖形中不是軸對稱圖形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解．
【解答】解：根據(jù)軸對稱圖形的概念可知：A，B，D 是軸對稱圖形，C 不是軸對稱圖形， 故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查了軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對 稱軸折疊后可重合．
8．（2018•聊城）如圖，把一張矩形紙片 ABCD 沿 EF 折疊后，點(diǎn) A 落在 CD 邊上的點(diǎn) A′
處，點(diǎn) B 落在點(diǎn) B′處，若∠2=40°，則圖中∠1 的度數(shù)為（ ）
A．115° B．120° C．130° D．140°
【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)得出∠BFE=∠EFB'，∠B'=∠B=90°，根據(jù)三角形內(nèi) 角和定理求出∠CFB'=50°，進(jìn)而解答即可．
【解答】解：∵把一張矩形紙片 ABCD 沿 EF 折疊后，點(diǎn) A 落在 CD 邊上的點(diǎn) A′處，點(diǎn) B
落在點(diǎn) B′處，
∴∠BFE=∠EFB'，∠B'=∠B=90°，
∵∠2=40°，
∴∠CFB'=50°，
∴∠1+∠EFB'?∠CFB'=180°， 即∠1+∠1?50°=180°， 解得：∠1=115°，
故選 A．
【點(diǎn)評】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用性 質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，注意：折疊后的兩個(gè)圖形全等．
9．（2018•莊河市自主招生）如圖，D 是直角△ABC 斜邊 BC 上一點(diǎn)，AB=AD，記∠CAD=α，
∠ABC=β．若α=10°，則β的度數(shù)是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．不能確定
【分析】根據(jù) AB=AD，可得出∠B=∠ADB，再由∠ADB=α+∠C，可得出∠C=β?10°，再 根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出β即可．
【解答】解：∵AB=AD，
∴∠B=∠ADB，
∵α=10°，∠ADB=α+∠C，
∴∠C=β?10°，
∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠C=90°， 即β+β?10°=90°， 解得β=50°，
故選 B．
【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理以及三角形外角的性質(zhì)，是基 礎(chǔ)知識(shí)要熟練掌握．
10．（2018•孝感模擬）如圖，∠B=∠C，∠1=∠3，則∠1 與∠2 之間的關(guān)系是（ ）
A．∠1=2∠2 B．3∠1?∠2=180° C．∠1+3∠2=180° D．2∠1+∠2=180°
【分析】由已知條件∠B=∠C，∠1=∠3，在△ABD 中，由∠1+∠B+∠3=180°，可推出結(jié)論．
【解答】解：∵∠1=∠3，∠B=∠C，∠1+∠B+∠3=180°，
∴2∠1+∠C=180°，
∴2∠1+∠1?∠2=180°，
∴3∠1?∠2=180°． 故選 B．
【點(diǎn)評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)的應(yīng)用．
二．填空題（共 10 小題）
11．（2018•常德）如圖，OP 為∠AOB 的平分線，PC⊥OB 于點(diǎn) C，且 PC=3，點(diǎn) P 到 OA
的距離為 3 ．
【分析】過 P 作 PD⊥OA 于 D，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得 PD=PC， 從而得解．
【解答】解：如圖，過 P 作 PD⊥OA 于 D，
∵OP 為∠AOB 的平分線，PC⊥OB，
∴PD=PC，
∵PC=3，
∴PD=3． 故答案為：3．
【點(diǎn)評】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
12．（2018•通遼）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為 48°，則該等腰三角形的底角的 度數(shù)為 69°或 21° ．
【分析】分兩種情況討論：①若∠A＜90°；②若∠A＞90°；先求出頂角∠BAC，再利用三角 形內(nèi)角和定理即可求出底角的度數(shù)．
【解答】解：分兩種情況討論：
①若∠A＜90°，如圖 1 所示：
∵BD⊥AC，
∴∠A+∠ABD=90°，
∵∠ABD=48°，
∴∠A=90°?48°=42°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C= （180°?42°）=69°；
②若∠A＞90°，如圖 2 所示： 同①可得：∠DAB=90°?48°=42°，
∴∠BAC=180°?42°=138°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C= （180°?138°）=21°；
綜上所述：等腰三角形底角的度數(shù)為 69°或 21°． 故答案為：69°或 21°．
