（Ⅰ）參數(shù)取值問(wèn)題的探討
一、若在等式或不等式中出現(xiàn)兩個(gè)變量，其中一個(gè)變量的范圍已知，另一個(gè)變量的范圍為所求，且容易通過(guò)恒等變形將兩個(gè)變量分別置于等號(hào)或不等號(hào)的兩邊，則可將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問(wèn)題求解。
例1．已知當(dāng)x R時(shí)，不等式a+cos2x<5 4sinx+ 恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
分析：在不等式中含有兩個(gè)變量a及x，其中x的范圍已知（x R），另一變量a的范圍即為所求，故可考慮將a及x分離。
解：原不等式即：4sinx+cos2x< a+5
要使上式恒成立，只需 a+5大于4sinx+cos2x的最大值，故上述問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求f(x)=4sinx+cos2x的最值問(wèn)題。
f(x)= 4sinx+cos2x= 2sin2x+4sinx+1= 2(sinx 1)2+3 3,
∴ a+5>3即 >a+2
上式等價(jià)于 或 ，解得 a<8.
說(shuō)明：注意到題目中出現(xiàn)了sinx及cos2x，而cos2x=1 2sin2x,故若把sinx換元成t,則可把原不等式轉(zhuǎn)化成關(guān)于t的二次函數(shù)類(lèi)型。
另解：a+cos2x<5 4sinx+ 即
a+1 2sin2x<5 4sinx+ ,令sinx=t,則t [ 1,1],
整理得2t2 4t+4 a+ >0,( t [ 1,1])恒成立。
設(shè)f(t)= 2t2 4t+4 a+ 則二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為t=1,
f(x)在[ 1，1]內(nèi)單調(diào)遞減。
只需f(1)>0,即 >a 2.(下同)
例2．已知函數(shù)f(x)在定義域（ ，1]上是減函數(shù)，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)k，使不等式f(k sinx) f(k2 sin2x)對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立？并說(shuō)明理由。
分析：由單調(diào)性與定義域，原不等式等價(jià)于k sinx≤k2 sin2x≤1對(duì)于任意x∈R恒成立，這又等價(jià)于
對(duì)于任意x∈R恒成立。
不等式（1）對(duì)任意x∈R恒成立的充要條件是k2≤(1+sin2x)min=1,即 1≤k≤1----------(3)
不等式（2）對(duì)任意x∈R恒成立的充要條件是k2 k+ ≥[(sinx )2]max= ,
即k≤ 1或k≥2,-----------(4)
由（3）、（4）求交集，得k= 1,故存在k= 1適合題設(shè)條件。
說(shuō)明：抽象函數(shù)與不等式的綜合題常需要利用單調(diào)性脫掉函數(shù)記號(hào)。
例3．設(shè)直線(xiàn) 過(guò)點(diǎn)P（0，3），和橢圓 順次交于A、B兩點(diǎn)，試求 的取值范圍.
分析：本題中，絕大多數(shù)同學(xué)不難得到： = ，但從此后卻一籌莫展, 問(wèn)題的根源在于對(duì)題目的整體把握不夠. 事實(shí)上，所謂求取值范圍，不外乎兩條路：其一是構(gòu)造所求變量關(guān)于某個(gè)（或某幾個(gè)）參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式（或方程），這只需利用對(duì)應(yīng)的思想實(shí)施；其二則是構(gòu)造關(guān)于所求量的一個(gè)不等關(guān)系.
思路1:從第一條想法入手， = 已經(jīng)是一個(gè)關(guān)系式，但由于有兩個(gè)變量 ，同時(shí)這兩個(gè)變量的范圍不好控制，所以自然想到利用第3個(gè)變量??直線(xiàn)AB的斜率k. 問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為如何將 轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的表達(dá)式，到此為止，將直線(xiàn)方程代入橢圓方程，消去y得出關(guān)于 的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.
解1：當(dāng)直線(xiàn) 垂直于x軸時(shí)，可求得 ；
當(dāng) 與x軸不垂直時(shí)，設(shè) ，直線(xiàn) 的方程為： ，代入橢圓方程，消去 得 ，
解之得
因?yàn)闄E圓關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)P在y軸上，所以只需考慮 的情形.
當(dāng) 時(shí)， ， ，
所以 = = = .
由 , 解得 ，
所以 ，
綜上 .
思路2: 如果想構(gòu)造關(guān)于所求量的不等式，則應(yīng)該考慮到：判別式往往是產(chǎn)生不等的根源. 由判別式值的非負(fù)性可以很快確定 的取值范圍，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如何將所求量與 聯(lián)系起來(lái). 一般來(lái)說(shuō)，韋達(dá)定理總是充當(dāng)這種問(wèn)題的橋梁，但本題無(wú)法直接應(yīng)用韋達(dá)定理，原因在于 不是關(guān)于 的對(duì)稱(chēng)關(guān)系式. 原因找到后，解決問(wèn)題的方法自然也就有了，即我們可以構(gòu)造關(guān)于 的對(duì)稱(chēng)關(guān)系式.
