關于種群增長率和增長速率的問題很多同行都有過精彩的論述，但是有一些基本的問題仍然令人困惑，例如J型、S型增長都有增長率與增長速率嗎？如果有，它們之間是什么關系？我們討論的種群增長率和增長速率與《普通生態(tài)學》中的周限增長率、每員增長率之間又是什么關系？邏輯斯蒂增長（即S型增長）的增長速率與時間是什么關系？圍繞以上幾個問題，本文就常見的兩種J型曲線和一種S型曲線的種群數(shù)量與時間的數(shù)學方程式、增長率和增長速率的數(shù)學方程式加以對比，以期拋磚引玉。
1、種群數(shù)量、增長率和增長速率的數(shù)學含義
種群數(shù)量N是關于時間t的函數(shù)，記做N=f(t)，那么增長率（一般情況下按Δt=1考慮），代表的是種群增長量與起始數(shù)量的比值；而增長速率，代表的是種群的瞬時增長量。
2、兩種增長模型
2．1 J型增長模型
2．1．1世代不連續(xù)的J型增長模型
模型假設：①食物和空間條件充裕、氣候適宜、沒有敵害等條件下（以下簡稱為理想條件下），種群數(shù)量以固定的倍數(shù)增長，不受種群密度的制約；②種群內(nèi)生物世代不重疊，增長不連續(xù)；③不具年齡結構；④沒有遷入和遷出。
種群數(shù)量N與時間t的數(shù)學方程式：（N0為種群起始數(shù)量，λ表示結束時種群數(shù)量與開始時的比值）。
種群增長率的方程式：（按Δt=1,即間隔一個時間單位計算，以下均如此計算）。
2．1．2世代連續(xù)的J型增長模型
模型假設：①理想條件下，種群有一個恒定的每員（單位）瞬時增長量，它與密度無關；②種群內(nèi)生物世代重疊，連續(xù)增長；③具年齡結構；④沒有遷入和遷出。
種群數(shù)量N與時間t的數(shù)學方程式：（N0為種群起始數(shù)量，e為自然對數(shù)的底數(shù)，r為種群的每員瞬時最大增長量）。
種群增長率的方程式：；種群增長速率的方程式：或。
2．2 S型增長模型
模型假設：①食物和空間有限，受氣候、敵害等影響的條件下，種群的每員瞬時增長量隨種群密度上升而按一定比例降低；②有一個環(huán)境容納量（通常以K表示），當N=K時，種群為零增長；③種群內(nèi)生物世代重疊，連續(xù)增長；④具年齡結構；⑤沒有遷入和遷出。
種群數(shù)量N與時間t的數(shù)學方程式：（K為環(huán)境容納量，N0為種群起始數(shù)量，e為自然對數(shù)的底數(shù)，r為種群的每員瞬時最大增長量）。
種群增長率的方程式：；種群增長速率的方程式：或。
3、結論
3．1不論連續(xù)還是不連續(xù)的增長都能計算增長率，但只有連續(xù)增長的情況下才能計算增長速率（即瞬時增長量）。
因為Δt可長可短，比如一年或一小時，故不論連續(xù)還是不連續(xù)增長的種群，增長率均可以計算；但增長速率涉及極限、導數(shù)，種群連續(xù)增長是可以求導數(shù)的必要條件，故不連續(xù)增長的種群（如某一年生植物的J型增長）就沒有增長速率可言。
3．2不能認為種群增長速率等于種群增長率與種群數(shù)量的乘積。
以世代連續(xù)的J型增長模型為例，dN/dt=r N，變式后r=（dN/dt）/N，一般認為dN/dt是種群的增長速率即種群的瞬時增長量，則r為種群的每員瞬時增長量。當然，包括人教版必修三的教師用書在內(nèi)的一些書上，也把dN/dt說成是種群增長率（應該是把單位時間內(nèi)種群數(shù)的增加量當做了增長率），若如此，則稱r是每員增長率就不足為奇了�？梢姡荒苤粡淖置嬉馑己唵蔚卣J為大學教材及教參中所說的“種群的每員增長率r”和高中內(nèi)容所講的“種群增長率”是一回事。
3．3世代連續(xù)的J型增長模型中周限增長率、每員增長率之間可以相互轉(zhuǎn)換。
周限增長率λ=Nt+1/Nt，而每員增長率r是一種瞬時增長率。Nt=N0ertλ，當t=1時，N1=N0er，變形后N1/N0=λ=er ，即r=1nλ�？梢姡魊>0 ，λ>1，種群上升；若r=0，λ=1 ，種群穩(wěn)定；若r<0 ，λ<1，種群下降 [1] 。
3．4 S型增長模型的增長率隨時間推移而不斷減小，無限趨近于0；其增長速率隨時間推移或種群數(shù)量增加都會出現(xiàn)先增大后減小的變化。
分析2．2，其中r>0 ，K>N0，er>1，ert隨t增大而增加，則隨t增大而減小，趨近于0；dN/dt關于t的方程中，隨t增大出現(xiàn)先減小后增大的變化，故dN/dt隨t增大會先增大后減小；dN/dt關于N的方程是一個二次函數(shù)，N由0增至K/2時，dN/dt由0增至最大，然后隨著N趨近于K，dN/dt趨近于0；當然，不管哪一個方程都顯示dN/dt的最大值為rK/4，在或N=K/2時得到。
參考文獻
[1] 孫儒泳，李博，諸葛陽．普通生態(tài)學．北京：高等教育出版社，1996：68
本文來自：逍遙右腦記憶 http://yy-art.cn/gaozhong/141211.html
相關閱讀：分析“問題切入”在生物教學中運用的途徑