第一講 計數原理、二項式定理
【備考策略】
根據近幾年高考命題特點和規(guī)律，復習本專題時，要注意以下幾個方面：
1．復習時要注意控制難度，以中低檔題為主；
2．注意各知識點的交匯，如統(tǒng)計與概率，計數原理與概率等；
3．統(tǒng)計部分應重視莖葉圖的復習，概率部分應重視條件概率，相互獨立事件同時發(fā)生的概率和幾何概型；程序框圖應有所降溫。
【最新考綱透析】
1．分類加法計數原理、分步乘法計數原理
（1）理解分類加法計數原理和分步乘法計數原理；
（2）會用分類加法計數原理或分步乘法計數原理分析和解決一些簡單的實際問題。
2．排列與組合
（1）理解排列、組合的概念；
（2）能利用計數原理推導排列數公式、組合數公式；
（3）能解決簡單的實際問題。
3．二項式定理
（1）能用計數原理證明二項式定理；
（2）會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題。
【核心要點突破】
要點考向1：利用分步加法和分步乘法計數原理計數
考情聚焦：1．兩個計數原理是排列、組合的基礎，又是古典概率的必要工具，在每年的高考中都直接或間接考查。
2．多在選擇、填空題中出現(xiàn)，屬中檔或較難題目。
考向鏈接：1．“分類”與“分步”的區(qū)別：關鍵是看事件完成情況，如果每種方法都能將事件完成則是分類；如果必須要連續(xù)若干步才能將事件完成則是分步。分類要用分類計數原理將種數相加；分步要用分步計數原理將種數相乘。
2．對于較復雜的問題，一般要分類討論，此時要注意分類討論的對象和分類討論的標準。
例1：用1，2，3這三個數字組成四位數，要求這三個數字必須都使用，
但相同的數字不能相鄰，以這樣的方式組成的四位數共有（ ）
A．9個B．12個C．18個D．36個
【解析】選C.先選取使用兩次的數字有 種，然后將剩余的兩個數字全排列有 種，再將使用兩次的數字插入到這兩個數字之間有 種，故共有 =18種組合方式.
要點考向2：利用排列組合計數問題
考情聚焦：1．在高考題中可單獨考查，也可與古典概型結合起來考查。常與兩個計數原理交匯命題，是各省市高考的熱點。
2．以選擇、填空題的形式呈現(xiàn)，屬中檔題或較難題目。
考向鏈接：解排列組合綜合應用題要從“分析”、“分辨”、“分類”、“分步”的角度入手�！胺治觥本褪钦页鲱}目的條件、結論。哪些是“元素”，哪些是“位置”；“分辨”就是辨別是排列還是組合，對某些元素的位置有無限制等；“分類”就是對于較復雜的應用題中的元素往往分成互相排斥的幾類，然后逐類解決；“分步”就是把問題化成幾個互相聯(lián)系的步驟，而每一步都是簡單的排列組合問題，然后逐步解決。
例2：（2010?北京高考理科?Ｔ4）8名學生和2位老師站成一排合影，2位老師不相鄰的排法種數為（ ）
（A） （B） （C） （D）
【命題立意】本題考查排列組合的相關知識。所用技巧：有序排列無序組合、不相鄰問題插空法。
【思路點撥】先排8名學生，再把老師插入到9個空中去。
【規(guī)范解答】選A。8名學生共有 種排法，把2位老師插入到9個空中有 種排法，故共有 種排法。
【方法技巧】解決排列組合問題常用的方法與技巧：（1）有序排列無序組合；（2）不相鄰問題插空法：可以把要求不相鄰的元素插入到前面元素間的空中；（3）相鄰問題捆綁法。
要點考向3：二項式定理
考情聚焦：1．二項展開式的指定項、二項式系數和各項的系數是高考的重點。常與組合數、冪的運算交匯命題。
2．多出現(xiàn)在選擇題、填空題中，屬容易題或中檔題。
例3：（2010?陜西高考理科?Ｔ4） （ ）展開式中 的系數為10，則實數 等于（ ）
（A）-1 （B） (C) 1 (D) 2
【命題立意】本題考查二項式定理的通項公式的應用及運算能力，屬保分題。
【思路點撥】
【規(guī)范解答】選D ，令 ，所以 ，所以
【高考真題探究】
1．（2010?山東高考理科?Ｔ8）某臺小型晚會由6個節(jié)目組成，演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在前兩位、節(jié)目乙不能排在第一位，節(jié)目丙必須排在最后一位，該臺晚會節(jié)目演出順序的編排方案共有
（A）36種（B）42種(C)48種（D）54種
【命題立意】本題考查排列組合的基礎知識，考查分類與分步計數原理，考查了考生的分析問題解決問題的能力和運算求解能力.