解2：設(shè)直線(xiàn) 的方程為： ，代入橢圓方程，消去 得
（*）
則 令 ，則，
在（*）中，由判別式 可得 ，
從而有 ，所以 ，
解得 .結(jié)合 得 .
綜上， .
說(shuō)明：范圍問(wèn)題不等關(guān)系的建立途徑多多，諸如判別式法，均值不等式法，變量的有界性法，函數(shù)的性質(zhì)法，數(shù)形結(jié)合法等等. 本題也可從數(shù)形結(jié)合的角度入手，給出又一優(yōu)美解法.
二、直接根據(jù)圖像判斷
若把等式或不等式進(jìn)行合理的變形后，能非常容易地畫(huà)出等號(hào)或不等號(hào)兩邊函數(shù)的圖象，則可以通過(guò)畫(huà)圖直接判斷得出結(jié)果。尤其對(duì)于選擇題、填空題這種方法更顯方便、快捷。
例4．（2003年江蘇卷第11題、天津卷第10題）已知長(zhǎng)方形四個(gè)頂點(diǎn)A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1）.一質(zhì)點(diǎn)從AB的中點(diǎn)P沿與AB夾角為θ的方向射到BC上的點(diǎn)P1后，依次反射到CD、DA和AB上的點(diǎn)P2、P3和P4（入射角等于反射角）.設(shè)P4的坐標(biāo)為（x4，0）.若1< x4<2，則 的取值范圍是（ ）
(A) (B) (C) (D)
分析: 《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提倡讓學(xué)生自主探索, 動(dòng)手實(shí)踐, 并主張?jiān)诟咧袑W(xué)課程設(shè)立“數(shù)學(xué)探究”學(xué)習(xí)活動(dòng), 03年數(shù)學(xué)試題反映了這方面的學(xué)習(xí)要求，在高考命題中體現(xiàn)了高中課程標(biāo)準(zhǔn)的基本理念．本題可以嘗試用特殊位置來(lái)解，不妨設(shè) 與AB的中點(diǎn)P重合（如圖1所示），則P1、P2、P3分別是線(xiàn)段BC、CD、DA的中點(diǎn)，所以 ．由于在四個(gè)選擇支中只有C含有 ，故選C．
當(dāng)然，本題也可以利用對(duì)稱(chēng)的方法將“折線(xiàn)”問(wèn)題轉(zhuǎn)化成“直線(xiàn)”問(wèn)題來(lái)直接求解（如圖2所示）．
說(shuō)明 由本題可見(jiàn), 0３年試題強(qiáng)調(diào)實(shí)驗(yàn)嘗試, 探索猜想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的地位．這也是選擇題的應(yīng)有特點(diǎn)．
例5．當(dāng)x (1,2)時(shí)，不等式(x 1)2
解：設(shè)y1=(x 1)2,y2=logax,則y1的圖象為右圖所示的拋物線(xiàn)，要使對(duì)一切x (1,2),y1
故loga2>1,a>1, 1例6．函數(shù)y=(x 1)log a 6xlog3a+x+1，其中在x [0,1]時(shí)函數(shù)恒正，求a的范圍。
解：排除對(duì)數(shù)log3a的干擾，選x為“主元”化函數(shù)為
y=f(x)=(log32a 6 log3a+1)x+1 log32a, x∈[0,1].
一次（或常數(shù)）函數(shù)恒正，被線(xiàn)段端點(diǎn)“抬在”x軸的上方。故有：
說(shuō)明：給定一次函數(shù)y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]內(nèi)恒有f(x)>0，則根據(jù)函數(shù)的圖象（直線(xiàn)）可得上述結(jié)論等價(jià)于
?） 或?） 亦可合并定成
同理，若在[m,n]內(nèi)恒有f(x)<0，則有
例7．對(duì)于滿(mǎn)足p 2的所有實(shí)數(shù)p,求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范圍。
分析：在不等式中出現(xiàn)了兩個(gè)字母：x及P,關(guān)鍵在于該把哪個(gè)字母看成是一個(gè)變量，另一個(gè)作為常數(shù)。顯然可將p視作自變量，則上述問(wèn)題即可轉(zhuǎn)化為在[ 2，2]內(nèi)關(guān)于p的一次函數(shù)大于0恒成立的問(wèn)題。
略解：不等式即(x 1)p+x2 2x+1>0,設(shè)f(p)= (x 1)p+x2 2x+1,則f(p)在[ 2,2]上恒大于0，故有：
即 解得：
∴x< 1或x>3.
