一、選擇題
1.如圖，正方形邊長為10，且四個小正方形的對稱中心在正方形的頂點上，小正方形的各邊與各邊平行或垂直，若小正方形邊長為，陰影部分面積為，則能反映與的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是( ).
考查目的：考查二次函數(shù)的圖象及建模能力.
答案：D.
解析：由題意知，陰影部分的面積和恰好等于一個小正方形的面積，∴函數(shù)的解析式為
，∴符合題意的圖象為D.
2.今有一組實驗數(shù)據(jù)如下：
1.99
3.0
4.0
5.1
6.12
1.5
4.04
7.5
12
18.01
現(xiàn)準(zhǔn)備用下列函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)滿足的規(guī)律，其中最接近的一個是( ).
A. B. C. D.
考查目的：考查幾類函數(shù)的增長速度及函數(shù)的擬合.
答案：C.
解析：畫出數(shù)據(jù)的散點圖易知，答案應(yīng)選C.
3.下列函數(shù)中，隨的增大而增長速度最快的是( ).
A. B. C. D.
考查目的：考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等幾類不同函數(shù)的增長速度.
答案：A.
解析：∵在(0，＋∞)上，總存在一個，使得當(dāng)時，有，∴排除B、C.又∵，∴的增長速度大于的增長速度，故選擇A.
二、填空題
4.三個變量，，隨變量的變化情況如下表：
1.00
3.00
5.00
7.00
9.00
11.00
5
135
625
1 715
3 645
6 655
5
29
245
2 189
19 685
177 149
5.00
6.10
6.61
6.95
7.20
7.40
其中呈對數(shù)函數(shù)型變化的變量是 ，呈指數(shù)函數(shù)型變化的變量是 ，呈冪函數(shù)型變化的變量是 .
考查目的：考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等幾類不同函數(shù)的增長速度.
答案：，，.
解析:由表格及指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)三種函數(shù)增長速度不同的特點可知，答案分別為，，.
5.一塊形狀為直角三角形的鐵皮，兩直角邊長分別為40cm、60cm，現(xiàn)要將它剪成一個矩形，并以此三角形的直角為矩形的一個角，則矩形的最大面積是 .
考查目的：考查二次函數(shù)的建模和實際應(yīng)用能力.
答案：600.
解析：設(shè)直角邊長分別為時，對應(yīng)的矩形邊長分別為，則，解得，∴矩形的面積，∴當(dāng)時，矩形的面積最大，最大面積().
6.計算機(jī)的價格大約每3年下降，那么今年花8100元買的一臺計算機(jī)，9年后的價格大約是 元.
考查目的：考查指數(shù)的運(yùn)算和指數(shù)函數(shù)的實際應(yīng)用能力.
答案：300.
解析：設(shè)計算機(jī)的價格平均每年下降的百分?jǐn)?shù)為，由題意得，解得，故9年后的價格大約為(元).
三、解答題
7.醫(yī)學(xué)上為研究傳染病傳播中病毒細(xì)胞的發(fā)展規(guī)律及其預(yù)防，將病毒細(xì)胞注入一只小白鼠體內(nèi)進(jìn)行實驗.經(jīng)檢驗，病毒細(xì)胞的總數(shù)與天數(shù)的數(shù)據(jù)記錄如下表．
天數(shù)
病毒細(xì)胞個數(shù)
1
1
2
2
3
4
4
8
5
16
6
32
已知該種病毒細(xì)胞在小白鼠體內(nèi)的個數(shù)超過的時候，小白鼠將會死亡.如注射某種藥物，可殺死其體內(nèi)該病毒細(xì)胞的98%.
⑴為了使小白鼠在實驗過程中不死亡，第一次最遲應(yīng)在何時注射該種藥物？
⑵第二次最遲應(yīng)在何時注射該種藥物，才能維持小白鼠的生命？(答案精確到天，已知：lg2=0.3010)
考查目的：考查函數(shù)建模及運(yùn)用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)解決實際問題的能力.
答案：⑴27；⑵33.
解析：⑴由題意知，病毒細(xì)胞個數(shù)關(guān)于天數(shù)的函數(shù)關(guān)系式為，則，兩邊取常用對數(shù)得，得，即第一次最遲應(yīng)在第27天注射該種藥物.
⑵由題意知，注射藥物后小白鼠體內(nèi)剩余的病毒細(xì)胞個數(shù)為，再經(jīng)過天后小白鼠體內(nèi)病毒細(xì)胞個數(shù)為.由題意得，，兩邊取常用對數(shù)得，，解得，即再經(jīng)過6天必須注射藥物，即第二次應(yīng)在第33天注射藥物.
8.據(jù)氣象中心觀察和預(yù)測：發(fā)生于M地的沙塵暴一直向正南方向移動，其移動速度(km/h)與時間(h)的函數(shù)圖象如圖所示.過線段OC上一點T(，0)作橫軸的垂線，梯形OABC在直線左側(cè)部分的面積即為(h)內(nèi)沙塵暴所經(jīng)過的路程(km).
⑴當(dāng)時，求的值；
⑵將隨變化的規(guī)律用數(shù)學(xué)關(guān)系式表示出來；
⑶若N城位于M地正南方向，且距M地650km，試判斷這場沙塵暴是否會侵襲到N城，如果會，在沙塵暴發(fā)生后多長時間它將侵襲到N城？如果不會，請說明理由．
考查目的：考查分段函數(shù)和一次函數(shù)、二次函數(shù)的應(yīng)用，以及函數(shù)建模能力和運(yùn)算能力等.
答案：⑴24；⑵；⑶沙塵暴發(fā)生30h后將侵襲到N城.
解析：⑴由圖象可知：當(dāng)時，，∴.
⑵當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
當(dāng)時，.
綜上可知，.
⑶∵當(dāng)時，；當(dāng)時，，∴當(dāng)時，令，解得，.∵，∴，即沙塵暴發(fā)生30h后將侵襲到N城.
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