摘　要：函數(shù)概念教學(xué)是高中教學(xué)的難點(diǎn)，基于APOS理論的教學(xué)設(shè)計有利于學(xué)生形成函數(shù)概念，并在同化和順應(yīng)基礎(chǔ)上形成函數(shù)概念圖式。

 

關(guān)鍵詞：APOS；函數(shù)；概念

 

一、 概念同化教學(xué)與APOS 理論

 

高中新課程實(shí)行已經(jīng)有四年多了，然而目前，相當(dāng)多教師仍然采取傳統(tǒng)的概念同化教學(xué)方式，其教學(xué)步驟為[1]：（1）揭示概念的本質(zhì)屬性，給出定義、名稱和符號；（2）對概念進(jìn)行特殊分類，揭示概念的外延；（3）鞏固概念，利用概念的定義進(jìn)行簡單的識別活動；（4）概念的應(yīng)用與聯(lián)系，用概念解決問題，并建立所學(xué)概念與其它概念間的聯(lián)系。

 

這種教學(xué)方式有其精妙之處，但是過快的抽象過程只能有一少部分學(xué)生進(jìn)行有意義的學(xué)習(xí)，難以引發(fā)全體學(xué)生的學(xué)習(xí)活動，大部分學(xué)生理解不了數(shù)學(xué)概念，只能靠死記硬背。事實(shí)上，概念的同化教學(xué)對幫助學(xué)生構(gòu)建良好的概念圖式、原理圖式，作用十分有限。因?yàn)樾睦硪饬x是不能傳授的，必需由學(xué)生自我構(gòu)建，不能由教師代替學(xué)生操作、思考、體驗(yàn)。

 

美國數(shù)學(xué)教育學(xué)家 Ed.Dubinsky認(rèn)為：一個人是不可能直接學(xué)習(xí)到數(shù)學(xué)概念的，更確切地說,人們透過心智結(jié)構(gòu)（mental structure）使所學(xué)的數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生意義。如果一個人對于給予的數(shù)學(xué)概念擁有適當(dāng)?shù)男闹墙Y(jié)構(gòu)，那么他幾乎自然就學(xué)到了這個概念。反之，如果他無法建立起適當(dāng)?shù)男闹墙Y(jié)構(gòu)，那么他學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念幾乎是不可能的。因此，Ed Dubinsky認(rèn)為，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念就是要建構(gòu)心智結(jié)構(gòu)，這一建構(gòu)過程要經(jīng)歷以下4個階段[2]：

 

 

二、基于APOS理論的函數(shù)教學(xué)設(shè)計

 

從數(shù)學(xué)教育的研究內(nèi)容來看，關(guān)于代數(shù)內(nèi)容已經(jīng)逐漸從以解方程為中心轉(zhuǎn)到以研究函數(shù)為中心了[3]。函數(shù)概念已經(jīng)成為中學(xué)數(shù)學(xué)中最為重要的概念之一。 函數(shù)概念本身不好理解。國外關(guān)于函數(shù)教學(xué)的研究表明了這一點(diǎn)——斯法德調(diào)查了60 名16 歲和18 歲的學(xué)生，結(jié)論是大多數(shù)學(xué)生認(rèn)為函數(shù)的概念是個過程而不是靜止的結(jié)構(gòu)。中國學(xué)者也進(jìn)行了相關(guān)的研究，見文獻(xiàn)[4].

 

可見，函數(shù)確實(shí)成了中學(xué)數(shù)學(xué)中最難教、最難學(xué)的概念之一。函數(shù)的教學(xué)在我國設(shè)置成螺旋式的教學(xué)，初中是用運(yùn)動變化的觀點(diǎn)對函數(shù)進(jìn)行定義，雖然這種定義較為直觀，但并未完全揭示出函數(shù)概念的本質(zhì)。例如，對于函數(shù)如果用運(yùn)動變化的觀點(diǎn)去看它，就不好解釋，顯得牽強(qiáng)。但如果用集合與對應(yīng)的觀點(diǎn)來解釋，就十分自然。筆者在浙江省義烏市第三中學(xué)陳向陽老師設(shè)計的《函數(shù)的概念》基礎(chǔ)上進(jìn)行思考，嘗試用APOS理論來設(shè)計高中函數(shù)概念的教學(xué)。

