【—梯形的公式應用】在等腰梯形中，若兩條對角線垂直，則這個梯形的高就等于中位線的長，梯形的面積就等于高的平方。

　　如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，且AC⊥BD，AF是梯形的高，梯形的面積是49cm2.求梯形的高。

　　解法1：如圖(甲)，過A作AE∥DB交CB的延長線于點E。

　　∵AC⊥BD，

　　∴AC⊥AE.

　　∵AD∥EB，

　　∴AE=BD，EB=AD.

　　又∵四邊形ABCD是等腰梯形，

　　∴AC=BD.

　　∴AE=AC.

　　∴△AEC是等腰直角三角形.

　　又AF是斜邊上的高，故AF也為斜邊上的中線.

　　∴AF=7cm

　　解法2：設梯形ABCD的兩條對角線相交于O點，過O作OH⊥BC于點H，延長HO交AD于G點(如圖(乙)).

　　∵AD∥BC，

　　∴HG⊥AD.

　　∵AB=DC，AC=DB，BC公共，

　　∴△ABC≌△DCB.

　　∴∠2=∠1.

　　又AC⊥BD，

　　∴△BOC是等腰直角三角形.

　　∴同理.

　　∴以下解答過程與解法1相同.

　　解法3：過D作DM⊥BC于點M(如圖(丙)).

　　∵梯形ABCD是等腰梯形，

　　∴AC=DB，∠ABC=∠DCB.

　　又∵AF=DM，

　　∴Rt△AFC≌Rt△DMB，

　　∴∠DBC=∠ACB.

　　又∵AC⊥BD，

　　∴∠DBM=∠ACF=45°.

　　∴△AFC和△DMB都是等腰直角三角形.AF=FC，DM=MB，

　　∴.　以下解答過程與解法1相同.

　　本題的三種解法都是利用等腰直角三角形的性質(zhì)或全等三角形的性質(zhì)來證明該梯形的高就等于該梯形的中位線的長。

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