根據(jù)近幾年高考命題特點(diǎn)和規(guī)律，復(fù)習(xí)本專題時(shí)要注意以下幾方面：
1．全面掌握空間幾何體的概念及性質(zhì)，特別是常見幾何體如正方體、長(zhǎng)方體、棱柱、棱錐、球的概念和性質(zhì)，這是進(jìn)行計(jì)算和證明的基礎(chǔ)。
2．多面體畫圖、分析圖，用自己的語(yǔ)言描述圖，提高借助圖形分析問題的能力，培養(yǎng)空間觀念。
3．注重三視圖與直觀圖的相互轉(zhuǎn)化及等積轉(zhuǎn)化的思想。
4．特別關(guān)注空間三種角落計(jì)算問題以及涉及到探究點(diǎn)的位置的問題。
第一講 空間幾何體
【最新考綱透析】
1．認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu)。
2．能畫出簡(jiǎn)單空間圖形（長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡(jiǎn)易組合）的三視圖，能識(shí)別上述三視圖所表示的立體模型，會(huì)用斜二測(cè)法畫出它們的直觀圖。
3．會(huì)用平行投影與中心投影兩種方法畫出簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式。
4．會(huì)畫某些建筑物的三視圖與直觀圖（在不影響圖形特征的基礎(chǔ)上，尺寸、線條等不作嚴(yán)格要求）。
5．了解球、棱柱、棱錐的表面積和體積的計(jì)算公式（不要求記憶公式）。
【核心要點(diǎn)突破】
要點(diǎn)考向1：空間幾何體的三視圖
考情聚焦：1．三視圖是新課標(biāo)教材的新增內(nèi)容，是高考中新的增加點(diǎn)及亮點(diǎn)。
2．常與表面積、體積計(jì)算綜合出現(xiàn)，多以選擇題或解答題的形式呈現(xiàn)，屬較容易的題。
考向鏈接：1．解答此類問題，首先由三視圖想象出原幾何體的形狀，并由相關(guān)數(shù)據(jù)得出幾何體中的量。
2．掌握三視圖是正確解決這類問題的關(guān)鍵，同時(shí)也體現(xiàn)了知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，是高考的新動(dòng)向。
例1：（2010?陜西高考理科?Ｔ7）若某空間幾何體的三視圖如圖所示，
則該幾何體的體積是（ ）
(A) (B) (C) 1 (D) 2
【命題立意】本題考查三視圖的概念及空間想象能力，屬中等題。
【思路點(diǎn)撥】三視圖 幾何體是直三棱柱 該幾何體 的體積
【規(guī)范解答】選C 由該幾何體的三視圖可知，該幾何體是直三棱柱，且棱柱的底面是兩直角邊長(zhǎng)分別為 和1的直角三角形，棱柱的高為 ，所以該幾何體的體積
要點(diǎn)考向2：幾何體的表面積與體積
考情聚焦：1．幾何體的表面積與體積一直是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，應(yīng)引起重視。
2．多以選擇題、填空題的形式考查，有時(shí)也以解答題的形式考查，屬較容 易題。
考向鏈接：1．求幾何體的表面積及體積問題，可以多角度、多方位地考慮，熟記公式是關(guān)鍵所在。求三棱錐的體積，等積轉(zhuǎn)化法是常用的方法，轉(zhuǎn)換原則是其高易求，底面放在已知幾何體的某一面上。
2．求不規(guī)則幾何體的體積，常用分割或補(bǔ)形的思想，將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體以易于求 解。
例2：（2010?上海高考文科?Ｔ20）如圖所示，為了制作一個(gè)圓柱形燈籠，先 要制作4個(gè)全等的矩形骨架，總計(jì)耗用9.6米鐵絲，再用 平方米塑料片制成圓柱的側(cè)面和下底面（不安裝上底面）.
(1)當(dāng)圓柱底面半徑 取何值時(shí)， 取得最大值？并求出該
最大值（結(jié)果精確到0.01平方米）;
(2)若要制作一個(gè)如圖放置的，底面半徑為0.3米的燈籠，請(qǐng)作出
用于燈籠的三視圖（作圖時(shí)，不需考慮骨架等因素）.