例8.設(shè)f(x)=x2 2ax+2,當(dāng)x [ 1,+ )時(shí)，都有f(x) a恒成立，求a的取值范圍。
分析：題目中要證明f(x) a恒成立，若把a(bǔ)移到等號(hào)的左邊，則把原題轉(zhuǎn)化成左邊二次函數(shù)在區(qū)間[ 1,+ )時(shí)恒大于0的問(wèn)題。
解：設(shè)F(x)= f(x) a=x2 2ax+2 a.
?)當(dāng) =4（a 1)(a+2)<0時(shí)，即 2
即
得 3 a 2;
綜合可得a的取值范圍為[ 3，1]
說(shuō)明：若二次函數(shù)y=ax2+bx+c=0(a≠0)大于0恒成立，則有
若是二次函數(shù)在指定區(qū)間上的恒成立問(wèn)題，還可以利用韋達(dá)定理以及根與系數(shù)的分布知識(shí)求解。
例9．關(guān)于x的方程9x+(4+a)3x+4=0恒有解，求a的范圍。
分析：題目中出現(xiàn)了3x及9x，故可通過(guò)換元轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)型求解。
解法1（利用韋達(dá)定理）：
設(shè)3x=t,則t>0.則原方程有解即方程t2+(4+a)t+4=0有正根。
即
解得a 8.
解法2（利用根與系數(shù)的分布知識(shí)）：
即要求t2+(4+a)t=0有正根。設(shè)f(x)= t2+(4+a)t+4.
10. =0,即（4+a）2 16=0,∴a=0或a= 8.
a=0時(shí)，f(x)=(t+2)2=0,得t= 2<0，不合題意；
a= 8時(shí)，f(x)=(t 2)2=0,得t=2>0,符合題意。
∴a= 8.
20. >0,即a< 8或a>0時(shí)，
∵f(0)=4>0,故只需對(duì)稱(chēng)軸 ，即a< 4.
∴a< 8
綜合可得a 8.
三、解析幾何中確定參變量的取值范圍歷來(lái)是各級(jí)各類(lèi)測(cè)試及高考命題的熱點(diǎn)。由于此類(lèi)問(wèn)題綜合性強(qiáng)，且確定參變量取值范圍的不等量關(guān)系也較為隱蔽，因而給解題帶來(lái)了諸多困難。為此，我們有必要總結(jié)和歸納如何尋找或挖掘不等量關(guān)系的策略和方法。
在幾何問(wèn)題中，有些問(wèn)題和參數(shù)無(wú)關(guān)，這就構(gòu)成定值問(wèn)題，解決這些問(wèn)題常通過(guò)取參數(shù)和特殊值來(lái)確定“定值”是多少，或者將該問(wèn)題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角式來(lái)證明該式是恒定的。
解析幾何中的最值問(wèn)題，一般先根據(jù)條件列出所求目標(biāo)??函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式手特征選用參數(shù)法，配方法，判別式法，應(yīng)用不等式的性質(zhì)，以及三角函數(shù)最值法等求出它的最大值或最小值。
充分運(yùn)用各種方法學(xué)會(huì)解圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題（解析法的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，圓錐曲線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系，與圓錐曲線(xiàn)相關(guān)的定值問(wèn)題，最值問(wèn)題，應(yīng)用問(wèn)題和探索性問(wèn)題）。
研究最值問(wèn)題是實(shí)踐的需要，人類(lèi)在實(shí)踐活動(dòng)中往往追求最佳結(jié)果，抽象化之成為數(shù)學(xué)上的最值問(wèn)題，所以最值問(wèn)題幾乎滲透到數(shù)學(xué)的每一章。
解析幾何中的最值問(wèn)題主要是曲線(xiàn)上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離最值，到定直線(xiàn)的距離最值，還有面積最值，斜率最值等，解決的辦法也往往是數(shù)形結(jié)合或轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值。
而一些函數(shù)最值，反而可以通過(guò)數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為解析幾何中的最值問(wèn)題。
1．幾何法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)解決。
2．代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值。求函數(shù)最值常用的方法有配方法、判別式法、重要不等式法、三角函數(shù)的值域法、函數(shù)的單調(diào)性法。
例10．已知橢圓C: 和點(diǎn)P（4，1），過(guò)P作直線(xiàn)交橢圓于A、B兩點(diǎn)，在線(xiàn)段AB上取點(diǎn)Q，使 ，求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡所在曲線(xiàn)的方程及點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)的取值范圍.
分析：這是一個(gè)軌跡問(wèn)題，解題困難在于多動(dòng)點(diǎn)的困擾，學(xué)生往往不知從何入手。其實(shí)，應(yīng)該想到軌跡問(wèn)題可以通過(guò)參數(shù)法求解. 因此，首先是選定參數(shù)，然后想方設(shè)法將點(diǎn)Q的橫、縱坐標(biāo)用參數(shù)表達(dá)，最后通過(guò)消參可達(dá)到解題的目的.
