屆高上學(xué)期期末四校聯(lián)考 （是錐體的底面積，是錐體的高）第一部分選擇題（共40分）一．選擇題（本大題共8道小題，每小題5分，滿分40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中有且只有一個(gè)是符合題目要求的）1.集合為函數(shù)的值域，集合，則等于( )A． B． C． D．2.雙曲線的兩漸近線方程為( ) gkstk A．B．C．D．均為單位向量，且，那么向量與的夾角為( )A．B．C．D．A．B．C．D．的圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象, 則( )A．B．C．D．6.三棱錐的主視圖和俯視圖為如圖所示的兩個(gè)全等的等腰三角形，其中底邊長(zhǎng)為，腰長(zhǎng)為，則該三棱錐左視圖的面積為( )A．B．C．D．A．B．C．D．，定義它們之間的一種“距離”： 給出下列三個(gè)命題：①若點(diǎn)C在線段AB上，則；②在中，；③在中，若，則．A．B． C． D．”也可寫(xiě)成“”或“”，均表示賦值語(yǔ)句)11.在中，分別是角的對(duì)邊，已知 ，則 gkstk12.設(shè)滿足，則的取值范圍是 . 13.已知等比數(shù)列是正項(xiàng)數(shù)列，且，其前項(xiàng)的和為，恒成立，則的最大值為 . 14.已知為圓上的任意一點(diǎn)，若到直線的距離小于的概率為，則= .三、解答題：本大題共6小題，滿分80分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.（本題滿分12分）已知.（Ⅰ）求函數(shù)的；（）在中，角所對(duì)的邊分別為若，求的值．]”，已知第一組至第五組數(shù)據(jù)的頻率之比為，第一組數(shù)據(jù)的頻數(shù)是4.(I) 求出樣本容量，并估計(jì)西村11月至12月空氣質(zhì)量為優(yōu)良等級(jí)（優(yōu)秀或良好）的概率； (II)從空氣質(zhì)量等級(jí)是優(yōu)秀等級(jí)或重度污染等級(jí)的數(shù)據(jù)中抽取2份數(shù)據(jù)，求抽出的兩份數(shù)據(jù)都是優(yōu)秀等級(jí)的概率.gkstk17.（本題滿分14分）如圖，四棱錐的底面是直角梯形，其中，，頂點(diǎn)在底面的射影落在線段上，是的中點(diǎn).（）平面；（）平面；(III)若，求三棱錐的體積.18.（本題滿分14分）已知二次函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且關(guān)于的不等式的解集為.（I）求的解析式II）設(shè)，且當(dāng)時(shí)，的最小值為，的值.19.（本題滿分14分）已知，設(shè)是單調(diào)遞減的等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，且、、成等差數(shù)列. (I)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(II)數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式III)在滿足(II)的條件下，若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.gkstk20.（本題滿分14分）已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且橢圓的離心率，過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓于點(diǎn)及.（I）求橢圓的方程；（II）求證：為定值； (Ⅲ) 求的最小值. 屆高上學(xué)期期末四校聯(lián)考 12． 13. 14．三、解答題：本大題共6小題，滿分80分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.解：（Ⅰ）（）, 得， ……5分即函數(shù)的（） ……6分（）得， ∴，即， ……8分根據(jù)正弦定理，由，得，故， ……9分∵，∴， gkstk ……10分∵，∴ ……12分16.解：(I)設(shè)樣本容量為，則，解得，……2分空氣質(zhì)量為優(yōu)秀或良好等級(jí)的頻率為. ……5分(II)測(cè)試結(jié)果為優(yōu)秀等級(jí)[0,50)的有天，設(shè)為 ……6分測(cè)試結(jié)果為重度污染等級(jí)[200,250]的有天，設(shè)為 ……7分 設(shè)抽取的兩份數(shù)據(jù)為，則共有如下15種情況：、、、、、、、、、、、、、、， ……9分兩份數(shù)據(jù)都是優(yōu)秀等級(jí)的有如下6種情況：、、、、、 ……10分設(shè)“兩份數(shù)據(jù)都是優(yōu)秀等級(jí)”為事件A，則. 