摘 要：函數(shù)概念教學(xué)是高中教學(xué)的難點(diǎn)，基于APOS理論的教學(xué)設(shè)計(jì)有利于學(xué)生形成函數(shù)概念，并在同化和順應(yīng)基礎(chǔ)上形成函數(shù)概念圖式。
關(guān)鍵詞：APOS；函數(shù)；概念
一、 概念同化教學(xué)與APOS 理論
高中新課程實(shí)行已經(jīng)有四年多了，然而目前，相當(dāng)多教師仍然采取傳統(tǒng)的概念同化教學(xué)方式，其教學(xué)步驟為[1]：（1）揭示概念的本質(zhì)屬性，給出定義、名稱和符號(hào)；（2）對(duì)概念進(jìn)行特殊分類(lèi)，揭示概念的外延；（3）鞏固概念，利用概念的定義進(jìn)行簡(jiǎn)單的識(shí)別活動(dòng)；（4）概念的應(yīng)用與聯(lián)系，用概念解決問(wèn)題，并建立所學(xué)概念與其它概念間的聯(lián)系。
這種教學(xué)方式有其精妙之處，但是過(guò)快的抽象過(guò)程只能有一少部分學(xué)生進(jìn)行有意義的學(xué)習(xí)，難以引發(fā)全體學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)，大部分學(xué)生理解不了數(shù)學(xué)概念，只能靠死記硬背。事實(shí)上，概念的同化教學(xué)對(duì)幫助學(xué)生構(gòu)建良好的概念圖式、原理圖式，作用十分有限。因?yàn)樾睦硪饬x是不能傳授的，必需由學(xué)生自我構(gòu)建，不能由教師代替學(xué)生操作、思考、體驗(yàn)。
美國(guó)數(shù)學(xué)教育學(xué)家 Ed.Dubinsky認(rèn)為：一個(gè)人是不可能直接學(xué)習(xí)到數(shù)學(xué)概念的，更確切地說(shuō),人們透過(guò)心智結(jié)構(gòu)（mental structure）使所學(xué)的數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生意義。如果一個(gè)人對(duì)于給予的數(shù)學(xué)概念擁有適當(dāng)?shù)男闹墙Y(jié)構(gòu)，那么他幾乎自然就學(xué)到了這個(gè)概念。反之，如果他無(wú)法建立起適當(dāng)?shù)男闹墙Y(jié)構(gòu)，那么他學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念幾乎是不可能的。因此，Ed Dubinsky認(rèn)為，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念就是要建構(gòu)心智結(jié)構(gòu)，這一建構(gòu)過(guò)程要經(jīng)歷以下4個(gè)階段[2]：
二、基于APOS理論的函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)
從數(shù)學(xué)教育的研究?jī)?nèi)容來(lái)看，關(guān)于代數(shù)內(nèi)容已經(jīng)逐漸從以解方程為中心轉(zhuǎn)到以研究函數(shù)為中心了[3]。函數(shù)概念已經(jīng)成為中學(xué)數(shù)學(xué)中最為重要的概念之一。 函數(shù)概念本身不好理解。國(guó)外關(guān)于函數(shù)教學(xué)的研究表明了這一點(diǎn)——斯法德調(diào)查了60 名16 歲和18 歲的學(xué)生，結(jié)論是大多數(shù)學(xué)生認(rèn)為函數(shù)的概念是個(gè)過(guò)程而不是靜止的結(jié)構(gòu)。中國(guó)學(xué)者也進(jìn)行了相關(guān)的研究，見(jiàn)文獻(xiàn)[4].