【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)以及余角和鄰補(bǔ)角的定義；注意分類討論方法的運(yùn)用， 避免漏解．
13．（2018•牡丹江）如圖，在△ABC 中，AB=AC=6，AB 的垂直平分線交 AB 于點(diǎn) E，交
BC 于點(diǎn) D，連接 AD，若 AD=4，則 DC= 5 ．
【分析】過 A 作 AF⊥BC 于 F，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到 BF=CF= BC，由 AB 的垂直 平分線交 AB 于點(diǎn) E，得到 BD=AD=4，設(shè) DF=x，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．
【解答】解：過 A 作 AF⊥BC 于 F，
∵AB=AC，
∴BF=CF= BC，
∵AB 的垂直平分線交 AB 于點(diǎn) E，
∴BD=AD=4， 設(shè) DF=x，
∴BF=4+x，
∵AF2=AB2?BF2=AD2?DF2， 即 16?x2=36?（4+x）2，
∴x=0.5，
∴DF=0.5，
∴CD=CF+DF=BF+DF=BD+2DF=4+0.5×2=5，
故答案為：5．
【點(diǎn)評】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握 轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
14．（2018•營口模擬）如圖，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分線，DE⊥AB 于點(diǎn) E，S△ABC=7，
DE=2，AB=4，則 AC 的長是 3 ．
【分析】過點(diǎn) D 作 DF⊥AC 于 F，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得 DE=DF， 再根據(jù) S△ABC=S△ABD+S△ACD 列出方程求解即可．
【解答】解：如圖，過點(diǎn) D 作 DF⊥AC 于 F，
∵AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分線，DE⊥AB，
∴DE=DF，
由圖可知，S△ABC=S△ABD+S△ACD，
×4×2+ ×AC×2=7， 解得 AC=3．
故答案為 3．
【點(diǎn)評】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
15．（2018•邯鄲二模）如圖所示，已知△ABC 的周長是 20，OB、OC 分別平分∠ABC 和∠
ACB，OD⊥BC 于 D，且 OD=3，則△ABC 的面積是 30 ．
【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得點(diǎn) O 到 AB、AC、BC 的距離都相 等（即 OE=OD=OF），從而可得到△ABC 的面積等于周長的一半乘以 3，代入求出即可．
【解答】解：如圖，連接 OA，過 O 作 OE⊥AB 于 E，OF⊥AC 于 F，
∵OB、OC 分別平分∠ABC 和∠ACB，
∴OE=OF=OD=3，
∵△ABC 的周長是 22，OD⊥BC 于 D，且 OD=3，
∴S△ABC= ×AB×OE+ ×BC×OD+ ×AC×OF= ×（AB+BC+AC）×3
= 20×3=30， 故答案為：30．
【點(diǎn)評】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，判斷出三角形的面積與
周長的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
16．（2018•白云區(qū)校級二模）如圖，△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交 BC 于點(diǎn) D．已 知 BD：CD=3：2，點(diǎn) D 到 AB 的距離是 6，則 BC 的長是 15 ．
【分析】作 DE⊥AB 于 E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到 CD=DE，根據(jù)題意求出 BD 的長，計(jì) 算即可．
【解答】解：作 DE⊥AB 于 E，
∵AD 平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，
∴CD=DE=6，又 BD：CD=3：2，
∴BD=9，
∴BC=BD+DC=15， 故答案為：15．
【點(diǎn)評】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解 題的關(guān)鍵．
17．（2018•句容市一模）如圖，△ABC 中，∠A=80°，∠B=40°，BC 的垂直平分線交 AB 于 點(diǎn) D，連結(jié) DC，如果 AD=3，BD=8，那么△ADC 的周長為 19 ．
【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到 DB=DC，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的 性質(zhì)證明 CA=CD=DB=8，根據(jù)三角形周長公式計(jì)算即可．