【思路點撥】根據甲的位置分類討論.
【規(guī)范解答】選B，分兩類：第一類：甲排在第一位，共有 種排法；第二類：甲排在第二位，共有 種排法，所以共有編排方案 種，故選B.
【方法技巧】排列問題常見的限制條件及對策
1、有特殊元素或特殊位置，先滿足特殊元素或特殊位置的要求，再考慮其他元素或位置.
2、元素必須相鄰的排列，將必須相鄰的的元素捆綁，作為一個整體，但要注意其內部元素的順序.
3、元素不相鄰的排列，先排其他元素，然后“插空”.
4、元素有順序限制的排列.
2．（2010?天津高考理科?Ｔ１0）如圖，用四種不同顏色給圖中的A,B,C,D,E,F六個點涂色，要求每個點涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個端點涂不同顏色，則不同的涂色方法用
（A）288種 （B）264種 （C）240種 （D）168種
【命題立意】本題考查分類計數原理，排列組合等基礎知識，考查分析問題、解決問題的能力。
【思路點撥】先分步再排列
【規(guī)范解答】先涂色點E，有4種涂法，再涂點B，有兩種可能：
1、B與E相同時，依次涂點F,C,D,A，涂法分別有3,2,2,2種；
2、B與E不相同時有3種涂法，再依次涂F、C、D、A點，涂F有2種涂法，涂C點時又有兩種可能：
（1）C與E相同，有1種涂法，再涂點D，有兩種可能：
①D與B相同，有1種涂法，最后涂A有2種涂法；
②D與B不相同，有2種涂法，最后涂A有1種涂法。
（2）C與E不相同，有1種涂法，再涂點D，有兩種可能：
①D與B相同，有1種涂法，最后涂A有2種涂法；
②D與B不相同，有2種涂法，最后涂A有1種涂法。
所以不同的涂色方法有
。
【方法技巧】解題的關鍵是處理好相交線端點的顏色問題，解決排列組合應用題，要做到合理的分類，準確的分類，才能正確的解決問題。
3．（2010?遼寧高考理科?Ｔ13） 的展開式中的常數項為___-5______.
【命題立意】考查了二項式的展開式，
【思路點撥】展開式中的常數項只可能是 中的常數項與 中的常數項的積和 中的一次項與 中的 項的積以及 中的二次項與 中的 項積的和
【規(guī)范解答】
【方法技巧】
1、分清常數項是如何產生的。展開式中的常數項并不是 中的常數項與 中的常數項的積，而是 中的各項與 的展開式中的項的乘積中各常數項的和。
2、 展開式中第k+1項Tk+1＝ ，不要漏掉負號。
4．（2010?安徽高考理科?Ｔ12） 展開式中， 的系數等于________。
【命題立意】本題主要考查二項式定理，考查考生對二項式定理理解認知的水平。
【思路點撥】方法1：寫出展開式的通項，進而確定 的項及其系數。
方法2：要得到 項，必須 出現(xiàn)4次， 出現(xiàn)2次，即 ，這樣直觀快捷。
【規(guī)范解答】方法1： 展開式的通項為：
，當且僅當 時，能得到 的項，此時 ，所以 的系數等于15。
方法2： 所以 的系數等于15。
答案：15
5．（2010?浙江高考理科?Ｔ17）有4位同學在同一天的上、下午參加“身高與體重”、“立定跳遠”、“肺活量”、“握力”、“臺階”五個項目的測試，每位同學上、下午各測試一個項目，且不重復. 若上午不測“握力”項目，下午不測“臺階”項目，其余項目上、下午都各測試一人. 則不同的安排方式共有______________種（用數字作答）.
