數(shù)學（文科）
說明：
⒈ 本訓練題由廣州市中學數(shù)學研究會高三中心組與廣州市高考數(shù)學研究組共同編寫，共24題．
⒉ 本訓練題僅供本市高三學生考前沖刺訓練用，希望在5月31日之前完成．
3．本訓練題與市高三質(zhì)量抽測、一模、二模等數(shù)學試題在內(nèi)容上相互配套，互為補充．四套試題覆蓋了高中數(shù)學的主要知識和方法．因此，希望同學們在5月31日至6月6日之間，安排一段時間，對這四套試題進行一次全面的回顧總結(jié)，同時，將高中數(shù)學課本中的基本知識（如概念、定理、公式等）再復(fù)習一遍
希望同學們保持良好的心態(tài)，在高考中穩(wěn)定發(fā)揮，考取理想的成績！
1.已知函數(shù) ， 的最大值是1，其圖像經(jīng)過點
．
（1）求 的解析式；
（2）已知 ，且 ， ，求 的值．
2. 設(shè)函數(shù) .
（1）若 是函數(shù) 的一個零點，求 的值；
（2）若 是函數(shù) 的一個極值點，求 的值.
3. 在 中，內(nèi)角 所對的邊長分別是 , 已知 ， .
（1）求 的值；
（2）若 為 的中點，求 的長.
4. 一緝私艇發(fā)現(xiàn)在方位角（從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角）45°方向，距離15 海里的海面上有一走私船正以25 海里/小時的速度沿方位角為105°的方向逃竄．若緝私艇的速度為35 海里/小時，緝私艇沿方位角為45°+α的方向追去，若要在最短時間內(nèi)追上該走私船．
（1）求角α的正弦值；
（2）求緝私艇追上走私船所需的時間．
5. 某學校餐廳新推出A，B，C，D四款套餐，某一天四款套餐銷售情況的條形圖如下.為
了了解同學對新推出的四款套餐的評價，對每位同學都進行了問卷調(diào)查，然后用分層抽樣的方法從調(diào)查問卷中抽取20份進行統(tǒng)計，統(tǒng)計結(jié)果如下面表格所示：
滿意一般不滿意
A套餐50%25%25%
B套餐80%020%
C套餐50%50%0
D套餐40%20%40%
（1）若同學甲選擇的是A款套餐，求甲的調(diào)查問卷被選中
的概率；
（2）若想從調(diào)查問卷被選中且填寫不滿意的同學中再選出2人
進行面談，求這兩人中至少有一人選擇的是D款套餐的概率.
6.汽車是碳排放量比較大的行業(yè)之一．歐盟規(guī)定，從2014年開始，將對 排放量超過
的 型新車進行懲罰．某檢測單位對甲、乙兩類 型品牌車各抽取 輛進行
排放量檢測，記錄如下(單位： ).
甲80110120140150
乙100120 160
經(jīng)測算發(fā)現(xiàn)，乙品牌車 排放量的平均值為 ．
（1）從被檢測的5輛甲類品牌車中任取2輛，則至少有一輛不符合 排放量的概率是多少？
（2）若 ，試比較甲、乙兩類品牌車 排放量的穩(wěn)定性．
7．某初級中學共有學生2000名，各年級男、女生人數(shù)如下表：
初一年級初二年級初三年級
女生373xy
男生377370z
已知在全校學生中隨機抽取1名，抽到初二年級女生的概率是0.19.
（1）求x的值；
（2）現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取48名學生，問應(yīng)在初三年級抽取多少名？
（3）已知y 245,z 245,求初三年級中女生比男生多的概率.
8．斜三棱柱 中，側(cè)面 底面ABC，側(cè)面 是菱形， ， ， ，E、F分別是 ，AB的中點．
（1）求證：EF∥平面 ；
（2）求證：CE⊥面ABC．
（3）求四棱錐 的體積．.
9. 如圖，在等腰梯形PDCB中，PＢ∥CD ，PB＝3，DC＝1，PD＝BC＝ ，A為PB邊
上一點，且PA＝1，將ΔPAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD.
（1）求證：平面PAD⊥平面PCD.