可見(jiàn)，函數(shù)確實(shí)成了中學(xué)數(shù)學(xué)中最難教、最難學(xué)的概念之一。函數(shù)的教學(xué)在我國(guó)設(shè)置成螺旋式的教學(xué)，初中是用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)對(duì)函數(shù)進(jìn)行定義，雖然這種定義較為直觀，但并未完全揭示出函數(shù)概念的本質(zhì)。例如，對(duì)于函數(shù)如果用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)去看它，就不好解釋?zhuān)@得牽強(qiáng)。但如果用集合與對(duì)應(yīng)的觀點(diǎn)來(lái)解釋?zhuān)褪肿匀�。筆者在浙江省義烏市第三中學(xué)陳向陽(yáng)老師設(shè)計(jì)的《函數(shù)的概念》基礎(chǔ)上進(jìn)行思考，嘗試用APOS理論來(lái)設(shè)計(jì)高中函數(shù)概念的教學(xué)。
（一）創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引出課題
教師提出問(wèn)題1：
我們?cè)诔踔袑W(xué)習(xí)過(guò)函數(shù)的概念，它是如何定義的呢？在初中已經(jīng)學(xué)過(guò)哪些函數(shù)？（在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上出示投影）
我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一些具體的函數(shù)，那么為什么還要學(xué)習(xí)函數(shù)呢？先請(qǐng)同學(xué)們思考下面的問(wèn)題：
問(wèn)題2：由上述定義你能判斷“y=1”是否表示一個(gè)函數(shù)？函數(shù)y=x與函數(shù)表示同一個(gè)函數(shù)嗎？
學(xué)生思考、討論后，教師點(diǎn)撥：僅用上述函數(shù)概念很難回答這些問(wèn)題，我們需要從新的角度來(lái)認(rèn)識(shí)函數(shù)概念。
（二）生活實(shí)例演示，操作練習(xí)[活動(dòng)（A）]
問(wèn)題3：下圖中哪幾個(gè)圖像與下述三件事分別吻合得最好?請(qǐng)你為剩下的那個(gè)圖像寫(xiě)出一件事．
(1)我離開(kāi)家不久，發(fā)現(xiàn)自己把作業(yè)本可能忘在家里了，于是停下來(lái)找，沒(méi)找到，就返回家里找到了作業(yè)本再上學(xué)；
(2)我騎著車(chē)一路勻速行駛，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽擱了一些時(shí)間；
(3)我出發(fā)后，心情輕松，緩緩行進(jìn)，后來(lái)為了趕時(shí)間開(kāi)始加速．
活動(dòng)小結(jié)：每一個(gè)時(shí)刻，按照?qǐng)D像，都有唯一確定的距離與它對(duì)應(yīng)。
（三）借助信息技術(shù)，討論歸納[過(guò)程（P）]
師：（實(shí)例1）演示動(dòng)畫(huà)，用《幾何畫(huà)板》動(dòng)態(tài)地顯示炮彈高度關(guān)于炮彈發(fā)射時(shí)間的函數(shù)。啟發(fā)學(xué)生觀察、思考、討論，嘗試用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言描述變量之間的依賴關(guān)系：在的變化范圍內(nèi)，任給一個(gè)，按照給定的解析式，都有唯一的一個(gè)高度與之相對(duì)應(yīng)。
生：用計(jì)算器計(jì)算，然后用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言描述變量之間的依賴關(guān)系。
師：（實(shí)例2）引導(dǎo)學(xué)生看圖，并啟發(fā)：在的變化范圍內(nèi)，任給一個(gè)t，按照給定的圖象，都有唯一的一個(gè)臭氧空洞面積與之相對(duì)應(yīng)。
生：動(dòng)手測(cè)量，然后用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言描述變量之間的依賴關(guān)系。
師生：（實(shí)例3）共同讀表，然后用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言描述變量之間的依賴關(guān)系。
（四）從特殊到一般，引出函數(shù)概念[對(duì)象（O）]
問(wèn)題4：分析、歸納以上三個(gè)實(shí)例，它們有什么共同特點(diǎn)？
生：分組討論三個(gè)實(shí)例的共同特點(diǎn)，然后歸納出函數(shù)定義，并在全班交流。
