益陽市一中2013年下學期期中考試 高二理科數學試題 時量120分鐘 總分150分 命題人：李立明 審題人：石宏波一、選擇題 （每小題5分，共40分）1、“ 粗繒大布裹生涯, 腹有詩書氣自華。2、“對任意，都有”的否定為A.對任意，都有 B.不存在，都有 C.存在，使得 D.存在，使得3、正方體ABCD(A1B1C1D1中,BB1與平面ACD1所成角的余弦值是A. B. C. D. 4、 雙曲線與拋物線有一個公共焦點F，過點F且垂直于實軸的弦長為，則雙曲線的離心率等于A. B. C. D.5、 已知雙曲線：（）的離心率為，則的漸近線方程為A. B. C. D.6、 已知橢圓的焦點為，的直線交橢圓于兩點。若的中點坐標為，則的方程為 A. B. C. D.7、設拋物線的焦點為，點在上，，若以為直徑的圓過點，則的方程為A.或 B.或 C.或 D.或 8、在邊長為1的正六邊形ABCDEF中，記以A為起點，其余頂點為終點的向量分別為；以D為起點，其余頂點為終點的向量分別為.若分別為的最小值、最大值，其中，,則滿足. A. B. C. D.二.填空題 （每小題5分，共35分）9、如圖，在正方體中，.分別是.的中點，則異面直線與所成角的大小是_______10、已知條件；條件，若p是q的充分不必要條件，則a的取值范圍是__________.11、給出下列命題：①命題“若b2－4acb>0，則>>0”的逆否命題；④“若m>1，則mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集為R”的逆命題.其中真命題的序號為________.12、 已知點...，則向量在方向上的投影為是________________________.13、已知拋物線方程，則它的焦點坐標為_______14、拋物線上的點到拋物線準線距離為，到直線的距離為，則的最小值是15、設AB是橢圓的長軸，點C在橢圓上，且，若AB=4，，則橢圓的兩個焦點之間的距離為________三.解答題 （共75分，16~18每題12分，19~21每題13分）16、已知命題p：函數是R上的減函數；命題q：在時，不等式恒成立，若pvq是真命題，求實數a的取值范圍.17、 設橢圓的離心率為=,點是橢圓上的一點,且點到橢圓兩焦點的距離之和為4. (1)求橢圓的方程； (2)若橢圓上一動點關于直線的對稱點為,求的取值范圍. 18、已知雙曲線C：與直線:x + y = 1相交于兩個不同的點A、B.(1) 求雙曲線C的離心率e的取值范圍；(2) 設直線與y軸交點為P，且，求的值19、如圖，在四棱錐P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，AB＝4，PA＝3，A點在PD上的射影為G點，E點在AB上，平面PEC⊥平面PDC.（1）求證：AG∥平面PEC；（2）求AE的長；（3）求直線AG與平面PCA所成角的正弦值.20、如圖，正方形所在平面與圓所在平面相交于，線段為圓的弦，垂直于圓所在平面，垂足是圓上異于、的點，，圓的直徑為9。（1）求證：平面平面；（2）求二面角的平面角的正切值。21、已知拋物線，點關于軸的對稱點為，直線過點交拋物線于兩點.(1)證明：直線的斜率互為相反數； (2)求面積的最小值；(3)當點的坐標為，且.根據（1）（2）推測并回答下列問題（不必說明理由）：①直線的斜率是否互為相反數？ ②面積的最小值是多少？益陽市一中2013年下學期期中考試高二理科數學試題參考答案（僅供參考）12345678ADBACDCD8. 作圖知，只有，其余均有，易知應選D二.填空題答案:9.90。 10. 11. ①②③ 12. 13. (0, ) 14. 15. 三.