由于點(diǎn) 的變化是由直線(xiàn)AB的變化引起的，自然可選擇直線(xiàn)AB的斜率 作為參數(shù)，如何將 與 聯(lián)系起來(lái)？一方面利用點(diǎn)Q在直線(xiàn)AB上；另一方面就是運(yùn)用題目條件： 來(lái)轉(zhuǎn)化.由A、B、P、Q四點(diǎn)共線(xiàn)，不難得到 ，要建立 與 的關(guān)系，只需將直線(xiàn)AB的方程代入橢圓C的方程，利用韋達(dá)定理即可.
通過(guò)這樣的分析，可以看出，雖然我們還沒(méi)有開(kāi)始解題，但對(duì)于如何解決本題，已經(jīng)做到心中有數(shù).
在得到 之后，如果能夠從整體上把握，認(rèn)識(shí)到：所謂消參，目的不過(guò)是得到關(guān)于 的方程（不含k），則可由 解得 ，直接代入 即可得到軌跡方程。從而簡(jiǎn)化消去參的過(guò)程。
解：設(shè) ，則由 可得： ，
解之得： （1）
設(shè)直線(xiàn)AB的方程為： ，代入橢圓C的方程，消去 得出關(guān)于 x的一元二次方程： （2）
∴
代入（1），化簡(jiǎn)得： (3)
與 聯(lián)立，消去 得：
在（2）中，由 ，解得 ，結(jié)合（3）可求得
故知點(diǎn)Q的軌跡方程為： （ ）.
說(shuō)明：由方程組實(shí)施消元，產(chǎn)生一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)于一個(gè)變量的一元二次方程，其判別式、韋達(dá)定理模塊思維易于想到. 這當(dāng)中，難點(diǎn)在引出參，活點(diǎn)在應(yīng)用參，重點(diǎn)在消去參.，而“引參、用參、消參”三步曲，正是解析幾何綜合問(wèn)題求解的一條有效通道.
例11．已知 ，試討論 的值變化時(shí)，方程 表示的曲線(xiàn)的形狀。
解：（1）當(dāng) 時(shí)，方程化為 ，它表示兩條與 軸平行的直線(xiàn)；
（2）當(dāng) 時(shí)，方程化為 ，它表示兩條與 軸平行的直線(xiàn)；
（3）當(dāng) 時(shí)，方程化為 ，它表示一個(gè)單位圓；
（4）當(dāng) 時(shí)，方程化為 ，因?yàn)?，所以它表示一個(gè)焦點(diǎn)在 軸上那個(gè)的橢圓；
（5）當(dāng) 時(shí)，方程化為 ，因?yàn)?，所以它表示一個(gè)焦點(diǎn)在 軸上那個(gè)的橢圓；
（6）當(dāng) 時(shí)，方程化為 ，因?yàn)?，所以它表示一個(gè)焦點(diǎn)在 軸上那個(gè)的雙曲線(xiàn)。
（Ⅱ）、求參數(shù)的取值范圍在解析幾何中的應(yīng)用
例12．一農(nóng)民有田2畝，根據(jù)他的經(jīng)驗(yàn)：若種水稻，則每畝每期產(chǎn)量為400公斤，若種花生，則每畝產(chǎn)量為100公斤，但水稻成本較高，每畝每期240元，而花生只要80元，且花生每公斤可賣(mài)5元，稻米每公斤只賣(mài)3元，現(xiàn)在他只能湊足400元，問(wèn)這位農(nóng)民對(duì)兩種作物應(yīng)各種多少畝，才能得到最大利潤(rùn)？
分析：最優(yōu)種植安排問(wèn)題就是要求當(dāng)非負(fù)變量x、y滿(mǎn)足條件 和 時(shí)，總利潤(rùn)P達(dá)到最大，是線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題。
解：設(shè)水稻種x畝，花生種y畝，則有題意得：
即
此不等式組的解為四邊形區(qū)域（包括邊界），這些解通常就叫做本問(wèn)題的可行解，并稱(chēng)這個(gè)區(qū)域?yàn)閱?wèn)題的可行解區(qū)域。
而利潤(rùn)P＝（3×400－200）x＋（5×100－80）y＝960x+420y為二元函數(shù)，通常就叫做本問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)。故所求問(wèn)題變?yōu)椋阂诖丝尚薪鈪^(qū)域內(nèi)，找出（x，y）點(diǎn)，使目標(biāo)函數(shù)P＝960x+420y的值為最大，這類(lèi)點(diǎn)就叫做本問(wèn)題的最佳解。如何找出這類(lèi)點(diǎn)呢？觀察目標(biāo)函數(shù)P，我們知道：
（1）當(dāng)P等于任意常數(shù)m時(shí)，m＝960x+420y 都是－48/21的直線(xiàn)；
（2）若直線(xiàn)l：m＝960x+420y與可行解區(qū)域相交，則對(duì)應(yīng)于此直線(xiàn)的任一可行解，目標(biāo)函數(shù)P的值皆為m；