師生：由學(xué)生概括，教師補(bǔ)充，引導(dǎo)學(xué)生歸納出三個(gè)實(shí)例中變量之間的關(guān)系均可描述為：
對(duì)于數(shù)集中的每一個(gè)，按照某種對(duì)應(yīng)關(guān)系，在數(shù)集中都有唯一確定的與它對(duì)應(yīng)，記作
教師強(qiáng)調(diào)指出“”僅僅是數(shù)學(xué)符號(hào)。為了更好地理解函數(shù)符號(hào)的含義，教師提出下一個(gè)問(wèn)題：
問(wèn)題5：一定就是函數(shù)的解析式嗎？
師生：函數(shù)的解析式、圖象、表格都是表示函數(shù)的方法。
問(wèn)題6：函數(shù)能否看做是兩個(gè)集合之間的一種對(duì)應(yīng)呢？如果能，怎樣給函數(shù)重新下一個(gè)定義呢？（在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上教師歸納總結(jié)）
補(bǔ)充練習(xí)：下列圖象中不能作為函數(shù)的圖象的是（ ）
例1．已知函數(shù)，
（1）求函數(shù)、的定義域；（2）求的值；（3）當(dāng)時(shí)，求的值。（4）求（5）求
讓學(xué)生思考，并提問(wèn)個(gè)別學(xué)生。
師問(wèn)：怎樣求函數(shù)的定義域？
追問(wèn)：與有何區(qū)別與聯(lián)系？
點(diǎn)撥：表示當(dāng)自變量時(shí)函數(shù)的值，是一個(gè)常量，而是自變量的函數(shù)，它是一個(gè)變量，是的一個(gè)特殊值。
追問(wèn)：如何求，又如何求一般情況的？
具體地，可以將2帶入函數(shù)求出具體值，再代入求出函數(shù)值。
對(duì)于抽象的，應(yīng)該將看成一個(gè)整體，帶入的解析式，求出的解析式。
問(wèn)題7：函數(shù)的三要素是什么？
教師引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)：函數(shù)的三要素是定義域、值域及對(duì)應(yīng)法則。在函數(shù)的三要素中，當(dāng)其中的兩要素已確定時(shí)，則第三個(gè)要素也就隨之確定了。如當(dāng)函數(shù)的定義域，對(duì)應(yīng)法則已確定，則函數(shù)的值域也就確定了。
追問(wèn)：如何判斷兩個(gè)函數(shù)是否相同？
以學(xué)生已解決的問(wèn)題出發(fā)創(chuàng)設(shè)情境，引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，再次引發(fā)學(xué)生在構(gòu)建自身基礎(chǔ)上的“再創(chuàng)造”，并通過(guò)獨(dú)立思考后的討論，培養(yǎng)學(xué)生分析解決問(wèn)題、用數(shù)學(xué)語(yǔ)言交流溝通的能力。
例2．下列函數(shù)中哪個(gè)與函數(shù)相等？
（1） （2）（3） （4）
師問(wèn)：判斷函數(shù)相等的依據(jù)是什么？
變式：若改（2）為呢？
思考：你能舉出一些函數(shù)相等的具體例子嗎？
啟發(fā)并引導(dǎo)學(xué)生思考、討論、交流，教師歸納總結(jié)出函數(shù)的要點(diǎn)：
1．函數(shù)是一種特殊的對(duì)應(yīng)——非空數(shù)集到非空數(shù)集的對(duì)應(yīng)；
2．函數(shù)的核心是對(duì)應(yīng)法則，通常用記號(hào)表示函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則，在不同的函數(shù)中，的具體含義不一樣。函數(shù)記號(hào)表明，對(duì)于定義域的任意一個(gè)在“對(duì)應(yīng)法則”的作用下，即在中可得唯一的. 當(dāng)在定義域中取一個(gè)確定的，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值即為.集合中并非所有的元素在定義域中都有元素和它對(duì)應(yīng)；值域；
3．函數(shù)符號(hào)的說(shuō)明：
（1）“”即為“是的函數(shù)”的符號(hào)表示；（2）不一定能用解析式表示；（3）與是不同的，通常，表示函數(shù)當(dāng)時(shí)的函數(shù)值；（4）在同時(shí)研究?jī)蓚�(gè)或多個(gè)函數(shù)時(shí)，常用不同符號(hào)表示不同的函數(shù)，除用符號(hào)外，還常用、、等符號(hào)來(lái)表示。
4．定義域是函數(shù)的重要組成部分，如與是不同的兩個(gè)函數(shù)。
（五）借助熟悉的函數(shù)，加深對(duì)函數(shù)概念的理解[圖式（S）]
問(wèn)題8：集合A（A=R）到集合B（B=R）的對(duì)應(yīng)：: A→B，使得集合B中的元素與集合A中的元素對(duì)應(yīng)，如何表示這個(gè)函數(shù)？定義域和值域各是什么？函數(shù)呢？函數(shù)呢？
