在1972年西方的報(bào)章報(bào)導(dǎo)了中國(guó)利用一種數(shù)學(xué)原理，對(duì)生產(chǎn)和科學(xué)研究中不同的試驗(yàn)項(xiàng)目，合理地安排試驗(yàn)點(diǎn)，減少試驗(yàn)的盲目性，比較快和準(zhǔn)確的找到最好結(jié)果的一種試驗(yàn)方法。因此使到生產(chǎn)建設(shè)可以提高速度完成，而且質(zhì)量?jī)?yōu)良，減少消耗浪費(fèi)。消息還說(shuō)隨著這種方法的推廣，預(yù)見(jiàn)中國(guó)的生產(chǎn)步伐會(huì)更加迅速前進(jìn)。
過(guò)了不久，我們看到了中國(guó)拍攝的時(shí)事紀(jì)錄片，有關(guān)中國(guó)數(shù)學(xué)家華羅庚教授在工人當(dāng)中推廣這種方法──優(yōu)選法的情形。我們看到他怎么樣用淺白的語(yǔ)言和生動(dòng)的例子來(lái)解釋這個(gè)方法，也看到工人們?cè)鯓影堰@理論方法用到實(shí)際的生產(chǎn)實(shí)踐上，而獲得優(yōu)良的成果的情形。
今天我們要談的是這種方法常要用到的一個(gè)數(shù)值1.618的來(lái)源以及它的一些故事。
古代希臘的“黃金分割”
在差不多二千年前希臘的數(shù)學(xué)家考慮了一個(gè)幾何問(wèn)題，這問(wèn)題可以這樣說(shuō)：給出任何一個(gè)線段AB，我們要在這上面找出一點(diǎn)，這一點(diǎn)把這線段分成長(zhǎng)短二部份。要求的是全線段的長(zhǎng)和較長(zhǎng)部份的比值是等于較長(zhǎng)部分和較短部份的長(zhǎng)的比值。
如果我們假設(shè)較長(zhǎng)的部份是AC，較短的部份是CB，我們
,由于AB=AC+CB，
所以我們看到：
現(xiàn)在我們得到了一個(gè)代數(shù)方程，我們把這個(gè)方程化簡(jiǎn)它變成了x2-x-1=0
到1.6180339…。
優(yōu)選法用的數(shù)是它的小數(shù)點(diǎn)后的數(shù)。一般我們?cè)趹?yīng)用時(shí)只取準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后三位數(shù)，因此我們用1.618。這個(gè)數(shù)以往的數(shù)學(xué)家稱(chēng)為“黃金數(shù)”（Golden number）。今天我們來(lái)看這個(gè)名稱(chēng)真是給的恰到好處，這個(gè)數(shù)真是一個(gè)寶，它為國(guó)家創(chuàng)造了多少財(cái)富！
希臘數(shù)學(xué)家把這個(gè)幾何問(wèn)題里的點(diǎn)C稱(chēng)為把線段黃金分割（Golden section）。
我們現(xiàn)在看要怎么樣用直尺和圓規(guī)找出這一點(diǎn)C來(lái)？
我們過(guò)B點(diǎn)作一條直線垂直AB，然后在這直線上取線段BD，使得BD的長(zhǎng)是AB的一半，然后我們聯(lián)結(jié)AD。
我們?cè)僖訢為圓心，DB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)一個(gè)弧，這弧交AD于E點(diǎn)，然后再以A為圓心，AE的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，這弧交AB于C點(diǎn)，這C點(diǎn)就是我們所要找的將AB黃金分割的點(diǎn)。（見(jiàn)圖一）
我們這樣作圖為什么是對(duì)的呢？
現(xiàn)在假定AB的長(zhǎng)是2個(gè)單位，那么由作圖我們知道BD的長(zhǎng)是1個(gè)
現(xiàn)在我們看看AB和AC的比值是什么？
這就是我們剛才求到的黃金數(shù)了。
歐洲中世紀(jì)的物理學(xué)家和天文學(xué)家開(kāi)普勒（J．Kepler1571—1630），曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“幾何學(xué)里有二個(gè)寶庫(kù)：一個(gè)是畢達(dá)哥拉斯定理（我們稱(chēng)為“商高定理”）；另外一個(gè)就是黃金分割。前面那個(gè)可以比著金礦，而后面那一個(gè)可以比著珍貴的鉆石礦。”
在歐幾里得的《幾何原本》一書(shū)里，他就考慮到了這樣的問(wèn)題：“作一個(gè)三角形，使得二腰相等，而其底角是頂角的二倍�！痹谶@里就用到了黃金分割。
