3.函數(shù)的單調(diào)性與最值
一、知識梳理：
1、函數(shù)的單調(diào)性
（1） 函數(shù)的單調(diào)區(qū)間必須在定義域內(nèi)。分別在兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)用“和”連接而不能用并.
如：求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間。
（2）定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果對于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1
（3）函數(shù)單調(diào)性的證明、判斷和求單調(diào)區(qū)間：定義法,導(dǎo)數(shù)法。
定義法：對任意的 ， ，判斷 的符號，兩法因式分解和配方法，以 說明之
（4）初等函數(shù)的單調(diào)性：一次函數(shù)，反比例函數(shù)，二次函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，三角函數(shù)等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。具體說明。
（5）設(shè) 是定義在M上的函數(shù)，若f(x)與g(x)的單調(diào)性相反，則 在M上是減函數(shù)；若f(x)與g(x)的單調(diào)性相同，則 在M上是增函數(shù)。
如求函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間為 ，單調(diào)遞減區(qū)間為 。
（6）簡單性質(zhì)：
①奇函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同；②偶函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反；
③在公共定義域內(nèi)：
增函數(shù) 增函數(shù) 是增函數(shù)；減函數(shù) 減函數(shù) 是減函數(shù)；
增函數(shù) 減函數(shù) 是增函數(shù)；減函數(shù) 增函數(shù) 是減函數(shù)。
2、函數(shù)的最值
（1）定義：
最大值：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：①對于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0) = M。那么，稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值。
最小值：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：①對于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0) = M。那么，稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值。
其意義2點(diǎn)：
○1 函數(shù)最大（�。┦紫葢�(yīng)該是某一個(gè)函數(shù)值，即存在x0∈I，使得f(x0) = M；
○2 函數(shù)最大（�。⿷�(yīng)該是所有函數(shù)值中最大（�。┑模磳τ谌我獾膞∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）。
（2）求最值方法：函數(shù)單調(diào)性法（包括導(dǎo)數(shù)法）、基本不等式法；
二、典例討論：
1、基本初等復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
例1.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并確定每一單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性.
解：（1）圖象法:遞增區(qū)間： 和 ，遞減區(qū)間： 和
（2）初等復(fù)合函數(shù)法:遞增區(qū)間： ，遞減區(qū)間：
（3）遞增區(qū)間： ，遞減區(qū)間：
例2、已知 討論函數(shù) 的單調(diào)性。
解： 的定義域?yàn)?，且 ， 為奇函數(shù)。
所以只需討論 在 上的單調(diào)性，任取 且 ，
則
因?yàn)?，
因?yàn)?為增函數(shù)，所以 即 ，
所以 在 上遞減，因?yàn)?為奇函數(shù)，所以 在 上也遞減
點(diǎn)評：對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性討論的處理。
討論練習(xí)1：判斷函數(shù) ( ≠0)在區(qū)間(－1，1)上的單調(diào)性。
解：設(shè) , 則
－ ＝ ,
∵ , , , , ∴ >0,
∴ 當(dāng) 時(shí), , 函數(shù) 在(－1, 1)上為減函數(shù)，
當(dāng) 時(shí), , 函數(shù) 在(－1, 1)上為增函數(shù).
方法二、導(dǎo)數(shù)法：
∴ 當(dāng) 時(shí), , 函數(shù) 在(－1, 1)上為減函數(shù)，
當(dāng) 時(shí), , 函數(shù) 在(－1, 1)上為增函數(shù).
點(diǎn)評：解單調(diào)性大題時(shí)只有兩種合法方法：定義法和導(dǎo)數(shù)法。
例3、函數(shù) 的圖象如圖所示：則 的單調(diào)減區(qū)間是（ ）
解：令 ，則 在 和 上為遞增，所以在 和 由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)則知， 為遞減，故選C
例4、（1）已知 是R上的減函數(shù)，那么 的取值范圍是（ ）
解： 在 遞減， ， 時(shí) 。故選C
（2）函數(shù) 在 上的最大值與最小值的和為 ，則 .
