二、數(shù)學內部的矛盾

 

整個數(shù)學的發(fā)展史就是一部矛盾斗爭的歷史。數(shù)學內部的矛盾是推動數(shù)學長河滾滾向前的主要力量之一。

 

數(shù)學以現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關系作為自己研究的對家，為了在純粹形態(tài)上研究這些形式和關系，就必須和現(xiàn)實世界的內容割裂開來。但是，離開內容的形式和關系是不存在的。因此，數(shù)學按它的本質企圖實現(xiàn)這種割裂，是企圖實現(xiàn)一種不可能的事情。這是在數(shù)學本質中的根本矛盾，它是認識的普遍矛盾在數(shù)學方面的特殊表現(xiàn)。在越來越接近現(xiàn)實的各個認識階段上，不斷解決和重復上述矛盾，數(shù)學就不斷地前進、發(fā)展，由簡單到復雜，由低級向高級。

 

人類最早認識的是自然數(shù)，引進零和負數(shù)就經(jīng)過了斗爭：要么引進這些數(shù)，要么大量的數(shù)的減法就行不通。同樣，引進分數(shù)使乘法有了逆運算―除法，否則許多實際問題也不能解決。

 

但是接著又出現(xiàn)了這樣的問題：是否所有的量都能夠用有理數(shù)來表示？發(fā)現(xiàn)無理數(shù)并最終使得第一次數(shù)學危機的解決，促使了邏輯的發(fā)展和幾何學的系統(tǒng)化。方程解的問題導致虛數(shù)的出現(xiàn)，虛數(shù)從一開始就被認為是“不實的”，可是這種不實的數(shù)卻解決了實數(shù)所不能解決的問題，從而為自己爭得了存在的權利。數(shù)學就是這樣在矛盾斗爭中發(fā)展的。幾何學從歐幾里得幾何的一統(tǒng)天下發(fā)展到多種幾何，也是如此。

 

在19世紀發(fā)現(xiàn)了許多用傳統(tǒng)方法不能解決的問題，如五次及五次以上代數(shù)方程不能通過加、減、乘、除、開方求出根來；古希臘幾何三大問題不能通過圓規(guī)和直尺作圖來解決等等。這些否定的結果表明了傳統(tǒng)方法的局限性，也反映了人類認識的深入。

 

這些發(fā)現(xiàn)給有關學科帶來了極大的沖擊，幾乎完全改變了它們的方向。例如，代數(shù)學從此以后向抽象代數(shù)的方面發(fā)展，而求解方程的根也變成了分析及計算數(shù)學的課題。在第三次數(shù)學危機中，這種情況也多次出現(xiàn)，尤其是包含整數(shù)算術在內的形式系統(tǒng)的不完全性、許多問題的不可判定性，都大大提高了人們的認識，也促進了數(shù)理邏輯的大發(fā)展。

 

由無窮小量的矛盾引起的第二次數(shù)學危機，反映了數(shù)學內部的有限與無窮的矛盾。第三次數(shù)學危機涉及集合論和數(shù)理邏輯，但它一開始就牽涉到無窮集合，而現(xiàn)代數(shù)學脫離無窮集合就寸步難行。一種極端的觀點是只考慮有限集合或至多是可數(shù)的集合，不過這樣一來絕大部分數(shù)學將不復存在。

 

即使這些有限數(shù)學的內容也有許多要涉及無窮的方法，有很多的數(shù)學證明都要用有限的步驟解決涉及無窮的問題。借助于計算機完成的四色定理的證明，首先也要把無窮多種可能的地圖歸結成有限的情形。對于無窮，計算機也是無能為力的�？梢姅�(shù)學永遠回避不了有限與無窮這對矛盾，可以說它是數(shù)學矛盾的根源之一。

 

數(shù)學中也一直貫穿著應用上清楚與邏輯上嚴格的矛盾。在這方面，比較注意實用的數(shù)學家盲目應用，而比較注意嚴密的數(shù)學家則提出批評。只有這兩方面取得協(xié)調一致，矛盾才能解決。例如，算符演算及δ函數(shù)，開始是形式演算，任意應用，直到施瓦爾茲才奠定廣義函數(shù)論的嚴整系統(tǒng)。微積分的應用與極限論的建立更是眾所周知的。

 

    在數(shù)學史中，一直存在著經(jīng)常起作用的兩種重要趨勢：一種是學科不斷分化的趨勢，另一種是學科不斷綜合的趨勢。這兩種矛盾的趨勢的辨證運動，表現(xiàn)為一個否定之否定的過程。

自然界作為一個無限多樣性的統(tǒng)一整體，通過感覺和知覺進入人類的意識。古時候，數(shù)學是在總體的數(shù)和形的關系上把握自然界的，算術、代數(shù)、幾何沒有彼此分開，任何一本數(shù)學名著都包括了這三方面的內容，并且把它們溶化在一起。因此，古代的數(shù)學本質上是一種感性直觀的關于數(shù)和理的綜合的科學。

 

從17世紀產生解析幾何和微積分以后，學科分化的趨勢一直居于主導地位。單一的未經(jīng)分化的學科向許多專門分支學科發(fā)展，每一門學科所研究的又都是具體完整的數(shù)學中數(shù)與形的某一個方面。這種不斷分化，到19世紀下半葉達到了相當精細的程度，代數(shù)、幾何、分析等學科已經(jīng)形成了各自不同的研究領域，特別是分析領域的發(fā)展更是蓬蓬勃勃。每個學科都可以互不聯(lián)系地單獨向前發(fā)展，各學科在理論、語言、方法等方面可以互不相通，根本談不上統(tǒng)一的數(shù)學的圖景。

 

從1872年克萊因用“群”的觀點統(tǒng)一各種幾何開始，到康托爾建立集合論和公理化運動，越來越分化的數(shù)學走向綜合的趨勢逐漸明顯。到20世紀初，數(shù)學學科的分化和綜合都明顯加快了。從20年代起，特別是第二次世界大戰(zhàn)后，綜合的趨勢已占主導地位。學科的繼續(xù)分化實際上已經(jīng)是綜合趨勢的一種表現(xiàn)形式，因為新學科的不斷出現(xiàn)正在越來越消除各學科之間的傳統(tǒng)界限。對于數(shù)和形的深入認識，更多地采用多學科的方法的綜合認識形式。因此，各門學科更加緊密地聯(lián)系起來�，F(xiàn)代數(shù)學發(fā)展的辨證法就是這樣的，越是理解了整體的各個方面，就越是接近于綜合地把握整體。

 

    也許將來會出現(xiàn)一種公認的新觀點，把目前的數(shù)學統(tǒng)一起來。但是，這種統(tǒng)一只是暫時的、相對的。隨著生產和科技的發(fā)展，又會產生新的問題，形成新的分支，促進新的分化。數(shù)學將在這種不斷的分化和綜合中不斷前進。

本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/gaozhong/203305.html

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