如果我們作一個(gè)圓內(nèi)接正十多邊形，那么那個(gè)邊和半徑的比又是黃金數(shù)！
有一次我在聯(lián)合國(guó)會(huì)場(chǎng)外看那世界各國(guó)的國(guó)旗迎風(fēng)招展，我發(fā)現(xiàn)許多國(guó)家的國(guó)旗是有五角星出現(xiàn)，當(dāng)時(shí)我心里想一個(gè)問(wèn)題：為什么這么奇怪，許多國(guó)家都要把五角星弄進(jìn)他們的旗幟上？可惜到現(xiàn)在我還找不到一個(gè)原因。
讀者可能沒(méi)有想到在五角星里就有黃金分割的現(xiàn)象存在！通常我們是作一個(gè)正五邊形后，然后連每個(gè)頂點(diǎn)就得到一個(gè)五角星出來(lái)（見(jiàn)圖二）。
讀者如有時(shí)間可以試試證明在圖二里：AE和AD的比值是黃金數(shù)！AB和AC的比值又是個(gè)黃金數(shù)！即B點(diǎn)把AC黃金分割，C點(diǎn)又把BD黃金分割！
這樣看來(lái)，你在畫(huà)五角星時(shí)候就已經(jīng)不知不覺(jué)和黃金數(shù)打交道了。
古時(shí)候的希臘人認(rèn)為一個(gè)人有完美的（或理想的）體型是肚臍那一點(diǎn)把頭到腳“黃金分割”。因此一些藝術(shù)家畫(huà)的人像以及古代雕塑像，大多數(shù)是以這個(gè)為比例。
而且在古時(shí)候的一些神廟，在建筑時(shí)高和闊也是按黃金數(shù)的比來(lái)建立，他們認(rèn)為這樣的長(zhǎng)方形看來(lái)是較美觀。在現(xiàn)在希臘的雅典城里還遺留下一座公元前5世紀(jì)時(shí)的神殿的一部份。這座2000多年前的建筑今天向我們證明了希臘人是怎樣的對(duì)這個(gè)數(shù)重視。
兔子生兔子，一對(duì)一年生多少
和這個(gè)黃金分割有密切關(guān)系的是一種數(shù)列，這數(shù)列是這樣：1，2，3，5，8，13，21，…。在數(shù)學(xué)上人們稱(chēng)它為“斐波那契數(shù)列”（Fibonacci Sequence）。
這個(gè)數(shù)列在數(shù)學(xué)中是最奇特和最常出現(xiàn)的數(shù)列，美國(guó)數(shù)學(xué)家出版了一份專(zhuān)門(mén)對(duì)它研究的季刊稱(chēng)為《斐波那契季刊》（Fi-bonacci Quarterly），每三月出一次里面就是登載關(guān)于這數(shù)列最近新發(fā)現(xiàn)的性質(zhì)。
斐波那契是意大利13世紀(jì)的數(shù)學(xué)家，全名是李納都?斐波那契（Leonardo Fibonacci 1175—？），他生在比薩。從10世紀(jì)到13世紀(jì)以來(lái)，意大利的商人是聞名全歐，他們非�；钴S的在地中海沿岸活動(dòng)，把東方的奇珍異寶包括中國(guó)的絲綢從波斯人或阿拉伯人手中轉(zhuǎn)賣(mài)給歐洲各國(guó)的封建王庭和貴族。
斐波那契的父親是在北非的阿爾及利亞地方的一個(gè)海港當(dāng)海關(guān)征稅員，他雖然是一個(gè)基督教徒，但為了做生意的需要，他請(qǐng)了一個(gè)回教徒教師來(lái)教他的兒子，特別學(xué)習(xí)當(dāng)時(shí)較羅馬記數(shù)法還先進(jìn)的“印度──阿拉伯?dāng)?shù)字記數(shù)法”以及東方的乘除計(jì)算法。因此斐波那契小時(shí)就接觸到了東方的數(shù)學(xué)。
他長(zhǎng)大后也成了一個(gè)商人，為了做生意他走過(guò)了埃及、西西里、希臘和敘利亞，也學(xué)會(huì)了阿拉伯文，而且對(duì)東方數(shù)學(xué)注意起來(lái)。在1202年他寫(xiě)了一本數(shù)學(xué)書(shū)，書(shū)名叫《Liber Abaci》，在這書(shū)里他第一個(gè)介紹印度──阿拉伯記數(shù)法，里面也有一些代數(shù)和幾何問(wèn)題。他的著作深深受阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家如Al-Khowarizmi及Abu Kamil的影響。
在這書(shū)里有一個(gè)很出名的“兔子生兔子問(wèn)題”：有一個(gè)人把一對(duì)兔子放在四面圍著的地方，想要知道一年后有多少對(duì)兔子生出來(lái)。假定每個(gè)月一對(duì)兔子生下另外一對(duì)。而這新的一對(duì)在二個(gè)月后就生下另外一對(duì)。