【命題立意】本題考查排列組合的相關知識，考查數學的應用能力。
【思路點撥】可以先安排上午的測試項目，再安排下午。
【規(guī)范解答】記4位同學分別為：A、B、C、D。則上午共有 =24種安排方式。不妨先假定上午如表格所示安排方式，
項目身高與體重立定跳遠肺活量握力臺階
上午ABCD
下午
則下午可如下安排：BADC、BCAD、BCDA、BDAC、CABD、CADB，CDAB、CDBA，DABC、DCAB、DCBA，共11種安排方式。因此，全天共有 =264種安排方式。
答案：264。
【方法技巧】解決排列組合問題時，常用的技巧：（1）特殊位置優(yōu)先安排；（2）合理分類與準確分步。
6．（2010?廣東高考理科?Ｔ8）為了迎接2010年廣州亞運會，某大樓安裝5個彩燈，它們閃亮的順序不固定，每個彩燈彩燈閃亮只能是紅、橙、黃、綠、藍中的一種顏色，且這5個彩燈商量的顏色各不相同。記這這5個彩燈有序地閃亮一次為一個閃爍，在每個閃爍中，每秒鐘有且僅有一個彩燈閃亮，而相鄰兩個閃爍的時間間隔均為5妙。如果要實現(xiàn)所有不同的閃爍，那么需要的時間至少是
A、 1205秒 B.1200秒 C.1195秒 D.1190秒
【命題立意】本題考察排列的綜合問題。
【思路點撥】先用排列算出閃爍個數 ，還要考慮每個閃爍間的時間。
【規(guī)范解答】選 每次閃爍時間為 秒，共 ，每兩次閃爍之間的間隔為 ，共 ，總共就有
【跟蹤模擬訓練】
一、選擇題(每小題6分，共36分)
1.某班級有一個7人小組,現(xiàn)任選其中3人相互調整座位,其余4人座位不變,則不同的調整方案的種數為( )
(A)35(B)70(C)210(D)105
2.從6人中選出4人參加數、理、化、英語比賽，每人只能參加其中一項,其中甲、乙兩人都不能參加英語比賽，則不同的參賽方案種數共有( )
(A)96種 (B)180種 (C)240種 (D)288種
3.在(1-x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn中若2a2+an-5=0,則自然數n的值是( )
(A)7(B)8(C)9(D)10
4．在 的展開式中， 的冪的指數是正整數的項共有（ ）
(A) 3項(B)4項(C)5項(D)2項
5.若(1+mx)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,且a1+a2+…+a6=63,則實數m的值為( )
(A)1或3 (B)-3 (C)1 (D)1或-3
6. 3位男生和3位女生共6位同學站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數是（ ）
（A）360 （B）288 （C）216 （D）96
二、填空題（每小題6分，共18分）
7．若函數 ，則
8.二項式(2+x)n的展開式中,前三項的系數依次為等差數列,則展開式的第8項的系數為______.(用數字表示)
9.用數字0,1,2,3,4,5,6組成沒有重復數字的四位數，其中個位、十位和百位上的數字之和為偶數的四位數共有______個（用數字作答）.
三、解答題(10、11題每題15分，12題16分，共46分)
10.有同樣大小的9個白球和6個紅球.
(1)從中取出5個球,使得紅球比白球多的取法有多少種?
(2)若規(guī)定取到一個紅球記1分,取到一個白球記2分,則從中取出5個球,使得總分不小于8分的取法有多少種?
11．對于二項式 , 求：
（1）展開式的中間項是第幾項？寫出這一項；
（2）求展開式中除常數項外，其余各項的系數和；
（3）寫出展開式中系數最大的項
12．甲，乙，丙…等六人，身高各不相同，將他們排成二行三列，求下列條件的排法種數．
(I)甲、乙不在同一行；
(Ⅱ)甲不在第一列且乙不在第一行；
(Ⅲ)每列中第一行的人比第二行的人高且每行中的三人中間高兩邊矮．
參考答案
1．【解析】選B.從7人中選出3人,有 種方法,3人相互調整座位,共有2種調整方案,故總的調整方案種數為 ×2=70(種).
2．【解析】選C。分三類：①甲、乙均不參賽，有 種；
②甲、乙只一人參賽，有
③甲、乙均參賽，有
故不同的參賽方案種數共有 =240種。
3．
4．【解析】選A。 由題意 為正整數且 故 的冪的指數是正整數的項只有3項。
5．【解析】選D.當x=0時,得a0=1，當x=1時,得a0+a1+a2+…+a6=(1+m)6，∴a1+a2+…+a6=(1+m)6-1=63，
即(1+m)6=64=26，∴1+m=±2，∴m=1或m=-3.