（3）當(dāng)直線(xiàn)l：m＝960x+420y 即 y＝－48/21x＋m/400過(guò)可行解區(qū)域，且縱截距最大時(shí)，m有最大值，即目標(biāo)函數(shù)P有最大值。
由圖可知，當(dāng)直線(xiàn)l過(guò)B點(diǎn)時(shí)，縱截距最大。
解方程組 得交點(diǎn)B（1.5,0.5）
所以當(dāng)x＝1.5，y＝0.5時(shí)，Pmax＝960×1.5＋420×0.5＝1650（元）
即水稻種1.5畝，花生種0.5畝時(shí)所得的利潤(rùn)最大。
說(shuō)明：很多數(shù)學(xué)應(yīng)用題都與二元一次不等式組有關(guān)，而不等式組的解答往往很多，
在各種解答中，是否有一組為符合實(shí)際情況的最佳解答呢？求此類(lèi)問(wèn)題的解答為數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支??線(xiàn)性規(guī)劃。線(xiàn)性規(guī)劃是最優(yōu)化模型中的一個(gè)重要內(nèi)容，它具有適應(yīng)性強(qiáng)，應(yīng)用面廣，計(jì)算技術(shù)比較簡(jiǎn)便的特點(diǎn)，它是現(xiàn)代管理科學(xué)的重要基礎(chǔ)和手段之一。利用線(xiàn)性規(guī)劃解決應(yīng)用問(wèn)題的方法可按下列步驟進(jìn)行：
（1）根據(jù)題意，建立數(shù)學(xué)模型，作出不等式組區(qū)域的圖形，即可行解區(qū)域；
（2）設(shè)所求的目標(biāo)函數(shù)f（x，y）為m值；
（3）將各頂點(diǎn)坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)，即可得m的最大值或最小值，或求直線(xiàn)f（x，y）＝m在y軸上截距的最大值（最小值）從而得m的最大值（最小值）。
例13．某汽車(chē)公司有兩家裝配廠，生產(chǎn)甲、乙兩種不同型的汽車(chē)，若A廠每小時(shí)可完成1輛甲型車(chē)和2輛乙型車(chē)；B廠每小時(shí)可完成3輛甲型車(chē)和1輛乙型車(chē)。今欲制造40輛甲型車(chē)和乙型車(chē)，問(wèn)這兩家工廠各工作幾小時(shí)，才能使所費(fèi)的總工作時(shí)數(shù)最小？
分析：這是一個(gè)如何安排生產(chǎn)才能發(fā)揮最佳效率的問(wèn)題。最優(yōu)工作時(shí)數(shù)的安排問(wèn)題就是A、B兩廠生產(chǎn)甲、乙兩種不同型號(hào)的汽車(chē)數(shù)不得低于甲型40輛、乙型20輛時(shí)，總工時(shí)最少。
解：設(shè)A廠工作x小時(shí)，B廠生產(chǎn)y小時(shí)，總工作時(shí)數(shù)為T(mén)小時(shí)，則它的目標(biāo)函數(shù)為
T=x＋y 且x＋3y≥40 ，2x+y≥20 ，x≥0 ，y≥0
可行解區(qū)域，而符合問(wèn)題的解答為此區(qū)域內(nèi)的格子點(diǎn)（縱、橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱(chēng)為格子點(diǎn)），于是問(wèn)題變?yōu)椋阂诖丝尚薪鈪^(qū)域內(nèi)，找出格子點(diǎn)（x，y），使目標(biāo)函數(shù)T ＝x＋y的值為最小。由圖知當(dāng)直線(xiàn)l：y＝－x＋T過(guò)Q點(diǎn)時(shí)，縱截距T最小，但由于符合題意的解必須是格子點(diǎn)，我們還必須看Q點(diǎn)是否是格子點(diǎn)。
解方程組 得Q（4,12）為格子點(diǎn)，
故A廠工作4小時(shí)，B廠工作12小時(shí)，可使所費(fèi)的總工作時(shí)數(shù)最少。
說(shuō)明：也可以用凸多邊形性質(zhì)去尋找最佳解，要注意到有時(shí)符合題意的解僅限于可行解區(qū)域內(nèi)的格子點(diǎn)，此時(shí)如果有端點(diǎn)并非格子點(diǎn)，這些點(diǎn)就不符合題意，不是我們要找的解；如果所有的端點(diǎn)都是格子點(diǎn)，所有的端點(diǎn)全符合題意，我們就可用凸多邊形性質(zhì)去找出最佳解。
符合本題的解僅為可行解區(qū)域內(nèi)的格子點(diǎn)，其可行解區(qū)域的端點(diǎn)P（40,0），Q（4,12）R（0,20）都是格子點(diǎn)，都符合題意，而它們所對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值如下表所示：