【解答】解：∵BC 的垂直平分線交 AB 于點(diǎn) D，
∴DB=DC，
∴∠DCB=∠B=40°，
∵∠A=80°，∠B=40°，
∴∠ACB=60°，
∴∠ACD=20°，
∴∠ADC=80°，
∴CA=CD=DB=8，
∴△ADC 的周長=AD+AC+CD=19， 故答案為：19．
【點(diǎn)評】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理以及等腰三角形的性質(zhì)， 掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．
18．（2018•河北模擬）如圖，∠AOB 是一角度為 10°的鋼架，要使鋼架更加牢固，需在其內(nèi) 部添加一些鋼管：EF、FG、GH…，且 OE=EF=FG=GH…，在 OA、OB 足夠長的情況下，
最多能添加這樣的鋼管的根數(shù)為 8 ．
【分析】根據(jù)已知利用等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，找出圖中存在的規(guī)律，根據(jù) 規(guī)律及三角形的內(nèi)角和定理不難求解．
【解答】解：∵添加的鋼管長度都與 OE 相等，∠AOB=10°，
∴∠GEF=∠FGE=20°，…從圖中我們會(huì)發(fā)現(xiàn)有好幾個(gè)等腰三角形，即第一個(gè)等腰三角形的 底角是 10°，第二個(gè)是 20°，第三個(gè)是 30°，四個(gè)是 40°，五個(gè)是 50°，六個(gè)是 60°，七個(gè)是 70°， 八個(gè)是 80°，九個(gè)是 90°就不存在了．所以一共有 8 個(gè)．
故答案為 8．
【點(diǎn)評】此題考查了三角形的內(nèi)角和是 180 度的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性 質(zhì)；發(fā)現(xiàn)并利用規(guī)律是正確解答本題的關(guān)鍵．
19．（2018•淮安一模）已知：如圖，△ABC 中，BO，CO 分別是∠ABC 和∠ACB 的平分 線，過 O 點(diǎn)的直線分別交 AB、AC 于點(diǎn) D、E，且 DE∥BC．若 AB=6cm，AC=8cm，則△
ADE 的周長為 14cm ．
【分析】兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，以及根據(jù)角平分線性質(zhì)，可得△OBD、△EOC 均為等 腰三角形，由此把△AEF 的周長轉(zhuǎn)化為 AC+AB．
【解答】解：∵DE∥BC
∴∠DOB=∠OBC，
又∵BO 是∠ABC 的角平分線，
∴∠DBO=∠OBC，
∴∠DBO=∠DOB，
∴BD=OD， 同理：OE=EC，
∴△ADE 的周長=AD+OD+OE+EC=AD+BD+AE+EC=AB+AC=14cm． 故答案是：14cm．
【點(diǎn)評】本題考查了平行線的性質(zhì)和等腰三角形的判定及性質(zhì)，正確證明△OBD、△EOC
均為等腰三角形是關(guān)鍵．
20．（2018•廣東校級一模）如圖，四邊形 ABCD 中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在 BC、
CD 上分別找一點(diǎn) M、N，使△AMN 周長最小時(shí)，則∠AMN+∠ANM 的度數(shù)為 100° ．
【分析】作點(diǎn) A 關(guān)于 BC 的對稱點(diǎn) A′，關(guān)于 CD 的對稱點(diǎn) A″，根據(jù)軸對稱確定最短路線問
題，連接 A′A″與 BC、CD 的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn) M、N，利用三角形的內(nèi)角和定理列式求出
∠A′+∠A″，再根據(jù)軸對稱的性質(zhì)和三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得
∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″），然后計(jì)算即可得解．
【解答】解：如圖，作點(diǎn) A 關(guān)于 BC 的對稱點(diǎn) A′，關(guān)于 CD 的對稱點(diǎn) A″， 連接 A′A″與 BC、CD 的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn) M、N，
∵∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，
∴∠A′+∠A″=180°?∠130°=50°， 由軸對稱的性質(zhì)得：∠A′=∠A′AM，∠A″=∠A″AN，
∴∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″）=2×50°=100°． 故答案為：100°．
【點(diǎn)評】本題考查了軸對稱確定最短路線問題，軸對稱的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角 形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，確定出點(diǎn) M、N 的位置是解題的關(guān) 鍵，要注意整體思想的利用．
三．解答題（共 10 小題）
21．（2018•歷下區(qū)一模）如圖，在△ABC 中，∠ACB=90 ?，BE 平分∠ABC，交 AC 于 E，