解：無論 和 ， 與 同增減，所以最大值與最小值的和一定是
4、單調(diào)性的應(yīng)用
例5、已知函數(shù) 是定義在R上的偶函數(shù)，且在 上是增函數(shù)，令 ，則（ ）
解：
，
所以， ，故選A
5、綜合問題
例6、 定義在R上的函數(shù)y=f（x），f（0）≠0，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞1，且對任意的a、b∈R，有f（a+b）=f（a）?f（b）.
（1）求證：f（0）=1；
（2）求證：對任意的x∈R，恒有f（x）＞0；
（3）求證：f（x）是R上的增函數(shù)；
（4）若f（x）?f（2x－x2）＞1，求x的取值范圍.
解：（1）證明：令a=b=0，則f（0）=f 2（0）.又f（0）≠0，∴f（0）=1.
（2）證明：當(dāng)x＜0時(shí)，－x＞0，∴f（0）=f（x）?f（－x）=1.
∴f（－x）= ＞0.又x≥0時(shí)f（x）≥1＞0，∴x∈R時(shí)，恒有f（x）＞0.
（3）證明：設(shè)x1＜x2，則x2－x1＞0.∴f（x2）=f（x2－x1+x1）=f（x2－x1）?f（x1）.
∵x2－x1＞0，∴f（x2－x1）＞1.又f（x1）＞0，∴f（x2－x1）?f（x1）＞f（x1）.
∴f（x2）＞f（x1）.∴f（x）是R上的增函數(shù).
（4）解：由f（x）?f（2x－x2）＞1，f（0）=1得f（3x－x2）＞f（0）.又f（x）是R上的增函數(shù)，∴3x－x2＞0.∴0＜x＜3.
評述：解本題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用題目條件，尤其是（3）中“f（x2）=f［（x2－x1）+x1］”是證明單調(diào)性的關(guān)鍵，這里體現(xiàn)了向條件化歸的策略.
三、課堂小結(jié)：
四、課后作業(yè)：
1.討論函數(shù)f（x）=x+ （a＞0）的單調(diào)性.?
解 方法一 顯然f（x）為奇函數(shù)，所以先討論函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，設(shè)x1＞x2＞0,則?
f(x1)-f(x2) =（x1+ ）-（x2+ ）=(x1-x2)?（1- ）.
∴當(dāng)0＜x2＜x1≤ 時(shí)， ＞1,?
則f（x1）-f（x2）＜0，即f(x1)＜f(x2),故f（x）在（0， ］上是減函數(shù).?
當(dāng)x1＞x2≥ 時(shí)，0＜ ＜1，則f（x1）-f（x2）＞0,即f(x1)＞f(x2),?
故f（x）在［ ，+∞）上是增函數(shù).∵f（x）是奇函數(shù)，?
∴f（x）分別在（-∞，- ］、［ ，+∞）上為增函數(shù)；?
f（x）分別在［- ，0）、（0， ］上為減函數(shù).?
方法二 由f ′（x）=1- =0可得x=±
當(dāng)x＞ 時(shí)或x＜- 時(shí)，f ′(x)＞0，∴f（x）分別在（ ，+∞）、（-∞，- ］上是增函數(shù).?
同理0＜x＜ 或- ＜x＜0時(shí)，f′（x）＜0?
即f（x）分別在（0， ］、［- ，0）上是減函數(shù).
2.求函數(shù)y= （4x-x2）的單調(diào)區(qū)間.?
解 由4x-x2＞0，得函數(shù)的定義域是（0，4）.令t=4x-x2，則y= t.?
∵t=4x-x2=-（x-2）2+4，∴t=4x-x2的單調(diào)減區(qū)間是［2，4），增區(qū)間是（0，2］.?
又y= t在（0，+∞）上是減函數(shù)，
∴函數(shù)y= （4x-x2）的單調(diào)減區(qū)間是（0，2］，單調(diào)增區(qū)間是［2，4).
3.定義在R上的函數(shù)y=f（x），對任意的x、y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y）, 當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)<0,f(1)= .
(1)判斷f（x）在R上的單調(diào)性；
（2）求f（x）在[-3，3]上的最值。
解：（1）令
設(shè)任意的 且 ，
所以f（x）是在R上的減函數(shù)
（2）
本文來自：逍遙右腦記憶 http://yy-art.cn/gaosan/70951.html
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