【命題立意】本題是個(gè)應(yīng)用題，主要考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力，涉及函數(shù)求最值、幾何體的三視圖等相關(guān)知識(shí).
【思路點(diǎn)撥】（1）建立 關(guān)于 的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值；
（2）確定幾何體的有關(guān)數(shù)據(jù)后，按三視圖的要求畫圖．
【規(guī)范解答】（1）設(shè)圓柱形燈籠的高為 ，則 ，所以
所以 ．
所以，當(dāng) 時(shí)S有最大值．
最大值為 （平方米）
（2）由（1） 時(shí)， 其正視圖與側(cè)視圖均為邊長(zhǎng)是0.6的正方形，俯視圖是半徑為0.6的圓．如圖：
要點(diǎn)考向3：球鞋與空間幾何體的接、切問題
考情聚焦：1．有關(guān)球的知識(shí)的考查也是高考中常出現(xiàn)的問題，特別是球與多面體、旋轉(zhuǎn)體等組合的接、切問題。
2．多以客觀題的形式呈現(xiàn)，屬中檔題目。
例3：一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球鞋面上，且該六棱柱的高為 ，底面周長(zhǎng)為3，那么這個(gè)球的體積為
思路分析：確定球與正六棱柱的關(guān)系→求球的半徑→求得體積。
解析：由已知正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為 ，而外接球的直徑恰好為最長(zhǎng)的體對(duì)角線長(zhǎng)。設(shè)球的半徑為R，則
答案：
注：（1）涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時(shí)，一般過球心及多面體中的特殊點(diǎn)或線作截面，把空間問題化歸為平面問題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系。
（2）若球面上四點(diǎn)P、A、B、C構(gòu)成的線段PA、PB、PC兩兩垂直，且 則 ，把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接長(zhǎng)方體（或其他圖形），從而顯示出球的數(shù)量特征，這種方法是一種常用的好方法。
【高考真題探究】
1．（2010?遼寧高考文科?Ｔ11）已知SABC是球O表面上的點(diǎn)，SA⊥平面ABC,AB⊥BC，SA=AB=1 BC= ,則球O的表面積等于（ ）
（A）4 (B）3 (C)2 (D)
【命題立意】本題考查了空間是兩點(diǎn)間距離公式和球的表面積公式。，
【思路點(diǎn)撥】
【規(guī)范解答】選A。 平面ABC，AB，AC 平面ABC， ， ，
故可以A為原點(diǎn)，AC所在的直線為 軸，AS所在的直線為 軸建立如圖所示的空間直
角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則 , , , ,設(shè)球心O
坐標(biāo)為 ，則點(diǎn)O到各頂點(diǎn)SABC的距離相等，都等于球的半徑R。
，
解得 ，
球的表面積為 。故選A。
【方法技巧】1、選用球心到各頂點(diǎn)的距離都相等來(lái)確定球心，才能求出半徑，
2、也可用另外的方法找到球心，因?yàn)椤螦BC是直角，所以AC是過A、B、C三點(diǎn)的小圓的直徑，所以球心在過AC和平面ABC垂直的平面上，可知球心在平面SAC中，又因?yàn)榍蛐牡近c(diǎn)SAC的距離都相等，且△SAC是直角三角形，所以球心就是斜邊SC的中點(diǎn)，球的半徑為SC的一半，
3、再一種方法是將三棱錐S-ABC補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體。
2．（2010?遼寧高考理科?Ｔ12）有四根長(zhǎng)都為2的直鐵條，若再選兩根長(zhǎng)都為a的直鐵條，使這六根鐵條端點(diǎn)處相連能夠焊接成一個(gè)三棱錐形的鐵架，則a的取值 范圍是（ ）
(A)（0, ） (B)（1, ） (C) ( , ） (D) （0, ）
【命題立意】以三棱錐為背景考查三角形中的三邊關(guān)系考查空 間想象能力和運(yùn)算能力。
【思路點(diǎn)撥】分兩種情況，一種是邊長(zhǎng)為a的棱在一個(gè)三角形中，另一種情況時(shí)長(zhǎng)度為a的棱不在一個(gè)三角形中，分別討論。
【規(guī)范解答】選A
對(duì)于第一種情況，取BC的中點(diǎn)D連結(jié)PD、AD，則 在三角形PAD中，
有
對(duì)于第二種情況同理可以得到
綜合兩種情況，及 ，所以a的取值范圍是（0, ）。