這是一個(gè)算術(shù)問(wèn)題，但是卻不能用普通的算術(shù)公式算出來(lái)。讀者可以用符號(hào)A表示一對(duì)成長(zhǎng)的兔子，B表示一對(duì)出生的兔子，我們用底下的圖來(lái)表示兔子繁殖的情形：這里實(shí)箭頭表示照樣成長(zhǎng)，虛箭頭表示生下小兔子：
讀者知道這個(gè)月的繁殖情況，下個(gè)月的繁殖情況可以很容易寫(xiě)出來(lái)，只要把這個(gè)月里的A改寫(xiě)成AB（表示A還加上一對(duì)新生的兔子），而這個(gè)月的B改寫(xiě)成A（表示新生小兔已成長(zhǎng)為大兔子）。
請(qǐng)讀者自己試試寫(xiě)到第十二月的情形，然后再填寫(xiě)下一個(gè)表：
因此在第二年的一月一日應(yīng)該有144對(duì)新生小兔子，所以總共有兔子233+144=377對(duì)。
這個(gè)結(jié)果實(shí)在令人吃驚，在你最初看到斐波那契的問(wèn)題時(shí)，你估計(jì)兔子數(shù)目字最多不會(huì)超過(guò)五十對(duì)，沒(méi)有想到兔子是繁殖這么的多。這只不過(guò)是一個(gè)假設(shè)問(wèn)題，如果兔子真的是以這樣的速率生育，我們的地球可能不是“人吃兔子”而是“兔子吃人”了！
斐波那契數(shù)列的性質(zhì)
數(shù)學(xué)家后來(lái)就把這數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…等等的數(shù)列稱(chēng)為斐波那契數(shù)列以紀(jì)念這個(gè)最先得到這個(gè)數(shù)列的數(shù)學(xué)家，而且用Fn來(lái)表示這數(shù)列的第n項(xiàng)。
讀者可能早已注意到這數(shù)列有這樣的性質(zhì)：在1之后的每一個(gè)項(xiàng)是前面二項(xiàng)的和。即F1=1 F2=1，而Fn=Fn-1+Fn-2，當(dāng)n大于或等于3。
對(duì)于每個(gè)n大于等于1，我們?cè)趉2=k+1二邊同時(shí)乘上kn，我們得到等式kn+2=kn+1+kn，同樣我們也有等式（k★）n+2=（k★）n+1+（k★）n。
由這二個(gè)等式，讀者容易獲得下面的等式：
則我們得到
而對(duì)于n≥3，我們有Fn=Fn-1+Fn-2，因此我們的數(shù)列F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3，F(xiàn)4，…事實(shí)上就是斐波那契數(shù)列。我們有了斐波那契數(shù)列的一般項(xiàng)用黃金數(shù)的表示式：F2，F(xiàn)3，F(xiàn)4，
這個(gè)公式是在一百多年前由法國(guó)數(shù)學(xué)家敏聶（JacquesPhillipe Marie Binet 1786—1856）發(fā)現(xiàn)，所以稱(chēng)為敏聶公式。這公式在研究斐波那契
數(shù)列的性質(zhì)時(shí)很重要。我們現(xiàn)在看這公式的一些奇異現(xiàn)象，我們知
數(shù)表示這真是奇特。另外方面，當(dāng)我們用敏聶公式來(lái)計(jì)算一些斐波那契
無(wú)理數(shù)（-k★）可以表示成一個(gè)最簡(jiǎn)單的無(wú)窮連分?jǐn)?shù)：
斐波那契數(shù)又和我們以前介紹過(guò)的賈憲三角形有密切的關(guān)系。讀者請(qǐng)參看（圖四），在賈憲三角形的第n列（在這圖里取n=10），然后由1為起點(diǎn)畫(huà)一條線和水平方向成45度的角，這條線上所經(jīng)過(guò)的數(shù)的和就是斐波那契數(shù)列的第n項(xiàng)。
例如在圖四里，我們有F10=1+8+21+20+5=55
我們現(xiàn)在定義一個(gè)整數(shù)函數(shù)[]：R（實(shí)數(shù)集合）→Z（整數(shù)集合），對(duì)于任何實(shí)數(shù)x，[x]是最大的整數(shù)不超數(shù)學(xué)上很有用，讀者以后會(huì)再遇到它。
我們介紹這個(gè)函數(shù)的目的是要用二項(xiàng)式系數(shù)來(lái)表示斐波那契數(shù)，對(duì)于任意斐波那契數(shù)Fn+1我們有公式
例如讀者在賈憲三角形的第五列由1為起點(diǎn)畫(huà)一條和水平方向成45度的角的線，我們看到它經(jīng)過(guò)1，3，1，剛好就是