DE 垂直平分 AB 于 D， 求證：BE+DE=AC．
【分析】根據(jù)角平分線性質(zhì)得出 CE=DE，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出 AE=BE，代入
AC=AE+CE 求出即可．
【解答】證明：∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
∵ED⊥AB，BE 平分∠ABC，
∴CE=DE，
∵DE 垂直平分 AB，
∴AE=BE，
∵AC=AE+CE，
∴BE+DE=AC．
【點(diǎn)評】本題考查了角平分線性質(zhì)和線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用，注意：線段垂直平分線上 的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．
22．（2018•歷下區(qū)一模）如圖，在△ABC 中，AB=AC，點(diǎn) D 是 BC 邊上的中點(diǎn)，DE、DF
分別垂直 AB、AC 于點(diǎn) E 和 F． 求證：DE=DF．
【分析】D 是 BC 的中點(diǎn)，那么 AD 就是等腰三角形 ABC 底邊上的中線，根據(jù)等腰三角形 三線合一的特性，可知道 AD 也是∠BAC 的角平分線，根據(jù)角平分線的點(diǎn)到角兩邊的距離 相等，那么 DE=DF．
【解答】證明： 證法一：連接 AD．
∵AB=AC，點(diǎn) D 是 BC 邊上的中點(diǎn)
∴AD 平分∠BAC（三線合一性質(zhì)），
∵DE、DF 分別垂直 AB、AC 于點(diǎn) E 和 F．
∴DE=DF（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等）． 證法二：在△ABC 中，
∵AB=AC
∴∠B=∠C（等邊對等角） …（1 分）
∵點(diǎn) D 是 BC 邊上的中點(diǎn)
∴BD=DC …（2 分）
∵DE、DF 分別垂直 AB、AC 于點(diǎn) E 和 F
∴∠BED=∠CFD=90°…（3 分） 在△BED 和△CFD 中
∵ ，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE=DF（全等三角形的對應(yīng)邊相等）．
【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)；利用等腰三角形三線合 一的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
23．（2018•長春二模）如圖，在△ABC 中，AB=AC，∠A=40°，BD 是∠ABC 的平分線， 求∠BDC 的度數(shù)．
【分析】首先由 AB=AC，利用等邊對等角和∠A 的度數(shù)求出∠ABC 和∠C 的度數(shù)，然后由 BD 是∠ABC 的平分線，利用角平分線的定義求出∠DBC 的度數(shù)，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和 定理即可求出∠BDC 的度數(shù)．
【解答】解：∵AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=∠C= =70°，
∵BD 是∠ABC 的平分線，
∴∠DBC= ∠ABC=35°，
∴∠BDC=180°?∠DBC?∠C=75°．
【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解答 本題的關(guān)鍵是正確識(shí)圖，利用等腰三角形的性質(zhì)：等邊對等角求出∠ABC 與∠C 的度數(shù)．
24．（2018•西城區(qū)一模）如圖，在△ABC 中，AB=AC，AD 是 BC 邊上的中線，AE⊥BE
于點(diǎn) E，且 BE= ． 求證：AB 平分∠EAD．
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到 BD= BC，AD⊥BC 根據(jù)角平分線的判定定理即可得 到結(jié)論．．
【解答】證明：∵AB=AC，AD 是 BC 邊上的中線，
∴BD= BC，AD⊥BC，
∵BE= BC，
∴BD=BE，
∵AE⊥BE，
∴AB 平分∠EAD．
【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解 題的關(guān)鍵．
25．（2018•門頭溝區(qū)一模）如圖，△ABC 是等邊三角形，BD 平分∠ABC，延長 BC 到 E， 使得 CE=CD．
求證：BD=DE．
【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°，再根據(jù)角之間的關(guān) 系求得∠DBC=∠CED，根據(jù)等角對等邊即可得到 DB=DE．
【解答】證明：∵△ABC 是等邊三角形，BD 是中線，
∴∠ABC=∠ACB=60°．
∠DBC=30°（等腰三角形三線合一）． 又∵CE=CD，
∴∠CDE=∠CED．
又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，
∴∠CDE=∠CED= ∠BCD=30°．
∴∠DBC=∠DEC．
∴DB=DE（等角對等邊）．
【點(diǎn)評】此題主要考查學(xué)生對等邊三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)的理解及運(yùn)用；利用三