3．（2010?浙江高考文科?Ｔ8）若某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則此幾何體的體積是（ ）
（A） cm3 （B） cm3
（C） cm3 （D） cm3
【命題立意】本題主要考察了對(duì)三視圖所表達(dá)示的空間幾何體的識(shí)別以
及幾何體體積的計(jì)算，屬容易題。
【思路點(diǎn)撥】解答本題要先由三視圖，想象出直觀圖，再求體積。
【規(guī)范解答】選B。此幾何體上方為正四棱 柱、下方為正四棱錐。所以其體積為
。
【方法技巧】對(duì)于不規(guī)則幾何體求體積時(shí)可分幾部分規(guī)則的幾何體，再求體積和。
4．（2010?北京高考理科?Ｔ3）一個(gè)長(zhǎng)方體
去掉一個(gè)小長(zhǎng)方體，所得幾何體的正（主）視
圖與側(cè)（左）視圖分別如右圖所示，則該幾何
體的俯視圖為（ ）
【命題立意】本題考查三視圖知識(shí)，考查同學(xué)們的空間想象能力。
【思路點(diǎn)撥】結(jié)合正、側(cè)視圖，想象直觀圖。
【規(guī)范解答】選C。由主、左視圖可知直觀圖如圖所示：
因此，俯視圖是（C）。
5．（2010?北京高考文科?Ｔ8）如圖，正方體 的棱長(zhǎng)為2，動(dòng)點(diǎn)E、F在棱 上。點(diǎn)Q是CD的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在棱AD上，若EF=1，DP=x， E=y(x,y大于零)，則三棱錐P-EFQ的體積：（ ）
（A）與x，y都有關(guān)；
（B）與x，y都無(wú)關(guān)；
（C）與x有關(guān)，與y無(wú)關(guān)；
（D）與y有關(guān)，與x無(wú)關(guān)；
【命題立意】本題考查幾何體體積的相關(guān)知識(shí)，關(guān)鍵是找到易求面積的底面與高。
【思路點(diǎn)撥】把EFQ看作底面，點(diǎn)P到對(duì)角面 的距離即為對(duì)應(yīng)的高。
【規(guī)范解答】選C。 ，點(diǎn)P到平面EFQ的距離為 。
。
6．（2010 ?海南寧夏高考?理科T10）設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長(zhǎng)都為 ，頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為（ ）
（A） （B） （C） （D）
【命題立意】本小題主要考查了幾何體的外接球問題.
【思路點(diǎn)撥】找出球與棱柱的相對(duì)關(guān)系，找出球的半徑與三棱柱棱長(zhǎng)之間的關(guān)系.
【規(guī)范解答】選Ｂ.設(shè)球心為 ，設(shè)正三棱柱上底面為 ，中心為 ，因?yàn)槿庵欣獾拈L(zhǎng)都為 ，則可知 ， ，又由球的相關(guān)性質(zhì)可知，球的半徑 ，所以球的表面積為 ，故選Ｂ.
【跟蹤模擬訓(xùn)練】
一、選擇題（每小題6分，共36分）
1.下列結(jié)論正確的是（ ）
(A)各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐
(B)以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐
(C)棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面多邊形的邊長(zhǎng)相等，則該棱錐可能是六棱錐
(D)圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任意一點(diǎn)的連線都是母線
2．已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積是( )
(A)16π (B)20π (C)24π (D)32π
3．（2010江南模擬）已知四面體 中， ，且 、 、 兩兩互相垂直，在該四面體表面上與點(diǎn) 距離是 的點(diǎn)形成一條曲線，這條曲線的長(zhǎng)度是 ( )
A. B. C. D.
4．表面積為 的正四面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則此球的體積為（ ）
A． B． C． D．
5．如右圖為一個(gè)幾何體的三視圖，尺寸如圖所示，則該幾何體的表面積為( ) ．(不考慮接觸點(diǎn)）
A. 6+ B. 18+
C. D. 18+
6．某幾何體的一條棱長(zhǎng)為 ，在該幾何體的主視圖中，這條棱 的投影是長(zhǎng)為 的線段，在該幾何體的左視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長(zhǎng)為a和b的線段，則a+b的最大值為________.