斐波那契數(shù)列有一個(gè)很奇怪的性質(zhì)，很早就引起人們注意：你拿一個(gè)固定的正整數(shù)（比如說(shuō)4），然后以這數(shù)來(lái)除所有的斐波那契數(shù)，把每個(gè)斐波那契數(shù)的余數(shù)寫(xiě)下來(lái)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)到這些余數(shù)組成的數(shù)列會(huì)有周期（Period）現(xiàn)象出現(xiàn)。（對(duì)4來(lái)除的情形，你獲得1，1，2，3，1，1，1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，…等等。）
在19世紀(jì)時(shí)法國(guó)一個(gè)數(shù)學(xué)家魯卡斯（E．Lucas）在研究數(shù)論的素?cái)?shù)分布問(wèn)題時(shí)發(fā)現(xiàn)和斐波那契數(shù)有些關(guān)系，而他又發(fā)現(xiàn)一種新的數(shù)列：1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，199，322，521等等。這數(shù)列和斐波那契數(shù)列有相同的性質(zhì)，第二項(xiàng)以后的項(xiàng)是前面二項(xiàng)的和組成。數(shù)學(xué)家們稱(chēng)這數(shù)列為魯卡斯數(shù)列。
魯卡斯數(shù)和斐波那契數(shù)有密切的關(guān)系，例如對(duì)于任何的整數(shù)n，我們用Ln表示第n個(gè)魯卡斯數(shù)，那么我們恒有Ln×Fn=F2n。而魯卡斯數(shù)的一般項(xiàng)也有類(lèi)似敏聶公式的公式。這里我們留下不考慮，請(qǐng)對(duì)數(shù)學(xué)有興趣的讀者自己試找找看。
生物學(xué)和物理學(xué)上的斐波那契數(shù)
斐波那契數(shù)列并不是單純出現(xiàn)在“生兔子問(wèn)題”。大自然里一些花草長(zhǎng)出的枝條也會(huì)出現(xiàn)斐波那契數(shù)，有一種叫著“噴嚏麥”（Sneezewort的直譯，可能會(huì)像魯迅指出的鬧“牛奶路”Mikyway的笑話，希望懂植物學(xué)的讀者賜以正確的中文名）的花草，新的一枝從葉腋長(zhǎng)出，而另外的新枝又從舊枝長(zhǎng)出來(lái)，老枝條和新枝條的數(shù)目的和就像那兔子問(wèn)題一樣。（看圖五）
植物學(xué)家對(duì)于植物的葉子生長(zhǎng)分布的情形發(fā)生興趣，他們發(fā)現(xiàn)對(duì)同一類(lèi)植物，它們的“葉分歧”（Leaf divergence）是一樣的。從一片葉看起，你看在它上面要多少葉才剛好有一片葉長(zhǎng)在和它相對(duì)同樣位置，這數(shù)目寫(xiě)為p，另外看這些葉子是對(duì)莖來(lái)講轉(zhuǎn)了多
植物學(xué)家發(fā)現(xiàn)植物的葉分歧是和斐波那契數(shù)有關(guān)系。普通的草和菩
隔，它們能得到陽(yáng)光照射進(jìn)行光合作用，而且呼吸的較好。這真是奇妙
在物理上斐波那契數(shù)也出現(xiàn)。假定我們現(xiàn)在有一些氫氣原子，一個(gè)電子最初所處的位置是最低的能級(jí)（Ground lever of energy），屬于穩(wěn)定狀態(tài)。它能獲得一個(gè)能量子或二個(gè)能量子（Quanta of energy）而使它上升到第一能級(jí)或者第二能級(jí)。但是在第一級(jí)的電子如失掉一個(gè)能量子就會(huì)下降到最低能級(jí)，它如獲得一個(gè)能量子就會(huì)上升到第二級(jí)來(lái)。
現(xiàn)在研究氣體吸收和放出能量的情形，假定最初電子是處在穩(wěn)定狀態(tài)即零能級(jí)，然后讓它吸收能量，這電子可以跳到第1能級(jí)或第2能級(jí)。然后再讓這氣體放射能量，這時(shí)電子在1級(jí)能級(jí)的就要下降到0能級(jí)，而在第2能級(jí)的可能下降到0能級(jí)或者第1能級(jí)的位置去。
我們?cè)趫D六列出：吸收、放出、吸收、放出、吸收、放出這六個(gè)過(guò)程中電子能級(jí)可能的變化情形。讀者可以看到電子所處的狀態(tài)可能的情形是：1、2、3、5、8、13、21…種。這是斐波那契數(shù)列的一部份。而電子所處能級(jí)的或然率在這幾種情況下又是和斐波那契數(shù)有關(guān)！
本文來(lái)自：逍遙右腦記憶 http://yy-art.cn/gaozhong/211498.html
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