第一章 證明（二）檢測題
（本試卷滿分：120 分，時(shí)間：120分鐘）
一、（每小題3分，共30分）
1. 下列命題：①等腰三角形的角平分線、中線和高重合；②等腰三角形兩腰上的高相等；
③等腰三角形的最小邊是底邊； ④等邊三角形的高、中線、角平分線都相等；⑤等腰三角形都是銳角三角形.其中正確的有（ ）
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
2.如圖所示，△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是底邊BC上異于BC中點(diǎn)的一個點(diǎn)，∠ADE＝∠DAC，DE=AC.運(yùn)用這個圖（不添加輔助線）可以說明下列哪一個命題是假命題？（ ）
A.一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形
B.有一組對邊平行的四邊形是梯形
C.一組對邊相等，一組對角相等的四邊形是平行四邊形
D.對角線相等的四邊形是矩形
3. 如圖，在△AB C中， ，點(diǎn)D在AC邊上，且 ，
則 ∠A 的度數(shù)為（ ）
A. 30°B. 36° C. 45°D. 70°
4.下列命題,其中真命題有（ ）
①4的平方根是2；
②有兩邊和一角相等的兩個三角形全等；
③連接任意四邊形各邊中點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.
A.0個B.3個C.2個D.1個
5.已知等邊三角形的高為2 ，則它的邊長為（ ）
A.4 B.3 C.2 D.5
6.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，最短邊 c，則最長邊AB的長是（ ）
A.5 c B.6 c C. c D.8 c
7.等腰三角形的底邊長為a，頂角是底角的4倍，則腰上的高是（ ）
A. a B. a
C. a D. a
8.下列說法中，正確的是（ ）
A.兩邊及一對角對應(yīng)相等的兩個三角形全等
B.有一邊對應(yīng)相等的兩個等腰三角形全等
C.兩邊及其中一邊上的中線對應(yīng)相等的兩個三角形全等
D.兩邊及其中一邊上的高對應(yīng)相等的兩個三角形全等
9.已知一個直角三角形的周長是 2 ，斜邊上的中線長為2，則這
個三角形的面積為（ ）
A.5 B.2
C. D.1
10.如圖，在△ABC中 ，AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，如果 c， c，那么△ 的周長是（ ）
A.6 c B.7 c
C.8 c D.9 c

二、題（每小題3分，共24分）
11.如圖所示，在等腰△ABC中，AB=AC, ∠BAC=50°,
∠BAC 的平分線與AB的中垂線交于點(diǎn)O，
點(diǎn) C沿EF折疊后與點(diǎn)O重合，則∠OEC的度數(shù)是 .
12.若一個三角形的三條高線交點(diǎn)恰好是此三角形的一個頂點(diǎn)，
則此三角形是______三角形.
13. 在△ABC和△ADC中，下列論 斷：① ；② ； ③ ，把其中兩個論斷作為條件，另一個論斷作為結(jié)論，寫出一個真命題：_______ _____.
1 4.如圖，在△ABC中， ，A平分∠ ， c，則點(diǎn)到AB的距離
是_________.

15.如圖，在等邊△ABC中，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，EF⊥AC于E，若△ABC的邊長為10，則
_________， _________.
16.一個等腰三角形的兩邊長分別為5或6，則這個等腰三角形的周長是 ．
17.如圖，已知 的垂直平分線交 于點(diǎn) ，則 .

18.一副三角板疊在一起如圖所示放置,最小銳角的頂點(diǎn)D恰好放在等腰直角三角板的斜邊AB上,BC與DE交于點(diǎn),如果∠ADF=100°,那么∠BD為 度.
三、解答題（共66分）
19.（8分）如圖，在△ABC中， ， 是 上任意一點(diǎn)（與
A不重合），D⊥BC，且交∠ 的平分線于點(diǎn)D，求證： .
20.（8分） 聯(lián)想三角形外心的概念，我們可引入如下概念.
定義：到三角形的兩個頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，叫做此三角形的準(zhǔn)外心.
舉例：如圖（1），若PA＝PB，則點(diǎn)P為△ABC的準(zhǔn)外心.應(yīng)用：如圖（2 ），
CD為等邊三角形ABC的高.準(zhǔn)外心P在高CD上，且PD＝ AB，求∠APB
的度數(shù).
探究：已知△ABC為直角三角形，斜邊BC＝5，AB＝3，準(zhǔn)外心P在AC邊上，試探究PA
的長.