二、填空題（每小題6分，共18分）
7．如圖所示兩組立體圖形都是由相同的小正方體拼成的。
(1)圖(1)的正（主）視圖與圖(2)的___________相同.
(2)圖(3)的___________圖與圖(4)的___________圖不同.
8.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積等于_______.
9.如圖1，一個(gè)正四棱柱形的密閉容器水平放置，其底部鑲嵌了同底的正四棱錐形實(shí)心裝飾塊，容器內(nèi)盛有a升水時(shí)，水面恰好經(jīng)過正四棱錐的頂點(diǎn)P.如果將容器倒置，水面也恰好過點(diǎn)P（圖2）.有下列四個(gè)命題：
（A）正四棱錐的高等于正四棱柱高的一半；
（B）將容器側(cè)面 水平放置時(shí)，水面也恰好過點(diǎn) P；
（C）任意擺放該容器，當(dāng)水面靜止時(shí)，水面都恰好經(jīng)過點(diǎn)P；
（D）若往容器內(nèi)再注入a升水，則容器恰好能裝滿.
其中真命題 的代號(hào)是：_____________（寫出所有真命題的代號(hào)）.
三、解答題（10、11 題 每題15分，12題16分，共46分）
10.如圖所示，長(zhǎng)方體ABCD?A′B′C′D′中，用截面截下一個(gè)棱錐C?A′DD′，求棱錐C?A′DD′的體積與剩余部分的體積之比.
11.如圖所示，半徑為R的半圓內(nèi)的陰影部分以直徑AB所在直線為軸，旋轉(zhuǎn)一周得到一幾何體，求該幾何體的表面積（其中∠BAC=30°）.
12.（探究創(chuàng)新題）一個(gè)空間幾何體的三視圖及部分?jǐn)?shù)據(jù)如圖所示.
(1)請(qǐng)畫出該幾何體的直觀圖,并求它的體積;
(2)證明：A1C⊥平面AB1C1；
(3)若D是棱CC1的中點(diǎn)，在棱AB上取中點(diǎn)E，判斷DE是否平行于平面AB1C1，并證明你的結(jié)論.
參考答案
1．【解析】選D.A錯(cuò)誤,如圖1是由兩個(gè)結(jié)構(gòu)相同的三棱錐疊放在一起構(gòu)成的幾何體,各面都是三角形,但它不是棱錐.
B錯(cuò)誤,如圖2,若△ABC不是直角三角形,或是直角三角形但旋轉(zhuǎn)軸不是直角邊,所得的幾何體都不是圓錐.
C錯(cuò)誤,若六棱錐的所有棱長(zhǎng)都相等,則底面多邊形是正六邊形.由幾何圖形知,若以正六邊形為底面,側(cè)棱長(zhǎng)必然要大于底面邊長(zhǎng).
D正確,由頂點(diǎn)、底面圓周上一點(diǎn)及底面圓的圓心可得到旋轉(zhuǎn)的直角三角形.
2．【解析】選C.設(shè)正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為a，球半徑為R,則 解得a=2，R2=6，
∴球的表面積S=4πR2=24π.
3．【解析】選A.
4．【解析】選C.因?yàn)楸砻娣e為 ，所以棱長(zhǎng)為 2，所以外接球的半徑為 ，所以球的體積為 。
5．【解析】選D.該幾何體由正三棱柱和球組成，正三棱柱的表面積為 ，球的表面積為 ，所以該幾何體的表面積為 。
6．【解析】如圖，把幾何體放到長(zhǎng)方體中，使得長(zhǎng)方體的對(duì)角線剛好為幾何體的已知棱，設(shè)長(zhǎng)方體的對(duì)角線 ，則它的正視圖投影長(zhǎng)為 ，側(cè)視圖投影長(zhǎng)為 ，俯視圖投影長(zhǎng)為 ，則 ，即 ，又 ， ，所以選C。
答案：4
7．【解析】對(duì)于第一組的兩個(gè)立體圖形,圖(1)的正（主）視圖與圖(2)的俯視圖相同.