（x，y） （40,0） （4,12） （0,20）
T 40 16 20
故Q（4,12）即為所要找的點(diǎn)。
例14．私人辦學(xué)是教育發(fā)展的方向。某人準(zhǔn)備投資1200萬(wàn)元興辦一所完全中學(xué)，為了考慮社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益，對(duì)該地區(qū)教育市場(chǎng)進(jìn)行調(diào)查，得出一組數(shù)據(jù)列表如下（以班級(jí)為單位）：
班級(jí)學(xué)生數(shù)配備教師數(shù)硬件建設(shè)（萬(wàn)元）教師年薪（萬(wàn)元）
初中 50 2.0 28 1.2
高中 40 2.5 58 1.6
根據(jù)物價(jià)部門(mén)的有關(guān)文件，初中是義務(wù)教育階段，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)控制，預(yù)計(jì)除書(shū)本費(fèi)、辦公費(fèi)以外每生每年收取600元，高中每生每年可收取1500元。因生源和環(huán)境等條件的限制，辦學(xué)規(guī)模以20至30個(gè)班為宜。教師實(shí)行聘任制。初中、高中的教育周期均為三年。請(qǐng)你合理地安排找生計(jì)劃，使年利潤(rùn)最大，大約經(jīng)過(guò)多少年可以收回全部投資？
解：設(shè)初中編制為x個(gè)班，高中編制為y個(gè)班。
則 （x>0,y>0,x,y∈Z）。
計(jì)年利潤(rùn)為s，那么s＝3x+6y-2.4x-4y，即s＝0.6x+2y
作出不等式表示的平面區(qū)域。問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求直線(xiàn)0.6x+2x s＝0截距的最大值。過(guò)點(diǎn)A作0.6x+2y=0的平行線(xiàn)即可求出s的最大值。
聯(lián)立 得A（18,12）。
將x＝18，y＝12代入s＝0.6x+2y求得Smax＝34.8。
設(shè)經(jīng)過(guò)n年可收回投資，則11.6+23.2+34.8(n 2)=1200，可得n＝33.5。
學(xué)校規(guī)模初中18個(gè)班級(jí)，高中12個(gè)班級(jí)，第一年初中招生6個(gè)班300人，高中招生4個(gè)班160人。從第三年開(kāi)始年利潤(rùn)34.8萬(wàn)元，大約經(jīng)過(guò)36年可以收回全部投資。
說(shuō)明：本題的背景材料是投資辦教育，擬定一份計(jì)劃書(shū)，本題是計(jì)劃書(shū)中的部分內(nèi)容。要求運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，解析幾何知識(shí)和數(shù)據(jù)處理的綜合能力。通過(guò)計(jì)算可知，投資教育主要是社會(huì)效益，提高整個(gè)民族的素質(zhì)，經(jīng)濟(jì)效益不明顯。
（Ⅲ）、強(qiáng)化訓(xùn)練
1．（南京市2003年高三年級(jí)第一次質(zhì)量檢測(cè)試題） 若對(duì) 個(gè)向量 存在 個(gè)不全為零的實(shí)數(shù) ，使得 成立，則稱(chēng)向量 為“線(xiàn)性相關(guān)”．依此規(guī)定， 能說(shuō)明 ， ， “線(xiàn)性相關(guān)”的實(shí)數(shù) 依次可以取 （寫(xiě)出一組數(shù)值即可，不必考慮所有情況）．
2．已知雙曲線(xiàn) ，直線(xiàn) 過(guò)點(diǎn) ，斜率為 ，當(dāng) 時(shí)，雙曲線(xiàn)的上支上有且僅有一點(diǎn)B到直線(xiàn) 的距離為 ，試求 的值及此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)。
3．設(shè)函數(shù)f(x)=2x-1 2-x-1,x R,若當(dāng)0 時(shí)，f(cos2 +2msin )+f( 2m 2)>0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。
4．已知關(guān)于x的方程lg(x +20x) lg(8x 6a 3)=0有唯一解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
5．試就 的不同取值，討論方程 所表示的曲線(xiàn)形狀，并指出其焦點(diǎn)坐標(biāo)。
