一、選擇題（本小題共12小題，每小題5分，共60分）
1．正方體ABCD―A1B1C1D1中，P、Q、R分別是AB、AD、B1C1的中點。那么，正方體的過P、Q、R的截面圖形是 （ ）
A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形
2．正方體ABCD―A1B1C1D1中，以頂點A、C、B1、D1為頂點的正四面體的全面積為，
則正方體的棱長為（ ）
A． B．2 C．4 D．
3．表面積為 的正八面體的各個頂點都在同一個球面上，則此球的體積為
A． B． C． D．
4．正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1底面邊長是1，側(cè)棱長是，則這個棱柱的側(cè)面對角
線E1D與BC1所成的角是（ ）
A．90? B．60? C．45? D．30?
5．設(shè)三棱柱ABC-A1B1C1的體積為V，P、Q分別是側(cè)棱AA1、CC1上的點，且PA=QC1，則四棱錐B-APQC的體積為
（A） （B） （C） （D）
6．設(shè)四個點P、A、B、C在同一球面上，且PA、PB、PC兩兩垂直，PA＝3，PB＝4，PC＝5，
那么這個球的表面積是（ ）
A． B． C．25 D．50
7．已知△ABC中，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝120?，平面ABC外一點P滿足PA＝PB＝PC＝2，
則三棱錐P－ABC的體積是（ ）
A． B． C． D．
8．已知正方體外接球的體積是，那么正方體的棱長等于
（A） �。˙） �。–） （D）
9已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個球的表面積是
A． B． C． D．
9.C
10．已知球O的表面積為4，A、B、C三點都在球面上，且每兩點的球面距離均為，則從球中切截出的四面體OABC的體積是（ ）
A． B． C． D．
11．棱長為a的正方體ABCD―A1B1C1D1中，異面直線A1B與B1C的距離是（ ）
A． B． C． D．
12．過三棱柱任意兩個頂點的直線共15條，其中異面直線有
（A）18對 （B）24對 （C）30對 （D）36對
二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分）
13．在底面為正方形的四棱錐P－ABCD中，PA底面ABCD，PA＝AB＝2，則三棱錐B－PCD的體積為 。
14． 已知平面和直線，給出條件：①；②；③；④；⑤.（i）當滿足條件 時，有；（ii）當滿足條件 時，有.（填所選條件的序號）
15．一個正方體的全面積為，它的頂點都在同一個球面上，則這個球的體積為 。
16如圖，正方體的棱長為1，C、D分別是兩條棱的中點，A、B、M是頂點，那么點M到截面ABCD的距離是 .
三、解答題（本大題共6小題，共74分）
17．如圖，在正三棱柱ABC―A1B1C1中，AB＝AA1，D是CC1的中點，F(xiàn)是A1B的中點，
⑴求證：DF∥平面ABC；
⑵求證：AF⊥BD。
18．如圖，在直三棱柱中，、分別為、的中點。
（I）證明：ED為異面直線與的公垂線；
（II）設(shè)求二面角的大小
19.在直三棱柱中，，．
（1）求異面直線與所成角的大��；
（2）若直線與平面所成角為，求三棱錐的體積．
20．如圖，已知正四棱柱ABCD―A1B1C1D1中，底面邊長AB＝2，側(cè)棱BB1的長為4，過點B作B1C的垂線交側(cè)棱CC1于點E，交B1C于點F，
⑴求證：A1C⊥平面BDE；
⑵求A1B與平面BDE所成角的正弦值。
21．如圖，三棱柱ABC―A1B1C1的各棱長均為2，側(cè)棱B1B與底面ABC成60?的角，
且側(cè)面ABB1A1⊥底面ABC，
⑴求證：AB⊥CB1；⑵求三棱錐B1－ABC的體積；
⑶求二面角C－AB1－B的大小。
22．.如圖所示，AF、DE分別是⊙O、⊙O1的直徑.AD與兩圓所在的平面均垂直，AD＝8,BC是⊙O的直徑，AB＝AC＝6，OE//AD.
