1、初等幾何
在希臘語中，“幾何學”是由“地”與“測量”合并而來的，本來有測量土地的含義，意譯就是“測地術”�！皫缀螌W”這個名詞，系我國明代數(shù)學家根據(jù)讀音譯出的，沿用至今。
現(xiàn)在的初等幾何主要是指歐幾里得幾何，它是討論圖形(點、線、面、角、圓等)在運動下的不變性質的科學。
例如，歐氏幾何中的兩點之間的距離，兩條直線相交的交角大小，半徑是r的某一圓的面積等都是一些運動不變量。
初等幾何作為一門課程來講，安排在初等代數(shù)之后；然而在歷史上，幾何學的發(fā)展曾優(yōu)先于代數(shù)學，它主要被認為是古希臘人的貢獻。
幾何學舍棄了物質所有的其它性質，只保留了空間形式和關系作為自己研究的對象，因此它是抽象的。這種抽象決定了幾何的思維方法，就是必須用推理的方法，從一些結論導出另一些新結論。定理是用演繹的方式來證明的，這種論證幾何學的代表作，便是公元前三世紀歐幾里得的《原本》，它從定義與公理出發(fā)，演繹出各種幾何定理。
現(xiàn)在中學《平面三角》中關于三角函數(shù)的理論是15世紀才發(fā)展完善起來的，但是它的一些最基本的概念，卻早在古代研究直角三角形時便己形成。因此，可把三角學劃在初等幾何這一標題下。
古代埃及、巴比倫、中國、希臘都研究過有關球面三角的知識。公元前2世紀，希帕恰斯制作了弦表，可以說是三角的創(chuàng)始人。后來印度人制作了正弦表；阿拉伯的阿爾?巴塔尼用計算sinθ值的方法來解方程，他還與阿布爾?沃法共同導出了正切、余切、正割、余割的概念；賴蒂庫斯作了較精確的正弦表，并把三角函數(shù)與圓弧聯(lián)系起來。
由于直角三角形是最簡單的直線形，又具有很重要的實用價值，所以各文明古國都極重視它的研究。我國《周髀算經(jīng)》一開始就記載了周朝初年(約公元前1100年左右)的周公與學者商高的對話，其中就談到“勾三股四弦五”，即勾股定理的特殊形式；還記載了在周公之后的陳子，曾用勾股定理和相似圖形的比例關系，推算過地球與太陽的距離和太陽的直徑，同時為勾股定理作的圖注達幾十種之多。在國外，傳統(tǒng)稱勾股定理為畢達哥拉斯定理，認為它的第一個一致性的證明源于畢氏學派(公元前6世紀)，雖然巴比倫人在此以前1000多年就發(fā)現(xiàn)了這個定理。到現(xiàn)在人們對勾股定理已經(jīng)至少提供了370種證明。
19世紀以來，人們對于關于三角形和圓的初等綜合幾何，又進行了深入的研究。至今這一研究領域仍然沒有到頭，不少資料已引申到四面體及伴隨的點、線、面、球。
2、射影幾何
射影幾何學是一門討論在把點射影到直線或平面上的時候，圖形的不變性質的一門幾何學�；脽羝系狞c、線，經(jīng)過幻燈機的照射投影，在銀幕上的圖畫中都有相對應的點線，這樣一組圖形經(jīng)過有限次透視以后，變成另一組圖形，這在數(shù)學上就叫做射影對應。射影幾何學在航空、攝影和測量等方面都有廣泛的應用。
射影幾何是迪沙格和帕斯卡在1639年開辟的。迪沙格發(fā)表了?本關于圓維曲線的很有獨創(chuàng)性的小冊子，從開普勒的連續(xù)性原理開始，導出了許多關于對合、調和變程、透射、極軸、極點以及透視的基本原理，這些課題是今天學習射影幾何這門課程的人所熟悉的。年僅16歲的帕斯卡得出了一些新的、深奧的定理，并于9年后寫了一份內容很豐富的手稿。18世紀后期，蒙日提出了二維平面上的適當投影表達三維對象的方法，因而從提供的數(shù)據(jù)能快速算出炮兵陣地的位置，避開了冗長的、麻煩的算術運算。
射影幾何真正獨立的研究是由彭賽勒開創(chuàng)的。1822年，他發(fā)表了《論圖形的射影性質》一文，給該領域的研究以巨大的推動作用。他的許多概念被斯坦納進一步發(fā)展。1847年，斯陶特發(fā)表了《位置幾何學》一書，使射影幾何最終從測量基礎中解脫出來。
后來證明，采用度量適當?shù)纳溆岸x，能在射影幾何的范圍內研究度量幾何學。將一個不變二次曲線添加到平面上的射影幾何中，就能得到傳統(tǒng)的非歐幾何學。在19世紀晚期和20世紀初期，對射影幾何學作了多種公設處理，并且有限射影幾何也被發(fā)現(xiàn)。事實證明，逐漸地增添和改變公設，就能從射影幾何過渡到歐幾里得幾何，其間經(jīng)歷了許多其它重要的幾何學。
3、解析幾何
解析幾何即坐標幾何，包括平面解析幾何和立體解析幾何兩部分。解析幾何通過平面直角坐標系和空間直角坐標系，建立點與實數(shù)對之間的一一對應關系，從而建立起曲線或曲面與方程之間的一一對應關系，因而就能用代數(shù)方法研究幾何問題，或用幾何方法研究代數(shù)問題。
在初等數(shù)學中，幾何與代數(shù)是彼此獨立的兩個分支；在方法上，它們也基本是互不相關的。解析幾何的建立，不僅由于在內容上引入了變量的研究而開創(chuàng)了變量數(shù)學，而且在方法上也使幾何方法與代數(shù)方法結合起來。
在迪沙格和帕斯卡開辟了射影幾何的同時，笛卡兒和費爾馬開始構思現(xiàn)代解析幾何的概念。這兩項研究之間存在一個根本區(qū)別：前者是幾何學的一個分支，后者是幾何學的一種方法。
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