6．某公司計(jì)劃在今年內(nèi)同時(shí)出售變頻空調(diào)機(jī)和智能型洗衣機(jī)，由于這兩種產(chǎn)品的市場(chǎng)需求量非常大，有多少就能銷(xiāo)售多少，因此該公司要根據(jù)實(shí)際情況（如資金、勞動(dòng)力）確定產(chǎn)品的月供應(yīng)量，以使得總利潤(rùn)達(dá)到最大。已知對(duì)這兩種產(chǎn)品有直接限制的因素是資金和勞動(dòng)力，通過(guò)調(diào)查，得到關(guān)于這兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表：
資金
單位產(chǎn)品所需資金（百元）
月資金供應(yīng)量（百元）
空調(diào)機(jī)洗衣機(jī)
成本3020300
勞動(dòng)力 （工資）510110
單位利潤(rùn)68
試問(wèn)：怎樣確定兩種貨物的月供應(yīng)量，才能使總利潤(rùn)達(dá)到最大，最大利潤(rùn)是多少？
7．某�；锸抽L(zhǎng)期以面粉和大米為主食，而面食每100克含蛋白質(zhì)6個(gè)單位，含淀粉4個(gè)單位，售價(jià)0.5元，米食每100克含蛋白質(zhì)3個(gè)單位，含淀粉7個(gè)單位，售價(jià)0.4元，學(xué)校要求給學(xué)生配制盒飯，每盒飯至少有8個(gè)單位的蛋白質(zhì)和10個(gè)單位的淀粉，問(wèn)應(yīng)如何配制盒飯，才既科學(xué)又費(fèi)用最少？
8．發(fā)電廠主控室的表盤(pán)，高m米，表盤(pán)底邊距地面n米。問(wèn)值班人員坐在什么位
置上，看得最清楚？（值班人員坐在椅子上眼睛距地面的高度一般為1.2米）
9. 某養(yǎng)雞廠想筑一個(gè)面積為144平方米的長(zhǎng)方形圍欄。圍欄一邊靠墻，現(xiàn)有50米鐵絲網(wǎng)，筑成這樣的圍欄最少要用多少米鐵絲網(wǎng)？已有的墻最多利用多長(zhǎng)？最少利用多長(zhǎng)？
（Ⅳ）、參考答案
1．分析：本題將高等代數(shù)中 維向量空間的線(xiàn)形相關(guān)的定義，移植到平面向量中，定義了 個(gè)平面向量線(xiàn)性相關(guān)．在解題過(guò)程中，首先應(yīng)該依據(jù)定義，得到 ，即 ，于是 ，所以 即 則 ．所以， 的值依次可取 （ 是不等于零的任意實(shí)數(shù)）．
2．分析1：解析幾何是用代數(shù)方法來(lái)研究幾何圖形的一門(mén)學(xué)科，因此，數(shù)形結(jié)合必然是研究解析幾何問(wèn)題的重要手段. 從“有且僅有”這個(gè)微觀入手，對(duì)照草圖，不難想到：過(guò)點(diǎn)B作與 平行的直線(xiàn)，必與雙曲線(xiàn)C相切. 而相切的代數(shù)表現(xiàn)形式是所構(gòu)造方程的判別式 . 由此出發(fā)，可設(shè)計(jì)如下解題思路：
解題過(guò)程略.
分析2：如果從代數(shù)推理的角度去思考，就應(yīng)當(dāng)把距離用代數(shù)式表達(dá)，即所謂“有且僅有一點(diǎn)B到直線(xiàn) 的距離為 ”，相當(dāng)于化歸的方程有唯一解. 據(jù)此設(shè)計(jì)出如下解題思路：
解：設(shè)點(diǎn) 為雙曲線(xiàn)C上支上任一點(diǎn)，則點(diǎn)M到直線(xiàn) 的距離為：
于是，問(wèn)題即可轉(zhuǎn)化為如上關(guān)于 的方程.
由于 ，所以 ，從而有
于是關(guān)于 的方程
由 可知：
方程 的二根同正，故 恒成立，于是 等價(jià)于
.
由如上關(guān)于 的方程有唯一解，得其判別式 ，就可解得 .
說(shuō)明：上述解法緊扣解題目標(biāo)，不斷進(jìn)行問(wèn)題轉(zhuǎn)換，充分體現(xiàn)了全局觀念與整體思維的優(yōu)越性.
3．分析與解：從不等式分析入手，易知首先需要判斷f(x)的奇偶性和單調(diào)性，不難證明，在R上f(x)是奇函數(shù)和增函數(shù)，由此解出cos2 +2msin <2m+2.
令t=sin ,命題轉(zhuǎn)化為不等式t2 2mt+(2m+1)>0,t∈[0,1]--------------------(*)
恒成立時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。
接下來(lái)，設(shè)g(t)=t2 2mt+(2m+1),按對(duì)稱(chēng)軸t=m與區(qū)間[0，1]的位置關(guān)系，分類(lèi)使g(t)min>0,綜合求得m> .