教師演示動(dòng)畫(huà)，用《幾何畫(huà)板》顯示這三種函數(shù)的動(dòng)態(tài)圖象，啟發(fā)學(xué)生觀察、分析，并請(qǐng)同學(xué)們思考之后填寫(xiě)下表：
函數(shù)
一次函數(shù)
反比例函數(shù)
二次函數(shù)
對(duì)應(yīng)關(guān)系
a＞0
a＜0
定義域
值域
用函數(shù)的定義去解釋學(xué)過(guò)的一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)，使得對(duì)函數(shù)的描述性定義上升到集合與對(duì)應(yīng)語(yǔ)言刻畫(huà)的定義。同時(shí)利用信息技術(shù)工具畫(huà)出函數(shù)的圖象，是讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)“數(shù)”與“形”結(jié)合在理解函數(shù)中的作用，更好地幫助理解上述函數(shù)的三個(gè)要素，從而加強(qiáng)學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解，進(jìn)一步挖掘函數(shù)概念中集合與函數(shù)的聯(lián)系。明確定義域、值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系是決定函數(shù)的三要素，這是一個(gè)整體，以此更好地培養(yǎng)學(xué)生深層次思考問(wèn)題的習(xí)慣。
（六）再創(chuàng)情境，引導(dǎo)探究函數(shù)概念的新認(rèn)識(shí)[圖式（S）]
問(wèn)題9：比較函數(shù)的近代定義與傳統(tǒng)定義（即初中課本函數(shù)的定義）的異同點(diǎn)，你對(duì)函數(shù)有什么新的認(rèn)識(shí)？
學(xué)生思考、討論，教師點(diǎn)撥：函數(shù)近代定義與傳統(tǒng)定義在實(shí)質(zhì)上是一致的，兩個(gè)定義中的定義域與值域的意義完全相同。兩個(gè)定義中的對(duì)應(yīng)法則實(shí)際上也一樣，只不過(guò)敘述的出發(fā)點(diǎn)不同，傳統(tǒng)定義是從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)出發(fā)，近代定義的對(duì)應(yīng)法則是從集合與對(duì)應(yīng)的觀點(diǎn)出發(fā)。
問(wèn)題10：學(xué)生在前面學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，反思對(duì)問(wèn)題2的解答，重新思考問(wèn)題2，談?wù)勛约旱恼J(rèn)識(shí)。教師啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)圖，以形求數(shù)。
師生：是函數(shù)；與不是同一個(gè)函數(shù)。
引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題2進(jìn)行反思和總結(jié)，并將之一般化，利用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表達(dá)，培養(yǎng)學(xué)生反思問(wèn)題、總結(jié)歸納的習(xí)慣和善于運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言抽象所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論的能力。
（七）舉例應(yīng)用，深化目標(biāo)[圖式（S）]
例3．已知函數(shù)
（1）畫(huà)出函數(shù)的圖象；（2）求的值；（3）你從（2）中發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論？（4）求函數(shù)的值域。
為了讓學(xué)生體會(huì)到從特殊到一般的思想方法，同時(shí)也后面研究函數(shù)的性質(zhì)（奇函數(shù)）作準(zhǔn)備。
教師引導(dǎo)學(xué)生解決此題的關(guān)鍵點(diǎn)，并進(jìn)行變式：
變式1：已知，① 當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；② 當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域。
變式2：已知，① 當(dāng)函數(shù)值域?yàn)闀r(shí)，求函數(shù)定義域；② 當(dāng)函數(shù)值域?yàn)闀r(shí)，求函數(shù)定義域。
變式3：（1）已知，求的值。（2）已知，求函數(shù).
