初中數(shù)學(xué)余弦的公式證明方法

編輯: 逍遙路 關(guān)鍵詞: 初中數(shù)學(xué) 來源: 高中學(xué)習(xí)網(wǎng)

  【—余弦的公式證明方法】余弦的公式證明方法包括兩種,一是平面向量證法,二是平面幾何證法。

  余弦的證明方法

  平面向量證法

  ∵有a+b=c (平行四邊形定則:兩個(gè)鄰邊之間的對(duì)角線代表兩個(gè)鄰邊大小)

  ∴c·c=(a+b)·(a+b)

  ∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2abCos(π-θ)

  (以上粗體字符表示向量)

  又∵Cos(π-θ)=-CosC

  ∴c^2=a^2+b^2-2abCosθ(注意:這里用到了三角函數(shù)公式)

  再拆開,得c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC

  即 CosC=(a^2+b^2-c^2)/2*a*b

  同理可證其他,而下面的CosC=(c^2-b^2-a^2)/2ab就是將CosC移到左邊表示一下。

  平面幾何證法

  在任意△ABC中

  做AD⊥BC,交BC于D

  ∠C所對(duì)的邊為c,∠B所對(duì)的邊為b,∠A所對(duì)的邊為a

  則有BD=cosB*c,AD=sinB*c,DC=BC-BD=a-cosB*c

  根據(jù)勾股定理可得:

  AC^2=AD^2+DC^2

  b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2

  b^2=(sinB*c)^2+a^2-2ac*cosB+(cosB)^2*c^2

  b^2=(sinB^2+cosB^2)*c^2-2ac*cosB+a^2

  b^2=c^2+a^2-2ac*cosB

  cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac

  不論是平面向量證法,還是平面幾何證法,都是為了證明余弦公式定理而存在的。


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