（2）在線段PB上是否存在一點M，使截面AMC把幾何體分成的兩部分的體積之比為
VPDCMA:VM－ACB＝2:1, 若存在，確定點M的位置；若不存在, 說明理由.
（3）在（2）的條件下，判斷AM是否平行于平面PCD.
10. 如圖所示，圓柱的高為2，底面半徑為 , AE、DF是圓柱的兩條母線，過 作圓柱的截面交下底面于 ，且 ＝
（1）求證：平面 ∥平面 ；
（2）求證： ；
（3）求四棱錐 體積的最大值.
11.已知等比數(shù)列 的公比 ， ，且 、 、 成等差數(shù)列.
（1）求數(shù)列 的通項公式；
（2）設(shè) ，求數(shù)列 的前 項和 .
12.提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度 （單位：千米/小時）是車流密度 （單位：輛/千米）的函數(shù)．當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0 ；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時．研究表明：當 時，車流速度 是車流密度 的一次函數(shù)．
(1)當 時，求函數(shù) 的表達式；
(2)當車流密度 為多大時，車流量 可以達到最大，并求出最大值（精確到1輛/小時）. (車流量為單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，單位：輛/小時）
13．某地區(qū)有荒山2200畝，從2002年開始每年年初在荒山上植樹造林，
第一年植樹100畝，以后每年比上一年多植樹50畝．
（1）若所植樹全部成活，則到哪一年可以將荒山全部綠化？
（2）若每畝所植樹苗木材量為2立方米，每年樹木木材量的自然增長率
為20％，那么到全部綠化后的那一年年底，該山木材總量是多少？
（精確到１立方米, ）
14. 已知拋物線 與雙曲線 有公共焦點 ，點
是曲線 在第一象限的交點，且 ．
（1）求雙曲線 的方程；
（2）以雙曲線 的另一焦點 為圓心的圓 與直線 相切，圓 ：
．過點 作互相垂直且分別與圓 、圓 相交的直線 和 ，設(shè) 被圓 截得的弦長為 ， 被圓 截得的弦長為 ． 是否為定值？請說明理由．
15. 如圖，長為m＋1（m＞0）的線段AB的兩個端點A和B分別在x軸和y軸上滑動，點M是線段AB上一點，且 ．
（1）求點M的軌跡Γ的方程，并判斷軌跡Γ為何種圓錐曲線；
（2）設(shè)過點Q(12，0)且斜率不為0的直線交軌跡Γ于C、D兩點．
試問在x軸上是否存在定點P，使PQ平分∠CPD？若存在，求點P的坐標；
若不存在，請說明理由．
16.已知數(shù)列 的前 項和的平均數(shù)為
（1）求 的通項公式；
（2）設(shè) ，試判斷并說明 的符號；
（3）設(shè)函數(shù) ，是否存在最大的實數(shù) ? 當 時，對于一切非零自然數(shù) ，都有
17. 數(shù)列 滿足 ，且 時， ，
（1）求數(shù)列 的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列 的前 項和為 ，求證對任意的正整數(shù) 都有
18. 設(shè) ，函數(shù) ， ， ．
（1）當 時，求函數(shù) 的值域；
（2）試討論函數(shù) 的單調(diào)性．
19.已知函數(shù) 的圖像在點 處的切線方程為 .
（1）用 表示出 ；
（2）若 在 上恒成立，求 的取值范圍；
（3）證明： .
20.如圖,已知直線 及曲線 上的點 的橫坐標為 ( ).從曲線 上的點 作直線平行于 軸，交直線 作直線平行于 軸，交曲線 的橫坐標構(gòu)成數(shù)列 .
(1)試求 的關(guān)系;
(2)若曲線 的平行于直線 的切線的切點恰好介于點 之間
(不與 重合),求 的取值范圍;
(3)若 ,求數(shù)列 的通項公式.
21. 已知函數(shù) 的導(dǎo)函數(shù)是 , 對任意兩個不相等
的正數(shù) , 證明: (1)當 時, ;
(2)當 時, .