本題也可以用函數(shù)思想處理，將（*）化為2m(1 t)> (t2+1),t∈[0,1]
⑴當(dāng)t=1時(shí)，m∈R;
⑵當(dāng)0≤t<1時(shí)，2m>h(t)=2 [(1 t)+ ],由函數(shù)F（u)=u+ 在（ 1，1]上是減函數(shù)，易知當(dāng)t=0時(shí)，h(x)max= 1, ∴m> ,綜合（1）、（2）知m> 。
說(shuō)明：本題涉及函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、二次函數(shù)的條件極值、不等式等知識(shí)，以及用函數(shù)的思想、數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論、轉(zhuǎn)化和化歸的思想方法解題，是綜合性較強(qiáng)的一道好題。
4．分析：方程可轉(zhuǎn)化成lg(x2+20x)=lg(8x 6a 3),從而得x2+20x=8x 6a 3>0,注意到若將等號(hào)兩邊看成是二次函數(shù)
y= x2+20x及一次函數(shù)y=8x 6a 3，則只需考慮這兩個(gè)
函數(shù)的圖象在x軸上方恒有唯一交點(diǎn)即可。
解：令y1= x2+20x=（x+10）2 100,y2=8x 6a 3,則如圖所示，y1的圖象為一個(gè)定拋物線(xiàn)，y2的圖象是一條斜率為定值8，而截距不定的直線(xiàn)，要使y1和y2在x軸上有唯一交點(diǎn)，則直線(xiàn)必須位于l1和l2之間。（包括l1但不包括l2)
當(dāng)直線(xiàn)為l1時(shí)，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)（ 20，0）此時(shí)縱截距為 6a 3=160,a= ;
當(dāng)直線(xiàn)為l2時(shí)，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)（0，0），縱截距為 6a 3=0，a=
∴a的范圍為[ ， ）。
5．解：（1）當(dāng) 時(shí)，方程化為 ，表示 軸。
（2）當(dāng) 時(shí)，方程化為 ，表示 軸
（3）當(dāng) 時(shí)，方程為標(biāo)準(zhǔn)形式：
①當(dāng) 時(shí)，方程化為 表示以原點(diǎn)為圓心， 為半徑的圓。
②當(dāng) 時(shí)，方程（*）表示焦點(diǎn)在 軸上的雙曲線(xiàn)，焦點(diǎn)為
③當(dāng) 時(shí)，方程（*）表示焦點(diǎn)在 軸上的橢圓，焦點(diǎn)為
④當(dāng) 時(shí)，方程（*）表示焦點(diǎn)在 軸上的橢圓，焦點(diǎn)為
⑤當(dāng) 時(shí)，方程（*）表示焦點(diǎn)在 軸上的雙曲線(xiàn)，焦點(diǎn)為
6．解：設(shè)空調(diào)機(jī)、洗衣機(jī)的月供應(yīng)量分別是x、y臺(tái)，總利潤(rùn)是P，則P＝6x+8y
由題意：30x+20y ≤300
5x+10y≤110
x≥0，y≥0
x、y均為整數(shù)
畫(huà)圖知直線(xiàn) y＝－3/4x＋1/8P 過(guò)M（4,9）時(shí)，縱截距最大，這時(shí)P也取最大值Pmax＝6×4＋8×9＝96（百元）
故：當(dāng)月供應(yīng)量為：空調(diào)機(jī)4臺(tái)，洗衣機(jī)9臺(tái)時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)9600元。
7．解：設(shè)每盒盒飯需要面食x（百克），米食y（百克）則目標(biāo)函數(shù)為S＝0.5x+0.4y
且x，y滿(mǎn)足 ： 6x+3y≥8 4x+7y≥10 x≥0 ，y≥0
畫(huà)圖可知，直線(xiàn) y＝－5/4x+5/2S 過(guò)A（13/15,14/15）時(shí)，縱截距5/2S最小，即S最小。
故每盒盒飯為13/15百克，米食14/15百克時(shí)既科學(xué)又費(fèi)用最少。
8．解答從略，答案是： 值班人員的眼睛距表盤(pán)距離為 （米）。本題材料背景:儀表及工業(yè)電視，是現(xiàn)代化企業(yè)的眼睛，它總是全神貫注地注視著生產(chǎn)內(nèi)部過(guò)程，并忠實(shí)地把各種指標(biāo)顯示在值班人員的面前。這就要在值班人員和儀表及工業(yè)電視之間，建立某種緊密的聯(lián)系，聯(lián)系的紐帶是值班人員的眼睛！因此只有在最佳位置上安排值班人員的座位，才能避免盲目性。
9.解：假設(shè)圍欄的邊長(zhǎng)為x米和玉米，于是由題設(shè)可知x＞0，y＞0，且
xy＝144 （1）
2x+y≤50 （2）
本文來(lái)自：逍遙右腦記憶 http://yy-art.cn/gaosan/65316.html
相關(guān)閱讀：第十二章立體幾何(高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽標(biāo)準(zhǔn)教材)