解答題答案:16. p：∵函數是R上的減函數∴0＜2a－5＜1， ……3分故有＜a＜3 ……4分q：由x2－ax＋x＜0得ax＞x2＋2，∵1＜x＜2，且a＞在x∈（1，2）時恒成立， ……6分又 ∴a≥3 ……9分p∪q是真命題，故p真或q真，所以有＜a＜3或a≥3 ……11分所以a的取值范圍是a＞ ……12分17. 解:(1)依題意知, ∵,. ∴所求橢圓的方程為. ……3分（2）∵ 點關于直線的對稱點為，∴ 解得：，. ∴. ……10分∵ 點在橢圓:上,∴, 則.∴的取值范圍為. ……12分18. （1）由曲線C與直線相交于兩個不同的點，知方程組有兩個不同的解，消去y并整理得： 得且雙曲線的離心率∵∴即離心率e的取值范圍為. ……6分（2）設∵,∴，得由于是方程①的兩個根，∴即， 得，解得 ……12分19. 解（1）證明：∵CD⊥AD，CD⊥PA ∴CD⊥平面PAD ∴CD⊥AG，又PD⊥AG ∴AG⊥平面PCD …………2分作EF⊥PC于F，因面PEC⊥面PCD ∴EF⊥平面PCD ∴EF∥AG又AG 面PEC，EF 面PEC，∴AG∥平面PEC ………………4分（2）由（1）知A、E、F、G四點共面，又AE∥CD ∴ AE∥平面PCD∴AE∥GF ∴四邊形AEFG為平行四邊形，∴AE＝GF …………5分∵PA＝3，AB＝4 ∴PD＝5，AG＝，又PA2＝PG?PD ∴PG ……………………6分又 ∴ ∴ ………………8分（3）∵EF∥AG , 所以AG與平面PAC所成角等于EF與平面PAC所成的角 ，過E作EO⊥AC于O點，易知EO⊥平面PAC，又EF⊥PC，∴OF是EF在平面PAC內的射影∴∠EFO即為EF與平面PAC所成的角 ……10分， 又EF＝AG ∴ 所以AG與平面PAC所成角的正弦值等于 ………………13分20. (1)證明：∵垂直于圓所在平面，在圓所在平面上，∴。在正方形中，，∵，∴平面.∵平面，∴平面平面。 ……………………………………………6分（2）∵平面，平面，∴�！酁閳A的直徑，即.設正方形的邊長為，在△中，，在△中，，由，解得，。 ∴。過點作于點，作交于點，連結，由(1)知平面�！咂矫�， ∴�！�，，∴平面�！咂矫�，∴�！嗍嵌�面角的平面角�！�………………………………10分在△中，，，，∵，∴。 在△中，，,∴。故二面角的平面角的正切值為。 …………………………13分21.（1）設直線的方程為.由 可得 .設，則.-------3分∴ ∵.又當垂直于軸時，點關于軸，顯然.綜上，. ----------8分（2）=.當垂直于軸時，.∴面積的最小值等于. -----------11分（3）推測：①；②面積的最小值為. ----------- 13分4. （1）由題意可得點M（x,y）到兩定點F1（0，）、F2（0，-）的距離和為4，故軌跡C是以F1、F2為焦點的橢圓，其方程為 x2+=1.（2）顯然x=-2與曲線C無交點，故直線L的斜率存在，設直線L的方程為y=k(x+2),并設點A、B的坐標分別為A（x1,y1）、B（x2,y2）.由得（4+k2）x2+4 k2x+4 （k2-1）=0△=16k4-16（4+ k2）（k2-1）=-16(3 k2-4)＞0 k2＜∴x1+x2=- ① x1x2= ②∵=+ ∴四邊形OAPB為平行四邊形若存在直線L使得四邊形OAPB為矩形，則?=0∴x1x2+ y1y2=（1+ k2）x1x2+2k2（x1+x2）+4k2=0 ③將①②代入③解得k2=設P（x0,y0），則x0= x1+x2=-,故點P不在直線x=-上即不存在這樣的直線L使得四邊形OAPB為矩形.另解提示:解答第(2)題時,如果先利用OP中點即為AB的中點,可以求得k2=.與上面的解法一樣還可求得k2=,這是不可能的,所以不存在這樣的直線L使得四邊形OAPB為矩形PAGDCBEEBCDGAPoF湖南省益陽市一中2013-2014學年高二上學期期中考試數學（文）試題
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