1、點(diǎn)、線、角

點(diǎn)的定理：過兩點(diǎn)有且只有一條直線

點(diǎn)的定理：兩點(diǎn)之間線段最短

角的定理：同角或等角的補(bǔ)角相等

角的定理：同角或等角的余角相等

直線定理：過一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線垂直

直線定理：直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短

2、幾何平行

平行定理：經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行

推論：如果兩條直線都和第三條直線平行，這兩條直線也互相平行

證明兩直線平行定理：同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行

兩直線平行推論：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)

3、三角形內(nèi)角定理

定理：三角形兩邊的和大于第三邊

推論：三角形兩邊的差小于第三邊

三角形內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°

4、全等三角形判定

定理：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等

邊角邊定理(SAS)：有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等

角邊角定理(ASA)：有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等

推論(AAS)：有兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等

邊邊邊定理(SSS)：有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等

斜邊、直角邊定理(HL)：有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等

5、角的平分線

定理1：在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等

定理2：到一個(gè)角的兩邊的距離相同的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上

角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點(diǎn)的集合

6、等腰三角形性質(zhì)

等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等(即等邊對(duì)等角)

推論1：等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊

等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合

等腰三角形的判定定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等(等角對(duì)等邊)

7、對(duì)稱定理

定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等

逆定理：和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上

線段的垂直平分線可看作和線段兩端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合

定理1：關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形

定理2：如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線

定理3：兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，如果它們的對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)線相交，那么交點(diǎn)在對(duì)稱軸上

逆定理：如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱

8、直角三角形定理

定理：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半

判定定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半

勾股定理：直角三角形兩直角邊a、b的平方和、等于斜邊c的平方，即a^2+b^2=c^2

勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c有關(guān)系a^2+b^2=c^2，那么這個(gè)三角形是直角三角形

9、多邊形內(nèi)角和定理

定理：四邊形的內(nèi)角和等于360°；四邊形的外角和等于360°

多邊形內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)×180°

推論：任意多邊的外角和等于360°

10、平行四邊形定理

平行四邊形性質(zhì)定理：

1.平行四邊形的對(duì)角相等

2.平行四邊形的對(duì)邊相等

3.平行四邊形的對(duì)角線互相平分

推論：夾在兩條平行線間的平行線段相等

平行四邊形判定定理：

1.兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形

2.兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形

3.對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形

4.一組對(duì)邊平行相等的四邊形是平行四邊形

11、矩形定理

矩形性質(zhì)定理1：矩形的四個(gè)角都是直角

矩形性質(zhì)定理2：矩形的對(duì)角線相等

矩形判定定理1：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形

矩形判定定理2：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形

12、菱形定理

菱形性質(zhì)定理1：菱形的四條邊都相等

菱形性質(zhì)定理2：菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角

菱形面積=對(duì)角線乘積的一半，即S=(a×b)÷2

菱形判定定理1：四邊都相等的四邊形是菱形

菱形判定定理2：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形

13、正方形定理

正方形性質(zhì)定理1：正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊都相等

正方形性質(zhì)定理2：正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角

14、中心對(duì)稱定理

定理1：關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等的

定理2：關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)稱點(diǎn)連線都經(jīng)過對(duì)稱中心，并且被對(duì)稱中心平分

逆定理：如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線都經(jīng)過某一點(diǎn)，并且被這一點(diǎn)平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這一點(diǎn)對(duì)稱

15、等腰梯形性質(zhì)定理

等腰梯形性質(zhì)定理：

1.等腰梯形在同一底上的兩個(gè)角相等

2.等腰梯形的兩條對(duì)角線相等

等腰梯形判定定理：

1.在同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形

2.對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形

平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等

推論1：經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)與底平行的直線，必平分另一腰

推論2：經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線，必平分第三邊

16、中位線定理

三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半

梯形中位線定理：梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半：L=(a+b)÷2S=L×h

17、相似三角形定理

相似三角形定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似

相似三角形判定定理：

1.兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似(ASA)

2.兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似(SAS)

直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似

判定定理3：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似(SSS)

相似直角三角形定理：如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似

性質(zhì)定理：

1.相似三角形對(duì)應(yīng)高的比，對(duì)應(yīng)中線的比與對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比

2.相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比

3.相似三角形面積的比等于相似比的平方

18、三角函數(shù)定理

任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意銳角的余弦值等于它的余角的正弦值

任意銳角的正切值等于它的余角的余切值，任意銳角的余切值等于它的余角的正切值

19、圓的定理

定理：過不共線的三個(gè)點(diǎn)，可以作且只可以作一個(gè)圓

定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且評(píng)分弦所對(duì)的兩條弧

推論1：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦并且平分弦所對(duì)的兩條弧

推論2：弦的垂直平分弦經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧

推論3：平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直評(píng)分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧

定理：

1.在同圓或等圓中，相等的弧所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦的弦心距相等

2.經(jīng)過圓的半徑外端點(diǎn)，并且垂直于這條半徑的直線是這個(gè)圓的切線

3.圓的切線垂直經(jīng)過切點(diǎn)的半徑

4.三角形的三個(gè)內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)是三角形的內(nèi)心

5.從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角

6.圓的外切四邊形的兩組對(duì)邊的和相等

7.如果四邊形兩組對(duì)邊的和相等，那么它必有內(nèi)切圓

8.兩圓的兩條外公切線的長(zhǎng)相等；兩圓的兩條內(nèi)公切線的長(zhǎng)也相等

20、比例性質(zhì)定理

比例的基本性質(zhì)

如果a：b=c：d，那么ad=bc如果ad=bc，那么a：b=c：d

合比性質(zhì)

如果a/b=c/d，那么(a±b)/b=(c±d)/d

等比性質(zhì)

如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0)，

那么(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b

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