 

（一）創(chuàng)設(shè)問題情境，引出課題

 

教師提出問題1：

 

我們在初中學(xué)習(xí)過函數(shù)的概念，它是如何定義的呢？在初中已經(jīng)學(xué)過哪些函數(shù)？（在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上出示投影）

 

我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一些具體的函數(shù)，那么為什么還要學(xué)習(xí)函數(shù)呢？先請同學(xué)們思考下面的問題：

 

問題2：由上述定義你能判斷“y=1”是否表示一個函數(shù)？函數(shù)y=x與函數(shù)表示同一個函數(shù)嗎？

 

學(xué)生思考、討論后，教師點(diǎn)撥：僅用上述函數(shù)概念很難回答這些問題，我們需要從新的角度來認(rèn)識函數(shù)概念。

 

（二）生活實(shí)例演示，操作練習(xí)[活動（A）]

 

問題3：下圖中哪幾個圖像與下述三件事分別吻合得最好?請你為剩下的那個圖像寫出一件事．

 

 

(1)我離開家不久，發(fā)現(xiàn)自己把作業(yè)本可能忘在家里了，于是停下來找，沒找到，就返回家里找到了作業(yè)本再上學(xué)；

 

(2)我騎著車一路勻速行駛，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽擱了一些時間；

 

(3)我出發(fā)后，心情輕松，緩緩行進(jìn)，后來為了趕時間開始加速．

 

活動小結(jié)：每一個時刻，按照圖像，都有唯一確定的距離與它對應(yīng)。

 

（三）借助信息技術(shù)，討論歸納[過程（P）]

 

師：（實(shí)例1）演示動畫，用《幾何畫板》動態(tài)地顯示炮彈高度關(guān)于炮彈發(fā)射時間的函數(shù)。啟發(fā)學(xué)生觀察、思考、討論，嘗試用集合與對應(yīng)的語言描述變量之間的依賴關(guān)系：在的變化范圍內(nèi)，任給一個，按照給定的解析式，都有唯一的一個高度與之相對應(yīng)。

 

生：用計算器計算，然后用集合與對應(yīng)的語言描述變量之間的依賴關(guān)系。

 

師：（實(shí)例2）引導(dǎo)學(xué)生看圖，并啟發(fā)：在的變化范圍內(nèi)，任給一個t，按照給定的圖象，都有唯一的一個臭氧空洞面積與之相對應(yīng)。

 

生：動手測量，然后用集合與對應(yīng)的語言描述變量之間的依賴關(guān)系。

 

師生：（實(shí)例3）共同讀表，然后用集合與對應(yīng)的語言描述變量之間的依賴關(guān)系。

 

（四）從特殊到一般，引出函數(shù)概念[對象（O）]

 

問題4：分析、歸納以上三個實(shí)例，它們有什么共同特點(diǎn)？

 

生：分組討論三個實(shí)例的共同特點(diǎn)，然后歸納出函數(shù)定義，并在全班交流。

 

師生：由學(xué)生概括，教師補(bǔ)充，引導(dǎo)學(xué)生歸納出三個實(shí)例中變量之間的關(guān)系均可描述為：

 

對于數(shù)集中的每一個，按照某種對應(yīng)關(guān)系，在數(shù)集中都有唯一確定的與它對應(yīng)，記作

 

教師強(qiáng)調(diào)指出“”僅僅是數(shù)學(xué)符號。為了更好地理解函數(shù)符號的含義，教師提出下一個問題：

 

問題5：一定就是函數(shù)的解析式嗎？

 

師生：函數(shù)的解析式、圖象、表格都是表示函數(shù)的方法。

 

問題6：函數(shù)能否看做是兩個集合之間的一種對應(yīng)呢？如果能，怎樣給函數(shù)重新下一個定義呢？（在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上教師歸納總結(jié)）

 

補(bǔ)充練習(xí)：下列圖象中不能作為函數(shù)的圖象的是（   ）

 

 

例1．已知函數(shù)，

 

（1）求函數(shù)、的定義域；（2）求的值；（3）當(dāng)時，求的值。（4）求（5）求

 

讓學(xué)生思考，并提問個別學(xué)生。

 