22. 對于函數(shù) ，若存在 ∈R，使 成立，則稱 為 的不動點．
如果函數(shù) ＝ 有且僅有兩個不動點0和2．
（1）試求b、c滿足的關(guān)系式；
（2）若c＝2時，各項不為零的數(shù)列{an}滿足4Sn? ＝1，
求證： ＜ ＜ ；
（3）在(2)的條件下, 設(shè)bn＝－ ， 為數(shù)列{bn}的前n項和，
求證： ．
23.已知定義在 上的單調(diào)函數(shù) ，存在實數(shù) ，使得對于任意實數(shù) ，總有 恒成立．
（1）求 的值；
（2）若 ，且對任意正整數(shù) ，有 ，
記 ，比較 與 的大小關(guān)系，并給出證明．
24. 已知函數(shù) ，設(shè) 在點 N*）處的切線在 軸上的截距為 ，數(shù)列 滿足： N*）．
（1）求數(shù)列 的通項公式；
（2）在數(shù)列 中，僅當 時， 取最小值，求 的取值范圍；
（3）令函數(shù) ，數(shù)列 滿足： ， N*），
求證：對于一切 的正整數(shù)，都滿足： ．
參考答案
1.解：（1）依題意有 ，則 ，將點 代入得 ，
而 ， ， ，故 .
（2）依題意有 ，而 ，
，
.
2. 解：（1） 是函數(shù) 的一個零點, ∴ , 從而 .
∴
（2） , 是函數(shù) 的一個極值點
∴ , 從而 .
∴ .
3. 解：（1） 且 ，∴ ．
∴
．
（2）由（1）可得 ．
由正弦定理得 ，即 ，解得 ．
在 中， ， ，∴ ．
4. 解：（1）設(shè)緝私艇追上走私船所需的時間為t小時，
則有BC＝25t，AB＝35t，
且∠CAB＝α，∠ACB＝120°，
根據(jù)正弦定理得： ，
即 ， ∴ sinα＝ ．
（2）在△ABC中由余弦定理得：AB2＝AC2＋BC2－2ACBCcos∠ACB，
即 （35t）2＝152＋（25t）2－2?15?25t?cos120°，即24t2?15t?9＝0，
解之得：t=1或t=－ （舍）
故緝私艇追上走私船需要1個小時的時間．
5. 解：（1）由條形圖可得，選擇A，B，C，D四款套餐的學生
共有200人，其中選A款套餐的學生為40人，
由分層抽樣可得從A款套餐問卷中抽取了 份.
設(shè) “甲的調(diào)查問卷被選中” 為事件 ，則 .
答：若甲選擇的是A款套餐，甲被選中調(diào)查的概率是 .
(2) 由圖表可知，選A，B，C，D四款套餐的學生分別接受調(diào)查的人數(shù)為4，5，6，5. 其中不滿意的人數(shù)分別為1，1，0，2個 .
記對A款套餐不滿意的學生是a；對B款套餐不滿意的學生是b；對D款套餐不滿意的學生是c，d.
設(shè)“從填寫不滿意的學生中選出2人，這兩人中至少有一人選擇的是D款套餐” 為事件 ,
從填寫不滿意的學生中選出2人，共有(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)6個基本事件，
而事件 有(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)5個基本事件， 則 .
6. 解：（1）從被檢測的 輛甲類品牌車中任取 輛，共有 種不同的 排放量結(jié)果：
( )；( )；( )；( )；( )；
( )；( )；( )；( )；( ).
設(shè)“至少有一輛不符合 排放量”為事件 ，則事件 包含以下 種不同的結(jié)果：
( )；( )；( )；( )；( )；( )；( ).
所以， . 答：至少有一輛不符合 排放量的概率為
（2）由題可知， ， .
， ，∴乙類品牌車碳排放量的穩(wěn)定性好.
7．解（1）
（2）初三年級人數(shù)為y＋z＝2000－（373＋377＋380＋370）＝500，
現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取48名學生，應(yīng)在初三年級抽取的人數(shù)為： 名
（3）設(shè)初三年級女生比男生多的事件為A ，初三年級女生男生數(shù)記為（y，z）；
由（2）知 ，且 ,基本事件空間包含的基本事件有：
（245，255）、（246，254）、（247，253）、……（255，245）共11個
事件A包含的基本事件有：（251，249）、（252，248）、（253，247）、(254,246)、(255,245) 共5個, .