角形外角的性質(zhì)得到∠CDE=30°是正確解答本題的關(guān)鍵．
26．（2018 春•吉州區(qū)期末）如圖，在△ABC 中，DM、EN 分別垂直平分 AC 和 BC，交 AB
于 M、N 兩點(diǎn)，DM 與 EN 相交于點(diǎn) F．
（1）若△CMN 的周長為 15cm，求 AB 的長；
（2）若∠MFN=70°，求∠MCN 的度數(shù)．
【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得 AM=CM，BN=CN， 然后求出△CMN 的周長=AB；
（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式求出∠MNF+∠NMF，再求出∠A+∠B，根據(jù)等邊對等 角可得∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，然后利用三角形的內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可得解．
【解答】解：（1）∵DM、EN 分別垂直平分 AC 和 BC，
∴AM=CM，BN=CN，
∴△CMN 的周長=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB，
∵△CMN 的周長為 15cm，
∴AB=15cm；
（2）∵∠MFN=70°，
∴∠MNF+∠NMF=180°?70°=110°，
∵∠AMD=∠NMF，∠BNE=∠MNF，
∴∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF=110°，
∴∠A+∠B=90°?∠AMD+90°?∠BNE=180°?110°=70°，
∵AM=CM，BN=CN，
∴∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，
∴∠MCN=180°?2（∠A+∠B）=180°?2×70°=40°．
【點(diǎn)評】本題考查了線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，等邊對等角的 性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，（2）整體思想的利用是解題的關(guān)鍵．
27．（2018 春•滕州市期末）如圖，在△ABC 中，AB 的垂直平分線 MN 交 AB 于點(diǎn) D，交
AC 于點(diǎn) E，且 AC=15cm，△BCE 的周長等于 25cm．
（1）求 BC 的長；
（2）若∠A=36°，并且 AB=AC．求證：BC=BE．
【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得 AE=BE，然后求出
△BCE 的周長=AC+BC，再求解即可；
（2）根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠C=72°，根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的 距離相等可得 AE=BE，根據(jù)等邊對等角可得∠ABE=∠A，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與 它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠BEC=72°，從而得到∠BEC=∠C，然后根據(jù)等角對等邊求解．
【解答】（1）解：∵AB 的垂直平分線 MN 交 AB 于點(diǎn) D，
∴AE=BE，
∴△BCE 的周長=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC，
∵AC=15cm，
∴BC=25?15=10cm；
（2）證明：∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠C= （180°?∠A）= （180°?36°）=72°，
∵AB 的垂直平分線 MN 交 AB 于點(diǎn) D，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A，
由三角形的外角性質(zhì)得，∠BEC=∠A+∠ABE=36°+36°=72°，
∴∠BEC=∠C，
∴BC=BE．
【點(diǎn)評】本題考查了線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，三角形的一個(gè) 外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，等角對等邊的性質(zhì)，綜合題難度不大，熟記各 性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．
28．（2018 春•衡陽縣校級期末）已知點(diǎn) D、E 在△ABC 的 BC 邊上，AD=AE，BD=CE，為 了判斷∠B 與∠C 的大小關(guān)系，請你填空完成下面的推理過程，并在空白括號(hào)內(nèi)，注明推理
的根據(jù)．
解：作 AM⊥BC，垂足為 M
∵AD=AE，
∴△ADE 是 等腰 三角形，
∴DM=EM （ 等腰三角形底邊上的高也是底邊上的中線 ） 又∵BD=CE，
∴BD+DM= CE+EM ，即 BM= CM ； 又∵ AM⊥BC （自己所作），