師問：怎樣求函數(shù)的定義域？

 

追問：與有何區(qū)別與聯(lián)系？

 

點(diǎn)撥：表示當(dāng)自變量時函數(shù)的值，是一個常量，而是自變量的函數(shù)，它是一個變量，是的一個特殊值。

 

追問：如何求，又如何求一般情況的？

 

具體地，可以將2帶入函數(shù)求出具體值，再代入求出函數(shù)值。

 

對于抽象的，應(yīng)該將看成一個整體，帶入的解析式，求出的解析式。

 

問題7：函數(shù)的三要素是什么？

 

教師引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)：函數(shù)的三要素是定義域、值域及對應(yīng)法則。在函數(shù)的三要素中，當(dāng)其中的兩要素已確定時，則第三個要素也就隨之確定了。如當(dāng)函數(shù)的定義域，對應(yīng)法則已確定，則函數(shù)的值域也就確定了。

 

追問：如何判斷兩個函數(shù)是否相同？

 

以學(xué)生已解決的問題出發(fā)創(chuàng)設(shè)情境，引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，再次引發(fā)學(xué)生在構(gòu)建自身基礎(chǔ)上的“再創(chuàng)造”，并通過獨(dú)立思考后的討論，培養(yǎng)學(xué)生分析解決問題、用數(shù)學(xué)語言交流溝通的能力。

 

例2．下列函數(shù)中哪個與函數(shù)相等？

 

（1） （2）（3）  （4）

 

師問：判斷函數(shù)相等的依據(jù)是什么？

 

變式：若改（2）為呢？

 

思考：你能舉出一些函數(shù)相等的具體例子嗎？

 

啟發(fā)并引導(dǎo)學(xué)生思考、討論、交流，教師歸納總結(jié)出函數(shù)的要點(diǎn)：

 

1．函數(shù)是一種特殊的對應(yīng)——非空數(shù)集到非空數(shù)集的對應(yīng)；

 

2．函數(shù)的核心是對應(yīng)法則，通常用記號表示函數(shù)的對應(yīng)法則，在不同的函數(shù)中，的具體含義不一樣。函數(shù)記號表明，對于定義域的任意一個在“對應(yīng)法則”的作用下，即在中可得唯一的. 當(dāng)在定義域中取一個確定的，對應(yīng)的函數(shù)值即為.集合中并非所有的元素在定義域中都有元素和它對應(yīng)；值域；

 

3．函數(shù)符號的說明：

 

（1）“”即為“是的函數(shù)”的符號表示；（2）不一定能用解析式表示；（3）與是不同的，通常，表示函數(shù)當(dāng)時的函數(shù)值；（4）在同時研究兩個或多個函數(shù)時，常用不同符號表示不同的函數(shù)，除用符號外，還常用、、等符號來表示。

 

4．定義域是函數(shù)的重要組成部分，如與是不同的兩個函數(shù)。

 

（五）借助熟悉的函數(shù)，加深對函數(shù)概念的理解[圖式（S）]

 

問題8：集合A（A=R）到集合B（B=R）的對應(yīng)：: A→B，使得集合B中的元素與集合A中的元素對應(yīng)，如何表示這個函數(shù)？定義域和值域各是什么？函數(shù)呢？函數(shù)呢？

 

教師演示動畫，用《幾何畫板》顯示這三種函數(shù)的動態(tài)圖象，啟發(fā)學(xué)生觀察、分析，并請同學(xué)們思考之后填寫下表：

 

函數(shù)

一次函數(shù)

反比例函數(shù)

二次函數(shù)

對應(yīng)關(guān)系

 

 

 a＞0

 a＜0

定義域

 

 

 

 

值域

 

 

 

 

 

 

用函數(shù)的定義去解釋學(xué)過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)，使得對函數(shù)的描述性定義上升到集合與對應(yīng)語言刻畫的定義。同時利用信息技術(shù)工具畫出函數(shù)的圖象，是讓學(xué)生進(jìn)一步體會“數(shù)”與“形”結(jié)合在理解函數(shù)中的作用，更好地幫助理解上述函數(shù)的三個要素，從而加強(qiáng)學(xué)生對函數(shù)概念的理解，進(jìn)一步挖掘函數(shù)概念中集合與函數(shù)的聯(lián)系。明確定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系是決定函數(shù)的三要素，這是一個整體，以此更好地培養(yǎng)學(xué)生深層次思考問題的習(xí)慣。