21.（8分）如圖，在四邊形 中， ， 平分∠ .求證： .
22.（8分）如圖，以等腰直角三角形ABC的斜邊AB為邊作等邊△ABD，連接DC，以DC為邊作等邊 △DCE，B、E在C、D的同側(cè)，若 ，求BE的長.

23.（8分））如圖，在Rt△ABC中， ，
點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，將一塊銳角為45°的直角三角板如圖放置，使三角板斜邊的兩個端點(diǎn)分別與A、D重合，連接BE、EC．
試猜想線段BE 和EC的數(shù)量及位置關(guān)系，并證明你的猜想．
24.（8分）求證：在一個三角形中，如果兩條邊不相等，那么這兩條邊所對的
角也不相等.
25.（8分）已知：如圖， ， 是 上一點(diǎn)， 于點(diǎn) ， 的延長
線交 的延長線于點(diǎn) .求證：△ 是等腰三角形．
26.（10分）在△ 中， ，AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)N，交BC的
延長線于點(diǎn)， .
（1 ）求 的大小.
（2）如果將（1）中的∠A的度數(shù)改為70°，其余條件不變，再求∠ 的大小.
（3）你認(rèn)為存在什么樣的規(guī)律？試用一句話說明.（請同學(xué)們自己畫圖）
（4）將（1）中的∠A改為鈍角，對這個問題規(guī)律的認(rèn)識是否需要加以修改？

第一章 證明(二)檢測題參考答案
一、
1.B 解析：只有②④正確.
2. C 解析:∵ △ABC是等腰三角形，
∴ AB=AC，∠B=∠C.
∵ DE=AC，AD=AD，∠ADE=∠DAC，即 ，
∴ △ADE≌△DAC，∴ ∠E=∠C，∴ ∠B=∠E，AB=DE.
但是四邊形ABDE不是平行四邊形，故一組對邊相等，一組對角相等的四邊形不是平行四邊形，故選C.
3.B 解析：因?yàn)?，所以 .
因?yàn)?，所以 ，
.又因?yàn)?，
所以 ，
所以 所以
4. D 解析: 4的平方根是±2，有兩邊和一角相等的兩個三角形不一定全等.故命題①②都是假命題，只有命題③是真命題，故選D.
5.A 解析：設(shè)等邊三角形的邊長為a，
則
6.D 解析：因?yàn)椤螦∶∠B∶∠C=1∶2∶3，所以△ABC為直角三角形，且∠C為直角.
又因?yàn)樽疃踢?c，則最長邊 c.
7.D 解析：因?yàn)榈妊�三角形的頂角是底角�?倍，所以頂角
是 120°，底角是30°.如圖，在△ 中，

則
8.C 解析：A.兩邊及夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等，故A項(xiàng)錯誤；
B.有一腰及頂角對應(yīng)相等的兩個等腰三角形全等，故B項(xiàng)錯誤；
C.兩邊及其中一邊上的中線對應(yīng)相等的兩個三角形全等，正確；
D.兩邊及其中一邊上的高對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等，D項(xiàng)錯誤.
9.B 解析：設(shè)此直角三角形為△ABC，其中 因?yàn)橹苯侨�角形斜邊的長等于其中線長的2倍，所以 又因?yàn)槠渲荛L是 ，所以 .兩邊平方得 ， .由勾股定理知 ，所以 .
10.D 解析：因?yàn)?垂直平分 ，所以 .所以△ 的周
長 （c）.