答：抽出的兩份數(shù)據(jù)都是優(yōu)秀等級(jí)的概率為 ……12分 17.（）中點(diǎn)，連結(jié)，∵分別是的中點(diǎn)，∴，又，且，∴，且∴四邊形是平行四邊形， ……2分∴ ……3分又∵，， ……4分∴平面 ……5分證法二：取中點(diǎn)，連結(jié)∵分別是的中點(diǎn)，∴，又∵，，∴平面 ……1分∵，且，∴四邊形是平行四邊形，∴又∵，，∴平面 ……2分，，∴平面……4分∵，∴平面 ……5分（）在底面的射影落在線段上，設(shè)為，則 ∵，∴ ……6分∵中，，中，，∴∽，∴，故 即 ……8分又∵，，∴ ……9分，∴ ……10分證法二：頂點(diǎn)在底面的射影落在線段上，設(shè)為，則 ，∵，∴ ……6分在平面上，以為原點(diǎn)，所在的直線為軸，所在的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，得，，，，由，得 ……8分又∵，，∴ ……9分，∴ ……10分(III) 解法一：∵，∴頂點(diǎn)在底面的射影落在線段的中點(diǎn)上，且由知 gkstk ……11分∵分別是的中點(diǎn)，∵到面的距離是到面的距離的……12分 ……14分解法二：割補(bǔ)法∵，∴頂點(diǎn)在底面的射影落在線段的中點(diǎn)上，且由知 ……11分∵分別是的中點(diǎn)，∵到面的距離是到面的距離的 ……12分 ……14分解法三：∵，∴頂點(diǎn)在底面的射影落在線段的中點(diǎn)上，且由知 ……11分設(shè)，則由（） ……12分 ∴其中……13分 ……14分18.解：（I），由是偶函數(shù)知的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則，即，故. ……1分∵不等式的解集為，∴且是方程即的兩根.由韋達(dá)定理，得，解得：. ……5分∴. ……6分gkstk（II）（I），對(duì)稱軸. ……7分 下面分類(lèi)討論： 當(dāng)，即時(shí)，在上為減函數(shù)，∴ ，得(舍去)，即時(shí)，，∴或(舍去).，即時(shí)，在上為增函數(shù)， ∴，得. ……13分綜上所述，或?yàn)樗��? ……14分19.解：(I)設(shè)數(shù)列 的公比為，由， ……1分得，即，所以， ……3分∵是單調(diào)數(shù)列，∴， ……4分 ……5分 (II) ，∵，∴，即，……6分 即是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列， ……7分故, 即 ……9分(III) ……10分 …11分兩式相減，得…12分 ……13分 即 ……14分20．解：（I）由，得，即，即．（1）， ……1分 由橢圓過(guò)點(diǎn)知，．（2）……2分聯(lián)立（1）、（2）式解得． ……3分 故橢圓的方程是； ……4分（II）為定值 ……5分法一：證明 橢圓的右焦點(diǎn)為，分兩種情況． 1°當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，AB:，則 CD:．此時(shí)，,； ……6分2°當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)AB : ，則 CD：．又設(shè)點(diǎn)．聯(lián)立方程組消去并化簡(jiǎn)得， 所以， ……7分 ……8分 由題知，直線的斜率為，同理可得 ……9分所以為定值. ……10分法二：證明 橢圓的右焦點(diǎn)為，分兩種情況． 1°當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，AB:，則 CD:．此時(shí)，,； ……6分2°當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)AB : ，則 CD：．又設(shè)點(diǎn)．聯(lián)立方程組消去并化簡(jiǎn)得，所以， ……7分 由，同理 …… 8分 故由題知，直線的斜率為，同理可得 ……9分所以為定值. ……10分 (Ⅲ)解：由（II）知， 所以 ……11分， ……12分當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)取等號(hào) ……13分所以的最小值為. ……14分gkstk！第6頁(yè) 共13頁(yè)學(xué)優(yōu)高考網(wǎng)！！廣東省四校高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題
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