第Ⅰ卷(選擇題 共50分)
一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.)
(1) 若 ，則下列各式中一定成立的是
A. B. C. D.
(2) 不等式 的解集是
A. B. C. D.
(3) 的值是
A. B. C. D.
(4) 在一次對年齡和人體脂肪含量關(guān)系的研究中，研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù)，并制作成如圖所示的年齡和人體脂肪含量關(guān)系的散點圖.根據(jù)該圖，下列結(jié)論中正確的是
A.年齡和人體脂肪含量正相關(guān)，且脂肪含量的中位數(shù)等于20%
B.年齡和人體脂肪含量正相關(guān)，且脂肪含量的中位數(shù)小于20%
C.年齡和人體脂肪含量負(fù)相關(guān)，且脂肪含量的中位數(shù)等于20%
D.年齡和人體脂肪含量負(fù)相關(guān)，且脂肪含量的中位數(shù)小于20%
(5) 如圖，已知A，B兩點分別在河的兩岸，某測量者在點A所在的河岸邊另選定一點C，
測得 ， ， ，則A，B兩點間的距離為
A. B. C. D.
(6)如果 成等比數(shù)列，那么
A. B.
C. D.
(7)某學(xué)校要從數(shù)學(xué)競賽初賽成績相同的四名學(xué)生(其中2名男生，2名女生)中，隨機(jī)選出2名學(xué)生去參加決賽，則選出的2名學(xué)生恰好為1名男生和1名女生的概率為
A. B. C. D.
(8)已知實數(shù) 滿足 則 的最大值為
A. B.0 C. D.
(9) 以下莖葉圖記錄了甲、乙兩名籃球運動員在以往幾場比賽中得分的情況，設(shè)甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為 ， ，標(biāo)準(zhǔn)差分別為 則
A. ， B. ，
C. ， D. ，
(10)對任意的銳角 下列不等關(guān)系中正確的是
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷(非選擇題 共100分)
二、填空題(本大題共6小題，每小題5分，共30分.)
(11) 已知 則 ____________.
(12) 設(shè) , , 是 中 , , 的對
邊, , ， ，
則 _________; 的面積為________.
(13) 某程序框圖如圖所示，該程序運行后
輸出S的結(jié)果是________.
(14) 已知 是數(shù)列 的前 項和，
且 ，則 _________________;
當(dāng) ______時， 取得最大值.
(15) 歐陽修的《賣油翁》中寫到：(翁)乃取一葫蘆置于地，以錢覆其口，徐以杓酌油瀝之，自錢孔入，而錢不濕.已知銅錢是直徑為4cm的圓面，中間有邊長為 1cm的正方形孔，若隨機(jī)向銅錢上滴一滴油(油滴整體不出邊界)，則油滴整體(油滴近似看成是直徑為0.2cm的球)恰好落入孔中的概率是 (不作近似計算).
(16)數(shù)列 中，如果存在 使得“ 且 ”成立
(其中 )，則稱 為 的一個“谷值”.
① 若 則 的“谷值”為_________________;
�、� 若 且 存在“谷值”，則實數(shù) 的取值范圍是__________________.
三、解答題(本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.)
(17)(本小題滿分14分)
已知 是等差數(shù)列， 為其前 項和，且 .
(I)求數(shù)列 的通項公式;
(II)若數(shù)列 滿足 ，求數(shù)列 的前 項和 .
(18)(本小題滿分14分)
“交通指數(shù)”是反映道路網(wǎng)暢通或擁堵的概念性指數(shù)值.交通指數(shù)的取值范圍為 至 ，分為 個等級：其中 為暢通， 為基本暢通， 為輕度擁堵， 為中度擁堵， 為嚴(yán)重?fù)矶? 晚高峰時段，某市交通指揮中心選取了市區(qū) 個交通路段，依據(jù)其交通指數(shù)數(shù)據(jù)繪制的頻數(shù)分布表及頻率分布直方圖如圖所示：
交通指數(shù)
頻數(shù) 頻率
(I)求頻率分布表中所標(biāo)字母的值，并補(bǔ)充完成頻率分布直方圖;
(II)用分層抽樣的方法從交通指數(shù)在 和 的路段中抽取一個容量為 的樣本，將該樣本看成一個總體，從中隨機(jī)抽出 個路
路段，求至少有一個路段為暢通的概率.
(19)(本小題滿分14分)
已知函數(shù)
(I)求函數(shù) 的單調(diào)遞減區(qū)間;
(II)求函數(shù) 在區(qū)間 上的最大值和最小值.
(20)(本小題滿分14分)
某旅游公司在相距為100 的兩個景點間開設(shè)了一個游船觀光項目.已知游船最大時速為50 ，游船每小時使用的燃料費用與速度的平方成正比例，當(dāng)游船速度為20 時，燃料費用為每小時60元.其它費用為每小時240元，且單程的收入為6000元.
(I)當(dāng)游船以30 航行時，旅游公司單程獲得的利潤是多少?(利潤=收入 成本)
(II)游船的航速為何值時，旅游公司單程獲得的利潤最大，最大利潤是多少?
(21)(本小題滿分14分)
在無窮數(shù)列 中， ，對于任意 ，都有 ， . 設(shè) ， 記使得 成立的 的最大值為 .
(I)設(shè)數(shù)列 為1，2，4，10， ，寫出 ， ， 的值;
(II)若 是公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列 的前 項的和為 ，求使得 成立的 的最小值;
(III)設(shè) ， ， ，請你直接寫出 與 的關(guān)系式，不需寫推理過程.
昌平區(qū)2018-2019學(xué)年第二學(xué)期高一年級期末質(zhì)量抽測
數(shù)學(xué)試卷參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn) 2018.7
一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.)
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D B A A D C B C
(II) …………10分
所以
是以3為首項2為公比的等比數(shù)列.
…………12分
所以 …………14分
(18)(本小題滿分14分)
解：(I)由頻率分布直方圖，得交通指數(shù)在[2,4)的頻率為
.
所以，
頻率分布直方圖為：
………………………6分
(II)依題意知，取出的5個路段中，交通指數(shù)在[0,2)內(nèi)的有2個，設(shè)為
交通指數(shù)在[2,4)內(nèi)的有3個，設(shè)為 …………………………………8分
則交通指數(shù)在 的基本事件空間為
，基本事件總數(shù)為10，……………10分
事件 “至少有一個路段為暢通”，
則 ， 基本事件總數(shù)為7.…………12分
所以至少有一個路段為暢通的概率為 ……………………………………14分
(19)(本小題滿分14分)
解： 的定義域為
…………………4分
(I)令 且
解得， 即
所以， 的單調(diào)遞減區(qū)間為 …………………8分
(II)由
當(dāng) 即 時，
當(dāng) 即 時， …………………14分
(20)(本小題滿分14分)
解：設(shè)游船的速度為 ( )，旅游公司單程獲得的利潤為 (元)，
因為游船的燃料費用為每小時 元，依題意 ，則 . 2分
所以 =
= . 5分
(21)(本小題滿分14分)
解：(І) …………………3分
(Ⅱ) 由 得 .
根據(jù) 的定義，當(dāng) 時， ;當(dāng) 時，
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