8.（1）證明：取BC中點M，連結(jié)FM， ．在△ABC中，
∵F，M分別為BA，BC的中點，
∴FM AC．
∵E為 的中點，AC
∴FM ．
∴四邊形 為平行四邊形 ∴ ．
∵ 平面 ， 平面 ， ∴EF∥平面 ．
（2）證明： 連接 ，∵四邊形 是菱形，
∴△ 為等邊三角形
∵E是 的中點． ∴CE⊥
∵四邊形 是菱形 , ∴ ∥ . ∴CE⊥ .
∵ 側(cè)面 ⊥底面ABC, 且交線為AC， 面
∴ CE⊥面ABC
（3）連接 ，∵四邊形 是平行四邊形，所以四棱錐
由第(2)小問的證明過程可知 面ABC
∵ 斜三棱柱 中，∴ 面ABC ∥ 面 . ∴ 面
∵在直角△ 中 ， ， ∴
∴
∴ 四棱錐 =
9．（1）證明：連接AＣ， ∵PA CD ∴四邊形PACD為平行四邊形
∴PD＝AＣ ∵PD＝ ∴AＣ＝
∵DC＝PA＝1 ∴ ∴CD⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，且交線為AD
∴DC⊥平面PAD.
∵DC 平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD.
（2）在線段PB上是存在這樣的點M，當M為PB中點時，使截面AMC把幾何體分成的兩部分VPDCMA:VM－ACB＝2:1．理由如下:
∵DC∥PA， CD⊥AD，∴ PA⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，且交線為AD
∴PA ⊥平面ABCD
∵M為PB中點 ∴點Ｍ到面ACB的距離等于 PA .
∴ .
∵ ＝ ,
∴ . ∴ ，故M為PB中點.
（3） AM與平面PCD不平行
∵AB∥CD，AB 平面PCD，CD 平面PCD，∴AB∥平面PCD
若AM∥平面PCD，∵AB∩AM=A，∴平面ABM∥平面PCD
這與平面ABM與平面PCD有公共點P矛盾
∴AM與平面PCD不平行
10.（1）證明：∵AE、DF是圓柱的兩條母線
∴ AE∥DF.
∵ 平面 ， 平面 ,∴ AE∥平面
在圓柱中： 上底面//下底面，且上底面∩截面ABCD＝ ，
下底面∩截面ABCD＝
∴ //
∵ ＝ ∴四邊形ABCD為平行四邊形
∴ AB∥CD.
∵ 平面 , 平面 , ∴ AB∥平面 .
∵ ∴ 平面 ∥平面
（2）證明：∵AE、DF是圓柱的兩條母線，
四邊形 平行四邊形， ∥ 且 =
∵四邊形ABCD為平行四邊形 ∥ 且 =
∥ 且 =
在圓柱底面上因為 ∥ 且 =
為直徑
（3）解法1：作 ∵ 圓柱的母線 垂直于底面
∴
∵
∴ 平面 ∴
∵ ∴ 平面
設(shè) 在Rt△ 中， ∴
在Rt△ 中， ，∴
由（2）的證明過程可知 平面 ∴
∵ 四邊形ABCD為平行四邊形 ∴四邊形ABCD為矩形
∴
在Rt△ 中， ∵
∴ ≤
當 時，即 時，四棱錐 的體積最大，最大值為
解法2：
設(shè) （或設(shè) ）
在Rt△ 中， ∴ （ ， ）
∵ 垂直于底面，設(shè) ，
∴ ≤
當 時，即 時，四棱錐 的體積最大，最大值為
解法3：
設(shè) ，
在Rt△ 中， ∴ ，
∵ 垂直于底面，
∴ = = ≤
當 ，即 時，四棱錐 的體積最大，最大值為 .
11.解：（1）因為 、 、 成等差數(shù)列，
所以 ，即 .
因為 ， ，所以 ，即 .
因為 ，所以 .所以 .