 

（六）再創(chuàng)情境，引導(dǎo)探究函數(shù)概念的新認(rèn)識[圖式（S）]

 

問題9：比較函數(shù)的近代定義與傳統(tǒng)定義（即初中課本函數(shù)的定義）的異同點(diǎn)，你對函數(shù)有什么新的認(rèn)識？

 

學(xué)生思考、討論，教師點(diǎn)撥：函數(shù)近代定義與傳統(tǒng)定義在實(shí)質(zhì)上是一致的，兩個定義中的定義域與值域的意義完全相同。兩個定義中的對應(yīng)法則實(shí)際上也一樣，只不過敘述的出發(fā)點(diǎn)不同，傳統(tǒng)定義是從運(yùn)動變化的觀點(diǎn)出發(fā)，近代定義的對應(yīng)法則是從集合與對應(yīng)的觀點(diǎn)出發(fā)。

 

 

問題10：學(xué)生在前面學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，反思對問題2的解答，重新思考問題2，談?wù)勛约旱恼J(rèn)識。教師啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生畫圖，以形求數(shù)。

 

師生：是函數(shù)；與不是同一個函數(shù)。

 

引導(dǎo)學(xué)生對問題2進(jìn)行反思和總結(jié)，并將之一般化，利用數(shù)學(xué)語言來表達(dá)，培養(yǎng)學(xué)生反思問題、總結(jié)歸納的習(xí)慣和善于運(yùn)用數(shù)學(xué)語言抽象所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論的能力。

 

（七）舉例應(yīng)用，深化目標(biāo)[圖式（S）]

 

例3．已知函數(shù)

 

（1）畫出函數(shù)的圖象；（2）求的值；（3）你從（2）中發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論？（4）求函數(shù)的值域。

 

為了讓學(xué)生體會到從特殊到一般的思想方法，同時也后面研究函數(shù)的性質(zhì)（奇函數(shù)）作準(zhǔn)備。

 

教師引導(dǎo)學(xué)生解決此題的關(guān)鍵點(diǎn)，并進(jìn)行變式：

 

變式1：已知，① 當(dāng)時，求函數(shù)的值域；② 當(dāng)時，求函數(shù)的值域。

 

變式2：已知，① 當(dāng)函數(shù)值域?yàn)闀r，求函數(shù)定義域；② 當(dāng)函數(shù)值域?yàn)闀r，求函數(shù)定義域。

 

變式3：（1）已知，求的值。（2）已知，求函數(shù).

 

變式4：已知，，求①的解析式；②的解析式；③的解析式。

 

以一個問題為背景，一題多用，一題多變，由淺入深，體現(xiàn)梯度，使不同程度的學(xué)生都有發(fā)展。通過一組精心設(shè)計的問題鏈來引導(dǎo)和激發(fā)學(xué)生的參與意識、創(chuàng)新意識，培養(yǎng)學(xué)生探究問題的能力，從而提升學(xué)生的思維品質(zhì)。借助三個變式層層深入，是理論到實(shí)踐的升華，使概念深化、強(qiáng)化、類化的作用與含義印入心底，得到再次認(rèn)同，初步掌握與應(yīng)用能力也就自然形成了。

 

（八）練習(xí)交流，反饋鞏固

 

以學(xué)生回答、板演的形式進(jìn)行課堂練習(xí)，充分發(fā)揮師與生、生與生的互動，以教師、學(xué)生相互交流來鞏固本節(jié)課的學(xué)習(xí)。

 

（九）學(xué)生歸納小結(jié)，教師評價

 

以同桌之間一人小結(jié)一人傾聽的方式，以四人為一小組進(jìn)行小組討論，對本節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容進(jìn)行自主小結(jié)，教師及時進(jìn)行歸納總結(jié)：1．函數(shù)的近代定義與傳統(tǒng)定義的異同點(diǎn)；2．集合與函數(shù)的聯(lián)系、區(qū)別；3．函數(shù)的三要素；4．?dāng)?shù)形結(jié)合的思想。

 

三、幾點(diǎn)啟示

 

