中考數(shù)學(xué)幾何折疊問題答題技巧

折疊問題題型多樣，變化靈活，從考察學(xué)生空間想象能力與動(dòng)手操作能力的實(shí)踐操作題，到直接運(yùn)用折疊相關(guān)性質(zhì)的說理計(jì)算題，發(fā)展到基于折疊操作的綜合題，甚至是壓軸題. 考查的著眼點(diǎn)日趨靈活，能力立意的意圖日漸明顯.這對(duì)于識(shí)別和理解幾何圖形的能力、空間思維能力和綜合解決問題的能力都提出了比以往更高的要求.

折疊操作就是將圖形的一部分沿著一條直線翻折1800，使它與另一部分圖形在這條直線的同旁與其重疊或不重疊，其中折是過程，疊是結(jié)果. 折疊問題的實(shí)質(zhì)是圖形的軸對(duì)稱變換，折疊更突出了軸對(duì)稱問題的應(yīng)用. 所以在解決有關(guān)的折疊問題時(shí)可以充分運(yùn)用軸對(duì)稱的思想和軸對(duì)稱的性質(zhì).

根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可以得到：折疊重合部分一定全等，折痕所在直線就是這兩個(gè)全等形的對(duì)稱軸;互相重合兩點(diǎn)(對(duì)稱點(diǎn))之間的連線必被折痕垂直平分;對(duì)稱兩點(diǎn)與對(duì)稱軸上任意一點(diǎn)連結(jié)所得的兩條線段相等;對(duì)稱線段所在的直線與對(duì)稱軸的夾角相等. 在解題過程中要充分運(yùn)用以上結(jié)論，借助輔助線構(gòu)造直角三角形，結(jié)合相似形、銳角三角函數(shù)等知識(shí)來解決有關(guān)折疊問題，可以使得解題思路更加清晰，解題步驟更加簡(jiǎn)潔.

1、利用點(diǎn)的對(duì)稱

例1.(2006年南京市)已知矩形紙片ABCD，AB=2，AD=1，將紙片折疊，使頂點(diǎn)A與邊CD上的點(diǎn)E重合.

(1)如果折痕FG分別與AD、AB交于F、G(如圖①)，AF=，求DE的長(zhǎng);

(2)如果折痕FG分別與CD、AB交于F、G(如圖②)，△AED的外接圓與直線BC相切，求折痕FG的長(zhǎng).

圖①中FG是折痕，點(diǎn)A與點(diǎn)E重合，根據(jù)折疊的對(duì)稱性,已知線段AF的長(zhǎng),可得到線段EF的長(zhǎng)，從而將求線段的長(zhǎng)轉(zhuǎn)化到求Rt△DEF的一條直角邊DE. 圖②中，連結(jié)對(duì)應(yīng)點(diǎn)A、E，則折痕FG垂直平分AE，取AD的中點(diǎn)M，連結(jié)MO，則MO=DE，且MO∥CD，又AE為Rt△AED的外接圓的直徑，則O為圓心，延長(zhǎng)MO交BC于N，則ONBC，MN=AB,又Rt△AED的外接圓與直線BC相切，所以O(shè)N是Rt△AED的外接圓的半徑，即ON=AE，根據(jù)勾股定理可求出DE=，OE=. 通過Rt△FEO∽R(shí)t△AED，求得FO=，從而求出EF的長(zhǎng).

對(duì)稱點(diǎn)的連線被對(duì)稱軸垂直平分，連結(jié)兩對(duì)稱點(diǎn)既可以得到相等的線段，也可以構(gòu)造直角三角形, 本題把折疊問題轉(zhuǎn)化為軸對(duì)稱問題，利用勾股定理和相似求出未知線段，最后把所求的線段轉(zhuǎn)化到直角三角形中去處理.

二、利用線段的對(duì)稱性質(zhì)

例2.(新課標(biāo)人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下學(xué)期P126)數(shù)學(xué)活動(dòng)1：折紙做300、600、150的角

對(duì)折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平，再次折疊紙片，使A點(diǎn)落在折痕EF上的N點(diǎn)處，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)B得到折痕BM，同時(shí)得到線段BN，觀察所得到的ABM、MBN和NBC，這三個(gè)角有什么關(guān)系?(教師用書中給出了這樣的提示：△ABM≌△NBC，作NGBC，則直角三角形中NG=BN，從而可得ABM=MBN=NBC=300.)

若這樣證明則要用到：在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的角等于300. 這個(gè)定理現(xiàn)行教材中沒有涉及到，在這兒用不太合適. 如果直接運(yùn)用軸對(duì)稱思想說理應(yīng)該比較簡(jiǎn)潔明了：連結(jié)AN，則AN=BN，又AB=BN，所以三角形ABN為等邊三角形，所以ABM=MBN=NBC=300.

利用對(duì)稱的思想來證明線段的相等比用其他方法快捷而且靈活.

三、利用面對(duì)稱的性質(zhì)

例3.(2006年臨安)如圖，△OAB是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)B在y軸的正方向上，將△OAB折疊，使點(diǎn)A落在OB上，記為A`點(diǎn)，折痕為EF. 此題中第③問是：當(dāng)A`點(diǎn)在OB上運(yùn)動(dòng)，但不與O、B重合時(shí)，能否使△A`EF為直角三角形?

這一問題需通過分類討論，先確定直角頂點(diǎn)不可能在A`處. 當(dāng)△A`EF為直角三角形，且直角頂點(diǎn)在F處時(shí)，根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)我們可以得到AFE=A`FE=900，此時(shí)A`點(diǎn)與B點(diǎn)重合，與題目中已知相矛盾，所以直角頂點(diǎn)在點(diǎn)F處不成立. 同理可證，直角頂點(diǎn)亦不可能在點(diǎn)E處. 故當(dāng)A`點(diǎn)在OB上運(yùn)動(dòng)，若不與O、B重合，則不存在這樣的A`點(diǎn)使△A`EF為直角三角形.

在折疊問題中,利用面的對(duì)稱性可得到相等的角、全等的圖形和相等的面積.

解決折疊問題時(shí)，首先要對(duì)圖形折疊有一準(zhǔn)確定位，把握折疊的實(shí)質(zhì)，抓住圖形之間最本質(zhì)的位置關(guān)系，從點(diǎn)、線、面三個(gè)方面入手，發(fā)現(xiàn)其中變化的和不變的量. 進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)圖形中的數(shù)量關(guān)系;其次要把握折疊的變化規(guī)律，充分挖掘圖形的幾何性質(zhì)，將其中的基本的數(shù)量關(guān)系用方程的形式表達(dá)出來，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)合理、有序、全面的解決問題.

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