(Ⅰ)求二面角B―AD―F的大小；
(Ⅱ)求直線BD與EF所成的角.
參考答案
一、選擇題
DAABC DDDCA BD
二、填空題
13． 14．③⑤ ②⑤ 15． 16．2/3
三、解答題
17．⑴取AB中點E，則顯然有FD∥ECDF∥平面ABC
⑵
18．解法一：（Ⅰ）設(shè)O為AC中點，連結(jié)EO，BO，則EO 又CC1 B1B，
所以EODB ，則EOBD為平行四邊形， ED∥OB
∵ AB = BC，∴ BO⊥AC ，又面ABC⊥面ACC1A1，BO面ABC ，故BO⊥面ACC1A1
∴ ED⊥面ACC1A1，ED⊥AC1，ED⊥CC1 ∴ ED⊥BB1
ED為異面直線AC1與BB1的公垂線
（Ⅱ）聯(lián)結(jié)A1E，由AA1 = AC = AB可知，A1ACC1為正方形，
∴ A1E ⊥AC1 由ED⊥面A1ACC1和ED面ADC1知面ADC1⊥面A1ACC1ED⊥A1E
則A1E⊥面ADE。 過E向AD作垂線，垂足為F，連結(jié)A1F，
由三垂線定理知∠A1FE為二面角A1―AD―C1的平面角。
不妨設(shè)AA1 = 2 ，則AC = 2 ，AB = ， ED = OB = 1 ，
EF =
所以二面角A1―AD―C1為60°
19．.解：(1) ∵BC∥B1C1, ∴∠ACB為異面直線B1C1與AC所成角(或它的補角)
∵∠ABC=90°, AB=BC=1, ∴∠ACB=45°, ∴異面直線B1C1與AC所成角為45°.
(2) ∵AA1⊥平面ABC,∠ACA1是A1C與平面ABC所成的角, ∠ACA =45°.
∵∠ABC=90°, AB=BC=1, AC=,∴AA1=.
20．⑴由三垂線定理可得，A1C⊥BD，A1C⊥BEA1C⊥平面BDE
⑵以DA、DC、DD1分別為x、y、z軸，建立坐標系，則，
，∴，
∴
設(shè)A1C平面BDE＝K，由⑴可知，∠A1BK為A1B與平面BDE所成角，
∴
21．⑴在平面ABB1A1中，作B1D⊥AB，則B1D⊥平面ABC
∴∠B1BD為B1B與平面ABC所成角，∴∠B1BD＝60?
又∵△ABB1和△ABC均為正三角形，∴D為AB中點，∴CD⊥AB，∴CB1⊥AB
⑵易得
⑶過D作DE⊥AB1，連CE，易證：CD⊥平面ABB1A1
由三垂線定理知：CE⊥AB1，∴∠CED為二面角C－AB1－B的平面角。
在Rt△CDE中，tan∠CED＝2，∴二面角C－AB1－B的大小為arctan2
22．解：(Ⅰ)∵AD與兩圓所在的平面均垂直,
∴AD⊥AB, AD⊥AF,故∠BAD是二面角B―AD―F的平面角，
依題意可知，ABCD是正方形，所以∠BAD＝450.
即二面角B―AD―F的大小為450；
(Ⅱ)以O(shè)為原點，BC、AF、OE所在直線為坐標軸，建立空間直角坐標系（如圖所示），則O（0，0，0），A（0，，0），B（，0，0）,D（0，，8），E（0，0，8），F(xiàn)（0，，0）
所以，
設(shè)異面直線BD與EF所成角為，則
直線BD與EF所成的角為
本文來自：逍遙右腦記憶 http://yy-art.cn/gaozhong/155979.html
相關(guān)閱讀：數(shù)學(xué)的美