對(duì)于第二組的兩個(gè)立體圖形,圖(3)的正（主）視圖與圖(4)的正（主）視圖不同,而側(cè)(左)視圖和俯視圖都是相同的.
答案：(1)俯視圖 (2)正（主）視 正（主）視
8．
9．【解析】由題意可知顯然選項(xiàng)D正確.如果擺放的容器不是水平的，則選項(xiàng)C不正確.
設(shè)正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為m,高為n，正四棱錐的高為h,則由
10．【解析】設(shè)長(zhǎng)方體的三條棱長(zhǎng)分別為AB=a，AD=b，AA′=c，
則V長(zhǎng)方體=abc，
11．
12．【解析】（1）幾何體的直觀圖如圖.
(2)∵∠ACB=90°，
∴BC⊥AC.
∵三棱柱ABC ?A1B1C1為直三棱柱，
∴BC⊥CC1.
∵AC∩CC1=C，
∴BC⊥平面ACC1A1，
∴BC⊥A1C.∵B1C1∥BC,∴B1C1⊥A1C.
∵四邊形ACC1A1為正方形,
∴A1C⊥AC1.
∵B1C1∩AC1=C1.
∴A1C⊥平面AB1C1.
（3）當(dāng)E為棱AB的中點(diǎn)時(shí),
DE∥平面AB1C1.
證明：如圖，取BB1的中點(diǎn)F，
連結(jié)EF,FD，DE,
∵D，E，F(xiàn)分別為CC1，AB，BB1的中點(diǎn),
∴EF∥AB1.
∵AB1 平面AB1C1，EF 平面AB1C1，
∴EF∥平面AB1C1.
∵FD∥B1C1，∴FD∥面AB1C1，又EF∩FD=F,
∴面DEF∥面AB1C1.
而DE 面DEF,
∴DE∥面AB1C1.
【備課資源】
【解析】選B.由三視圖知該幾何體為半個(gè)圓柱且高為2,底面半徑為1.
∴體積V= ×π×12×2=π
6.一個(gè)幾何體的三視圖及其尺寸(單位:cm)如圖所示,則該幾何體的側(cè)面積為______cm2.
【解析】該幾何體為正四棱錐,
側(cè)面三角形面積為 ×8×5=20（cm2）.
∴側(cè)面積為S=20×4=80（cm2）.
答案：80
7.如圖所示,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AB=2,E,F,G分別為PC、PD、BC的中點(diǎn).
(1)求證:PA∥平面EFG;
(2)求三棱錐P-EFG的體積.
【解析】（1）方法一：如圖，取AD的中點(diǎn)H，連接GH，F(xiàn)H，
∵E，F(xiàn)分別為PC，PD的中點(diǎn)，∴EF∥CD.
∵G,H分別為BC,AD的中點(diǎn),∴GH∥CD.
∴EF∥GH.
∴E,F,H,G四點(diǎn)共面.
∵F,H分別為DP,DA的中點(diǎn),∴PA∥FH.
∵PA 平面EFG,FH 平面EFG,
∴PA∥平面EFG.
方法二:∵E,F,G分別為PC,PD,BC的中點(diǎn),
∴EF∥CD,EG∥PB.
∵CD∥AB,∴EF∥AB.
又EF 平面PAB,AB 平面PAB
∴EF∥平面PAB,同理EG∥平面PAB
∵EF∩EG=E,∴平面EFG∥平面PAB.
∵PA 平面PAB,∴PA∥平面EFG.
(2)∵PD⊥平面ABCD,GC 平面ABCD,∴GC⊥PD.
本文來(lái)自：逍遙右腦記憶 http://yy-art.cn/gaosan/71739.html
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