∴AM 是線段 BC 的垂直平分線；
∴AB=AC （ 線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等 ）
∴ ∠B=∠C ．
【分析】首先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，得 DM=EM，結(jié)合已知條件，根據(jù)等式的性質(zhì)，得 BM=CM，從而根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，得 AB=AC，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可證 明．
【解答】解：作 AM⊥BC，垂足為 M
∵AD=AE，
∴△ADE 是等腰三角形，
∴DM=EM （等腰三角形底邊上的高也是底邊上的中線） 又∵BD=CE，
∴BD+DM=CE+EM，即 BM=CM； 又∵AM⊥BC（自己所作），
∴AM 是線段 BC 的垂直平分線；
∴AB=AC （線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等）
∴∠B=∠C．
故答案為：等腰，等腰三角形底邊上的高也是底邊上的中線，CE+EM，CM，AM⊥BC，BC， 線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，∠B=∠C．
【點(diǎn)評】此題綜合考查了等腰三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)．等腰三角形底邊上的 高、底邊上的中線、頂角的平分線互相重合；等腰三角形的兩個(gè)底角相等．
29．（2018 秋•西市區(qū)校級期中）電信部門要修建一座電視信號(hào)發(fā)射塔 P，按照設(shè)計(jì)要求， 發(fā)射塔 P 到兩城鎮(zhèn) A、B 的距離必須相等，到兩條高速公路 m 和 n 的距離也必須相等．請
在圖中作出發(fā)射塔 P 的位置．（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）
【分析】根據(jù)題意，P 點(diǎn)既在線段 AB 的垂直平分線上，又在兩條公路所夾角的平分線上．故 兩線交點(diǎn)即為發(fā)射塔 P 的位置．
【解答】解：設(shè)兩條公路相交于 O 點(diǎn)．P 為線段 AB 的垂直平分線與∠MON 的平分線交點(diǎn)
或是與∠QON 的平分線交點(diǎn)即為發(fā)射塔的位置．如圖，滿足條件的點(diǎn)有兩個(gè)，即 P、P′．
【點(diǎn)評】此題考查了線段的垂直平分線和角的平分線的性質(zhì)，屬基本作圖題．
30．（2018 春•長清區(qū)期末）以點(diǎn) A 為頂點(diǎn)作兩個(gè)等腰直角三角形（△ABC，△ADE），如 圖 1 所示放置，使得一直角邊重合，連接 BD，CE．
（1）說明 BD=CE；
（2）延長 BD，交 CE 于點(diǎn) F，求∠BFC 的度數(shù)；
（3）若如圖 2 放置，上面的結(jié)論還成立嗎？請簡單說明理由．
【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到 AB=AC，∠BAD=∠EAC=90°，AD=AE，利 用“SAS”可證明△ADB≌△AEC，則 BD=CE；
（2）由△ADB≌△AEC 得到∠ACE=∠DBA，利用三角形內(nèi)角和定理可得到∠BFC=180°
?∠ACE?∠CDF=180°?∠DBA?∠BDA=∠DAB=90°；
（3）與（1）一樣可證明△ADB≌△AEC，得到 BD=CE，∠ACE=∠DBA，利用三角形內(nèi) 角和定理得到∠BFC=∠CAB=90°．
【解答】解：（1）∵△ABC、△ADE 是等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠BAD=∠EAC=90°，AD=AE，
∵在△ADB 和△AEC 中，
，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴BD=CE；
（2）∵△ADB≌△AEC，
∴∠ACE=∠ABD，
而在△CDF 中，∠BFC=180°?∠ACE?∠CDF
又∵∠CDF=∠BDA
∴∠BFC=180°?∠DBA?∠BDA
=∠DAB
=90°；
（3）BD=CE 成立，且兩線段所在直線互相垂直，即∠BFC=90°．理由如下：
∵△ABC、△ADE 是等腰直角三角形
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠EAD=90°，
∵∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD
∴∠BAD=∠CAE，
∵在△ADB 和△AEC 中，
，
∴△ADB≌△AEC（SAS）
∴BD=CE，∠ACE=∠DBA，
∴∠BFC=∠CAB=90°．
【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、
“ASA”、“AAS”；全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)．
本文來自：逍遙右腦記憶 http://yy-art.cn/chuyi/1175231.html
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