6．【解析】選B。先保證3位女生中有且只有兩位女生相鄰有 種排法，在這些排法中甲站兩端的排法有 ，故所求的不同的排法種數有 種。
7．【解析】f(x)=(1+x)8，∴f(3)=(1+3)8=48=216，∴l(xiāng)og2f(3)=log2216=16.答案:16
8．【解析】前3項的系數分別為
由題意知：
即
∴n=8，∴展開式中 ∴第8項的系數為16。
答案:16
9．【解析】分兩大類：（1）四位數的4個數字如果有0，則0一定排在個、十、百位的任一位上。個、十、百位剩余的2個位置，一定是偶數或一定是奇數，故共有
（2）四位數的4個數字如果沒有0，則個、十、百位應全是偶數，或兩奇一偶，此時共有 180種，故符合題意的四位數共有144+180=324（個）。
答案:324
10．【解析】（1）5個全是紅球有 種取法，4個紅球、1個白球有 種取法，3個紅球、2個白球有 種取法，所以取出的紅球比白球多取法共有 + + =861（種）。
（2）要使總分不小于8分，至少需取3個白球2個紅球，3白2紅有 種取法，4白1紅有 種取法，5個全是白球有 種取法，所以總分不小于8分的取法共有 + + =2142（種）。
11．【解析】（1）展開式共11項，中間項為第6項， ……4分
12．【解析】（Ⅰ）第一步：確定甲，乙所在行有（2種）；
第二步：確定甲位置（3種）；
第三步：確定乙位置（3種）；
第四步：將其它人排好（ 種）；
∴有 （種）……2分
（Ⅱ）分兩類：
第一類： 甲在二、三列且甲在第一行.
第一步：先排甲乙（2種）；第二步：再排乙（3種）；第三步：再排其它（ 種）；
所以有 （種）.
第二類：甲在二、三列且甲在第二行.
第一步：先排甲（2種）；第二步：再排乙（2種）；第三步：再排其它（ 種）；
所以有 （種）
∴共有 （種）
（Ⅲ）由已知第一行中間人一定是最高的，第二行兩側的某人一定是最矮的.
∴第一步：排最高的人（1種）；
第二步：確定最矮人的位置（2種）；
第三步：在剩下的四人中選取一人到最高最矮人的角落（ 種）；
第四步：在剩下的三人中有 種排法：（∵剩下三個位子的角落必排剩下三人中最矮的）
∴有 種方法選手
【備課資源】
1.有兩排座位,前排4個座位,后排5個座位,現(xiàn)安排2人就坐,并且這2人不相鄰(一前一后也視為不相鄰),那么不同坐法的種數是( )
(A)18(B)26(C)29(D)58
【解析】選D.2個人從9個座位中選2個座位坐好,共有 種坐法,其中兩人相鄰的坐法有7 .故兩人不相鄰的坐法有 -7 =58（種）
2．下面是高考第一批錄取的一份志愿表。現(xiàn)有4所重點院校，每所院校有3個專業(yè)是你較為滿意的選擇，如果表格填滿且規(guī)定學校沒胡重復，同一學校的專業(yè)也沒有重復的話，你將有幾種不同的填寫方法（ ）
【解析】選D。分4步完成，第1步，選擇學校有 種選擇方法。第2步，選擇第一志愿的專業(yè)，有 種選擇方法。第3步，選擇第二志愿的專業(yè)，有 種選擇方法。第4步，選擇第三志愿的專業(yè)，有 種選擇方法。
故填寫志愿共有 種填寫方法。
4. (1+x)7的展開式中x2項的系數是______.
【解析】∵T3= x2=21x2，
∴x2的系數為21.
答案:21
6.已知(1-x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,若5a1+2a2=0,則a0-a1+a2-a3+…+(-1)nan=_______.
【解析】
∵5a1+2a2=0，
即n2-6n=0，
解得n=6或n=0(舍)，
令x=-1得a0-a1+a2-a3+…+(-1)6a6
=(1+1)6=64.
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相關閱讀：第十二章立體幾何(高中數學競賽標準教材)