APOS理論對學(xué)生的函數(shù)概念的理解作出了分層分析，可以預(yù)測學(xué)生已經(jīng)在多大程度上對性質(zhì)作出了心理建構(gòu)，從而推知學(xué)生對函數(shù)概念的掌握起點(diǎn)�；�于APOS理論的理念設(shè)計數(shù)學(xué)性質(zhì)教學(xué)，實(shí)質(zhì)是“以學(xué)生為主體”的理念在課堂探究中的體現(xiàn)，有利于學(xué)生理解函數(shù)的概念。

 

教學(xué)中教師要關(guān)注數(shù)學(xué)本身的特點(diǎn)，更重要的是要關(guān)注課堂上學(xué)生的掌握概念的思維狀況，將數(shù)學(xué)知識和學(xué)生探究活動有機(jī)結(jié)合，要求教師要重視學(xué)生的學(xué)習(xí)活動，讓學(xué)生親身創(chuàng)設(shè)問題情境。數(shù)學(xué)教師要意識到：一個數(shù)學(xué)概念由“過程”到“對象”的建立, 有時既困難又漫長, 需要經(jīng)過多次反復(fù),循序漸進(jìn),螺旋上升, 直至學(xué)生真正理解,“對象”的建立要注意簡練的文字形式和符號表示,使學(xué)生在頭腦中建立起數(shù)學(xué)知識的直觀結(jié)構(gòu)形象。

 

學(xué)生對于函數(shù)概念的認(rèn)識不是一蹴而就的，這就要要教師在教學(xué)過程中整體處理教材，把握教學(xué)的度，結(jié)合具體的問題有意識地在各個階段的學(xué)習(xí)過程中，幫助學(xué)生逐步形成函數(shù)完整的知識鏈。在往后的教學(xué)中要注意學(xué)生對知識的圖式的建立, 即加強(qiáng)知識間的聯(lián)系和應(yīng)用,如在講解具體的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)時，可以以具體函數(shù)為載體，在一般函數(shù)概念的指導(dǎo)下對其性質(zhì)進(jìn)行研究，體現(xiàn)了“具體──抽象──具體”的過程，是函數(shù)概念理解的深化。又如，在講解不等式、方程的求解及應(yīng)用后，可以與函數(shù)相結(jié)合，進(jìn)行對比，從而加深對函數(shù)概念的理解，幫助學(xué)生在頭腦中建立起完整的數(shù)學(xué)知識的心理圖式。

 

當(dāng)然，APOS 理論的四個階段并非一定體現(xiàn)在一堂數(shù)學(xué)課當(dāng)中, 也不是每一課都必須遍歷四個階段, 它適用于數(shù)學(xué)概念在學(xué)生頭腦中建立的一段時期,并不局限于某一堂課。比如，函數(shù)圖式的形成是需要一個長期實(shí)踐與反思。有些學(xué)生需要在接觸了大量的具體的函數(shù)模型以后，甚至在學(xué)習(xí)了函數(shù)的復(fù)合、微分、積分以后，才能漸漸地實(shí)現(xiàn)從“過程”到“對象”的理解，再由“對象”到“圖式”的發(fā)展。作為老師，我們應(yīng)該理解學(xué)生的實(shí)際，作為數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程，也是允許學(xué)生有折返的現(xiàn)象。

 

參考文獻(xiàn)：

 

①張耀，數(shù)學(xué)概念教學(xué)研究綜述[J]. 運(yùn)程學(xué)院學(xué)報，2005，4（2）39-41.

 

②鮑建生, 周超, 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)和過程[M].上海教育出版社，2009.

 

③張奠宙, 張廣祥．中學(xué)代數(shù)研究[M]．北京：高等教育出版社，2006.

 

④濮安山, 史寧中, 從 APOS 理論看高中生對函數(shù)概念的理解[J]，數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2007，5(2)，48-50.

 

作者簡介：吳潔華，女，2007.9～2011.6就讀于華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)(師范)專業(yè)，保送課程與教學(xué)論“4+2”研究生（現(xiàn)讀研究生一年級）。論文《矩陣最小多項(xiàng)式的求解及應(yīng)用》發(fā)表于韓山師范學(xué)院學(xué)報2010年第6期。

本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/gaozhong/215835.html

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