所以數(shù)列 的通項公式為 .
（2）因為 ，所以 .
所以
當 時，
；
當 時，
.
綜上所述，
12. 解:(1)由題意，當 時， 當 時，設(shè)
由已知得 解得 . .
(2)依題意得
當 時， 為增函數(shù)，故 .
當 時， 時， 取最大值 .
答：車流密度 為100時，車流量 達到最大值3333.
13.解：（1）設(shè)植樹 年后可將荒山全部綠化，記第 年初植樹量為 ，
依題意知數(shù)列 是首項 ，公差 的等差數(shù)列，
則 , 即
∵ ∴
∴到2009年初植樹后可以將荒山全部綠化．
（2）2002年初木材量為 ，到2009年底木材量增加為 ,
2003年初木材量為 ，到2009年底木材量增加為 ,……
2009年初木材量為 ，到2009年底木材量增加為 .
則到2009年底木材總量
----------①
---------②
②-①得
∴ ｍ2
答：到全部綠化后的那一年年底，該山木材總量為9060ｍ2
14. 解：（1）∵拋物線 的焦點為 ，
∴雙曲線 的焦點為 、 ，
設(shè) 在拋物線 上，且 ，
由拋物線的定義得， ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，又∵點 在雙曲線 上，由雙曲線定義得，
，∴ ， ∴雙曲線 的方程為： ．
（2） 為定值．下面給出說明．
設(shè)圓 的方程為： ， ∵圓 與直線 相切，
∴圓 的半徑為 ，故圓 ： .
顯然當直線 的斜率不存在時不符合題意，
設(shè) 的方程為 ，即 ，
設(shè) 的方程為 ，即 ，
∴點 到直線 的距離為 ，點 到直線 的距離為 ，
∴直線 被圓 截得的弦長 ，
直線 被圓 截得的弦長 ，
∴ ， 故 為定值 ．
15. 解：（1）設(shè)A、B、M的坐標分別為(x0，0)、(0，y0)、(x，y)，則
x20＋y20＝(m＋1)2， ①
由→AM＝m→MB，得(x－x0，y)＝m(－x，y0－y)，
∴x－x0＝－mx，y＝m(y0－y)．∴x0＝(m＋1)x，y0＝m＋1my． ②
將②代入①，得
(m＋1)2x2＋(m＋1m)2y2＝(m＋1)2，
化簡即得點M的軌跡Γ的方程為x2＋y2m2＝1（m＞0）．
當0＜m＜1時，軌跡Γ是焦點在x軸上的橢圓；
當m＝1時，軌跡Γ是以原點為圓心，半徑為1的圓；
當m＞1時，軌跡Γ是焦點在y軸上的橢圓．
（2）依題意，設(shè)直線CD的方程為x＝ty＋12，
由x＝ty＋12，x2＋y2m2＝1．消去x并化簡整理，得(m2t2＋1)y2＋m2ty－34m2＝0，
△＝m4t2＋3m2(m2t2＋1)＞0，
設(shè)C(x1，y1)，D(x2，y2)，則
y1＋y2＝－m2tm2t2＋1，y1y2＝－3m24(m2t2＋1)． ③
假設(shè)在x軸上存在定點P(a，0)，使PQ平分∠CPD，
則直線PC、PD的傾斜角互補，
∴kPC＋kPD＝0，即y1x1－a＋y2x2－a＝0，
∵x1＝ty1＋12，x2＝ty2＋12，∴y1ty1＋12－a＋y2ty2＋12－a＝0，
化簡，得4ty1y2＋(1－2a)( y1＋y2)＝0． ④
將③代入④，得－3m2tm2t2＋1－m2t(1－2a)m2t2＋1＝0，即－2m2t(2－a)＝0，
∵m＞0，∴t(2－a)＝0，∵上式對?t∈R都成立，∴a＝2．
故在x軸上存在定點P(2，0)，使PQ平分∠CPD．
16.解：（1）由題意， ，兩式相減得 ，而 ，
（2） ，
(3)由（2）知 是數(shù)列 的最小項.