二、題
11. 100° 解析:如圖所示，由AB=AC，AO平分∠BAC得AO
所在直線是線段BC的垂直平分線，連接OB，則OB=OA=OC，
所以∠OAB=∠OBA= ×50°=25°，
得∠BOA=∠COA=

所以∠OBC=∠OCB= =40°.
由于EO=EC，故∠OEC=180°-2×40°=100°.
12. 直角 解析:直角三角形的三條高線交點(diǎn)恰好是此三角形的
一個頂點(diǎn)；銳角三角形的三條高線交點(diǎn)在此三角形的內(nèi)部；鈍角三角形的三條高線交點(diǎn)在三角形的外部.
13.在△ABC和△ADC中，如果 那
么
14.20 c 解析:根據(jù)角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等可得答案.
15. 1∶3 解析：因?yàn)?，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，所以 .在Rt△ 中，因?yàn)?，所以 .又 ，所 .
16. 16或17 解析:當(dāng)?shù)妊�三角形的腰長為5時(shí)，其周長為5×2+6=16;
當(dāng)?shù)妊�三角形的腰長為6時(shí)，其周長為6×2+5=17.∴ 這個等腰三角形的周長為16或17.
17. 解析: ∵ ∠BAC=120 ，AB=AC，
∴ ∠B= ∠C=
∵ AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，∴ AD=CD. ∴
∴
18. 85 解析:∵ ∠BD =180°-100°-30°=50°，∴∠BD =180°-50°-45°=85°.
三、解答題
19. 證明：∵ ， ，
∴ ∥ ，∴ .
又∵ 為∠ 的平分線，
∴ ，∴ ，
∴ .
20. 分析：應(yīng)用：分PB＝PC，PA＝PC，PA＝PB三種情況討論.
探究：同上分三種情況討論.
解：應(yīng)用：若PB＝PC，連接PB，則∠PCB＝∠PBC.
∵ CD為等邊三角形的高，∴ AD＝BD，∠PCB＝30°，
∴ ∠PBD＝∠PBC＝30°，∴ PD＝ DB＝ AB，
與已知PD＝ AB矛盾，∴ PB≠PC.
若PA＝PC，連接PA，同理，可得PA≠PC.
若PA＝PB，由PD＝ AB，得PD＝BD，∴ ∠BPD＝45°，所以∠APB＝90°.
探究：若PB＝PC，設(shè)PA＝x，則x2+32=(4-x)2，∴ x= ，即PA＝ .
若PA＝PC，則PA＝2.
若PA＝PB，由圖（2）知，在Rt△PAB中，不可能.故PA＝2或 .
點(diǎn)撥：分類討論問題要做到不重、不漏.

21. 分析：從條件BD平分∠ABC，可聯(lián)想到角平分線定理的基本圖形，故要作垂線段.
證明：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AB交BA的延長線于點(diǎn)E，
過D作 于點(diǎn)F.因?yàn)锽D平分∠ABC，所以 .
在Rt△EAD和Rt△FCD中， ，
所以Rt△EAD≌Rt△FCD（HL）.
所以∠ =∠ .因?yàn)椤?∠ 80°，
所以∠ ∠ .
22. 解：因?yàn)椤鰽BD和△CDE是等邊三角形，
所以 ， ∠ ∠ 60°.
所以∠ ∠ ∠ ∠ ，即∠
∠ .在△ 和△ 中，因?yàn)?
所以△ ≌△ ，所以 .又 ，所以 .
在等腰直角△ 中， ，故 .
23.解： ，BE⊥EC.
證明：∵ ，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，∴ .
∵ ∠ ∠ 45°，∴ ∠ ∠ 135°.
∵ ，∴ △EAB≌△EDC.
∴ ∠ ∠ ， .
∴ ∠ ∠ 90°.∴ ， ⊥ .
24. 解：已知：如圖，在△ 中， ，求證：∠ ∠ .
證明：假設(shè)∠ ∠ ，那么根據(jù)“等角對等邊”可得 ，但已知條件
是 相矛盾，因此∠ ∠ .
25.證明：∵ ，∴ ∠ ∠ ．∵ 于 ，∴ ∠ ∠ ．
∴ ∠ ∠ ∠ ∠ ．∴ ∠ ∠ ．
∵ ∠ ∠ ，∴ ∠ ∠ ．∴ △ 是等腰三角形.
26. 解：畫出圖形如圖所示.
（1）因?yàn)?，所以 .
所以 .
因?yàn)镈是AB的垂直平分線，所以 ，
所以 .
（2）同（1），同理可得 .
（3）AB的垂直平分線與底邊BC的延長線所夾的銳角
等于∠A的一半.
（4）將（1）中的 改為鈍角，這個規(guī)律的認(rèn)識無需修改，仍有等腰三
角形一腰的垂直平分線與底邊或底邊的延長線相交，所成的銳角等于頂
角的一半.

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