變式4：已知，，求①的解析式；②的解析式；③的解析式。
以一個(gè)問(wèn)題為背景，一題多用，一題多變，由淺入深，體現(xiàn)梯度，使不同程度的學(xué)生都有發(fā)展。通過(guò)一組精心設(shè)計(jì)的問(wèn)題鏈來(lái)引導(dǎo)和激發(fā)學(xué)生的參與意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生探究問(wèn)題的能力，從而提升學(xué)生的思維品質(zhì)。借助三個(gè)變式層層深入，是理論到實(shí)踐的升華，使概念深化、強(qiáng)化、類(lèi)化的作用與含義印入心底，得到再次認(rèn)同，初步掌握與應(yīng)用能力也就自然形成了。
（八）練習(xí)交流，反饋鞏固
以學(xué)生回答、板演的形式進(jìn)行課堂練習(xí)，充分發(fā)揮師與生、生與生的互動(dòng)，以教師、學(xué)生相互交流來(lái)鞏固本節(jié)課的學(xué)習(xí)。
（九）學(xué)生歸納小結(jié)，教師評(píng)價(jià)
以同桌之間一人小結(jié)一人傾聽(tīng)的方式，以四人為一小組進(jìn)行小組討論，對(duì)本節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容進(jìn)行自主小結(jié)，教師及時(shí)進(jìn)行歸納總結(jié)：1．函數(shù)的近代定義與傳統(tǒng)定義的異同點(diǎn)；2．集合與函數(shù)的聯(lián)系、區(qū)別；3．函數(shù)的三要素；4．?dāng)?shù)形結(jié)合的思想。
三、幾點(diǎn)啟示
APOS理論對(duì)學(xué)生的函數(shù)概念的理解作出了分層分析，可以預(yù)測(cè)學(xué)生已經(jīng)在多大程度上對(duì)性質(zhì)作出了心理建構(gòu)，從而推知學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的掌握起點(diǎn)�；贏POS理論的理念設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)性質(zhì)教學(xué)，實(shí)質(zhì)是“以學(xué)生為主體”的理念在課堂探究中的體現(xiàn)，有利于學(xué)生理解函數(shù)的概念。
教學(xué)中教師要關(guān)注數(shù)學(xué)本身的特點(diǎn)，更重要的是要關(guān)注課堂上學(xué)生的掌握概念的思維狀況，將數(shù)學(xué)知識(shí)和學(xué)生探究活動(dòng)有機(jī)結(jié)合，要求教師要重視學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)，讓學(xué)生親身創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境。數(shù)學(xué)教師要意識(shí)到：一個(gè)數(shù)學(xué)概念由“過(guò)程”到“對(duì)象”的建立, 有時(shí)既困難又漫長(zhǎng), 需要經(jīng)過(guò)多次反復(fù),循序漸進(jìn),螺旋上升, 直至學(xué)生真正理解,“對(duì)象”的建立要注意簡(jiǎn)練的文字形式和符號(hào)表示,使學(xué)生在頭腦中建立起數(shù)學(xué)知識(shí)的直觀結(jié)構(gòu)形象。
學(xué)生對(duì)于函數(shù)概念的認(rèn)識(shí)不是一蹴而就的，這就要要教師在教學(xué)過(guò)程中整體處理教材，把握教學(xué)的度，結(jié)合具體的問(wèn)題有意識(shí)地在各個(gè)階段的學(xué)習(xí)過(guò)程中，幫助學(xué)生逐步形成函數(shù)完整的知識(shí)鏈。在往后的教學(xué)中要注意學(xué)生對(duì)知識(shí)的圖式的建立, 即加強(qiáng)知識(shí)間的聯(lián)系和應(yīng)用,如在講解具體的指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)時(shí)，可以以具體函數(shù)為載體，在一般函數(shù)概念的指導(dǎo)下對(duì)其性質(zhì)進(jìn)行研究，體現(xiàn)了“具體──抽象──具體”的過(guò)程，是函數(shù)概念理解的深化。又如，在講解不等式、方程的求解及應(yīng)用后，可以與函數(shù)相結(jié)合，進(jìn)行對(duì)比，從而加深對(duì)函數(shù)概念的理解，幫助學(xué)生在頭腦中建立起完整的數(shù)學(xué)知識(shí)的心理圖式。
當(dāng)然，APOS 理論的四個(gè)階段并非一定體現(xiàn)在一堂數(shù)學(xué)課當(dāng)中, 也不是每一課都必須遍歷四個(gè)階段, 它適用于數(shù)學(xué)概念在學(xué)生頭腦中建立的一段時(shí)期,并不局限于某一堂課。比如，函數(shù)圖式的形成是需要一個(gè)長(zhǎng)期實(shí)踐與反思。有些學(xué)生需要在接觸了大量的具體的函數(shù)模型以后，甚至在學(xué)習(xí)了函數(shù)的復(fù)合、微分、積分以后，才能漸漸地實(shí)現(xiàn)從“過(guò)程”到“對(duì)象”的理解，再由“對(duì)象”到“圖式”的發(fā)展。作為老師，我們應(yīng)該理解學(xué)生的實(shí)際，作為數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程，也是允許學(xué)生有折返的現(xiàn)象。
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作者簡(jiǎn)介：吳潔華，女，2007.9～2011.6就讀于華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)(師范)專(zhuān)業(yè)，保送課程與教學(xué)論“4+2”研究生（現(xiàn)讀研究生一年級(jí)）。論文《矩陣最小多項(xiàng)式的求解及應(yīng)用》發(fā)表于韓山師范學(xué)院學(xué)報(bào)2010年第6期。
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