當 時，對于一切非零自然數(shù) ，都有 ,
即 ，即 ，
解得 或 ， 取 .
17. 解：（1） ，則 則
（2） 由于 ，因此，
又
所以從第二項開始放縮：
因此
18.解:（1） ，
當 時， ，即 時， 最小值為2．
當 時， ，在 上單調(diào)遞增，所以 ．
所以 時， 的值域為 ．
（2）依題意得
①若 ，當 時， ， 遞減，當 時， ， 遞增．
②若 ，當 時，令 ，解得 ，
當 時， ， 遞減，當 時， ， 遞增．
當 時， ， 遞增．
③若 ，當 時， ， 遞減．
當 時，解 得 ，
當 時， ， 遞增，
當 時， ， 遞減．
④ ，對任意 ， ， 在 上遞減．
綜上所述，當 時， 在 或 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減；
當 時， 在 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減；
當 時， 在 上單調(diào)遞增，在 ， 上
單調(diào)遞減；
當 時， 在 上單調(diào)遞減．
19. 解：（1） 則有 .
（2）由（1）得
令 ,
①當 時， .若 ， 是減函數(shù)，
∴ ，即 故 在 不恒成立.
②當 時， .若 ， 是增函數(shù)，∴ ，
即 故 時 .綜上所述， 的取值范圍是 .
（3）由（2）知，當 時，有 .令 ，則 即當 時，總有 令 ，則 .將上述 個不等式累加得 整理得
20.解:(1)因為點 的坐標為 , 的坐標為 ,
所以點 的坐標為 ,則 故 的關(guān)系為
(2)設(shè)切點為 ,則 得 ,所以
解不等式 得 .
.
的取值范圍是
(3) 由 得 ,即 ,故
,
所以數(shù)列 是以2為公比,首項為 的等比數(shù)列, 即 解得 ,
數(shù)列 的通項公式為 .
21. 略解：（1）
.
，
而 ,
又 ,得 ,
又 ,得 ,由于 ,故 .
所以 .
所以 .
（2） ，故
，
下面證明： 成立.
法1： .
令 ，則 ，
可知 .即 .
法2： 即
由于 .
令 ，則 ，可知 .
故 成立.
22. 解： (1)設(shè) ∴
(2)∵c＝2 ∴b＝2 ∴ ，
由已知可得2Sn＝an－an2……①，且an ≠ 1．
當n ≥ 2時，2 Sn -1＝an－1－ ……②，
①－②得(an＋an－1)( an－an－1＋1)＝0，
∴an＝－an－1 或 an＝－an－1 ＝－1，
當n＝1時，2a1＝a1－a12 a1＝－1，
若an＝－an－1，則a2＝1與an ≠ 1矛盾．∴an－an－1＝－1， ∴an＝－n．
∴要證不等式，只要證 ，即證 ，
只要證 ，即證 ．
考慮證不等式 (x＞0) . (**)
令g(x)＝x－ln(1＋x)， h(x)＝ln(x＋1)－ (x＞0) ．
∴ ＝ ， ＝ ，
∵x＞0， ∴ ＞0， ＞0，∴g(x)、h(x)在(0, ＋∞)上都是增函數(shù)，
∴g(x)＞g(0)＝0， h(x)＞h(0)＝0，∴x＞0時， ．
令 則(**)式成立，∴ ＜ ＜ ，
(3)由(2)知bn＝ ，則Tn＝ ．
在 中，令n＝1，2，3， ，2008，并將各式相加，
得 ，
即T2009－1＜ln2009＜T2008．
23.解:（1）令 ，得 ，
……①，
令 得 ．
……②
由①、②，得 ．
為單調(diào)函數(shù)， ．
（2）由（1）得
， ，
， ．
24.解:（1） ，則 ，
得 ，即 ，
∴數(shù)列 是首項為2、公差為1的等差數(shù)列，∴ ，即 .
（2） ，∴函數(shù) 在點 N*）處的切線方程為：
，令 ，得 ．
，僅當 時取得最小值，
只需 ，解得 ，故 的取值范圍為 ．
（3） ，故 ，
，故 ，則 ，即 ．
∴
= ．
又 ，
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