2015中考數(shù)學(xué)真題分類匯編：圓（6）
一．填空題（共19小題）
1．（2015•北海）用一個圓心角為120°，半徑為6的扇形作一個圓錐的側(cè)面，這個圓錐的底面圓的半徑是 �。�
2．（2015•呼和浩特）一個圓錐的側(cè)面積為8π，母線長為4，則這個圓錐的全面積為 ．
3．（2015•揚(yáng)州）已知一個圓錐的側(cè)面積是2πcm2，它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的高為 cm（結(jié)果保留根號）．
4．（2015•煙臺）如圖，將弧長為6π，圓心角為120°的圓形紙片AOB圍成圓錐形紙帽，使扇形的兩條半徑OA與OB重合（粘連部分忽略不計(jì)）則圓錐形紙帽的高是 ．
5．（2015•黃岡）如圖所示的扇形是一個圓錐的側(cè)面展開圖，若∠AOB=120°，弧AB的長為12πcm，則該圓錐的側(cè)面積為 cm2．
6．（2015•齊齊哈爾）底面周長為10πcm，高為12cm的圓錐的側(cè)面積為 �。�
7．（2015•鄂州）圓錐體的底面周長為6π，側(cè)面積為12π，則該圓錐體的高為 ．
8．（2015•貴港）如圖，已知圓錐的底面⊙O的直徑BC=6，高OA=4，則該圓錐的側(cè)面展開圖的面積為 �。�
9．（2015•湘潭）小華為參加畢業(yè)晚會演出，準(zhǔn)備制一頂圓錐形彩色紙帽，如圖所示，如果紙帽的底面半徑為8cm，母線長為25cm，那么制作這頂紙帽至少需要彩色紙板的面積為 cm2．（結(jié)果保留π）
10．（2015•常德）一個圓錐的底面半徑為1厘米，母線長為2厘米，則該圓錐的側(cè)面積是 厘米2（結(jié)果保留π）．
11．（2015•珠海）用半徑為12cm，圓心角為90°的扇形紙片圍成一個圓錐的側(cè)面（接縫忽略不計(jì)），則該圓錐底面圓的半徑為 cm．
12．（2015•徐州）用一個圓心角為90°，半徑為4的扇形圍成一個圓錐的側(cè)面，該圓錐底面圓的半徑 �。�
13．（2015•孝感）已知圓錐的側(cè)面積等于60πcm2，母線長10cm，則圓錐的高是 cm．
14．（2015•黑龍江）如圖，從直徑是2米的圓形鐵皮上剪出一個圓心角是90°的扇形ABC（A、B、C三點(diǎn)在⊙O上），將剪下來的扇形圍成一個圓錐的側(cè)面，則該圓錐的底面圓的半徑是 米．
15．（2015•大慶）底面直徑和高都是1的圓柱側(cè)面積為 �。�
16．（2015•福州）一個工件，外部是圓柱體，內(nèi)部凹槽是正方體，如圖所示，其中，正方體一個面的四個頂點(diǎn)都在圓柱底面的圓周上，若圓柱底面周長為2πcm，則正方體的體積為 cm3．
17．（2015•嘉興）如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（0，1），點(diǎn)P在線段OA上，以AP為半徑的⊙P周長為1．點(diǎn)M從A開始沿⊙P按逆時針方向轉(zhuǎn)動，射線AM交x軸于點(diǎn)N（n，0），設(shè)點(diǎn)M轉(zhuǎn)過的路程為m（0＜m＜1）．
（1）當(dāng)m= 時，n= �。�
（2）隨著點(diǎn)M的轉(zhuǎn)動，當(dāng)m從 變化到 時，點(diǎn)N相應(yīng)移動的路徑長為 �。�
18．（2015•舟山）如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（0，1），點(diǎn)P在線段OA上，以AP為半徑的⊙P周長為1，點(diǎn)M從A開始沿⊙P按逆時針方向轉(zhuǎn)動，射線AM交x軸于點(diǎn)N（n，0）．設(shè)點(diǎn)M轉(zhuǎn)過的路程為m（0＜m＜1），隨著點(diǎn)M的轉(zhuǎn)動，當(dāng)m從 變化到 時，點(diǎn)N相應(yīng)移動的路經(jīng)長為 �。�
19．（2015•南充）如圖，正方形ABCD的邊長為1，以AB為直徑作半圓，點(diǎn)P是CD中點(diǎn)，BP與半圓交于點(diǎn)Q，連結(jié)PQ，給出如下結(jié)論：①DQ=1；② = ；③S△PDQ= ；④cos∠ADQ= ，其中正確結(jié)論是 �。ㄌ顚懶蛱枺�
二．解答題（共11小題）
20．（2015•永州）如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，且AB=AC，直徑AD交BC于點(diǎn)E，F(xiàn)是OE上的一點(diǎn)，使CF∥BD．
（1）求證：BE=CE；
（2）試判斷四邊形BFCD的形狀，并說明理由；
（3）若BC=8，AD=10，求CD的長．
21．（2015•煙臺）如圖，以△ABC的一邊AB為直徑的半圓與其它兩邊AC，BC的交點(diǎn)分別為D、E，且 = ．
（1）試判斷△ABC的形狀，并說明理由．
（2）已知半圓的半徑為5，BC=12，求sin∠ABD的值．
22．（2015•安徽）在⊙O中，直徑AB=6，BC是弦，∠ABC=30°，點(diǎn)P在BC上，點(diǎn)Q在⊙O上，且OP⊥PQ．
（1）如圖1，當(dāng)PQ∥AB時，求PQ的長度；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在BC上移動時，求PQ長的最大值．
23．（2015•無錫）已知：如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C、D在⊙O上，且BC=6cm，AC=8cm，∠ABD=45°．（1）求BD的長；
（2）求圖中陰影部分的面積．
24．（2015•德州）如圖，⊙O的半徑為1，A，P，B，C是⊙O上的四個點(diǎn)，∠APC=∠CPB=60°．
（1）判斷△ABC的形狀： �。�
（2）試探究線段PA，PB，PC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）當(dāng)點(diǎn)P位于 的什么位置時，四邊形APBC的面積最大？求出最大面積．
25．（2015•濱州）如圖，⊙O的直徑AB的長為10，弦AC的長為5，∠ACB的平分線交⊙O于點(diǎn)D．
（1）求 的長．
（2）求弦BD的長．
26．（2015•佛山）如圖，⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD兩組對邊的延長線分別交于點(diǎn)E、F．
（1）若∠E=∠F時，求證：∠ADC=∠ABC；
（2）若∠E=∠F=42°時，求∠A的度數(shù)；
（3）若∠E=α，∠F=β，且α≠β．請你用含有α、β的代數(shù)式表示∠A的大小．
27．（2015•南京）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，BC的延長線與AD的延長線交于點(diǎn)E，且DC=DE．
（1）求證：∠A=∠AEB；
（2）連接OE，交CD于點(diǎn)F，OE⊥CD，求證：△ABE是等邊三角形．
28．（2015•杭州）如圖1，⊙O的半徑為r（r＞0），若點(diǎn)P′在射線OP上，滿足OP′•OP=r2，則稱點(diǎn)P′是點(diǎn)P關(guān)于⊙O的“反演點(diǎn)”．
如圖2，⊙O的半徑為4，點(diǎn)B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若點(diǎn)A′，B′分別是點(diǎn)A，B關(guān)于⊙O的反演點(diǎn)，求A′B′的長．
29．（2015•菏澤）如圖，在△ABC中，BA=BC，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點(diǎn)D、E，BC的延長線于⊙O的切線AF交于點(diǎn)F．
（1）求證：∠ABC=2∠CAF；
（2）若AC=2 ，CE：EB=1：4，求CE的長．
30．（2015•孝感）如圖，AB為⊙O的直徑，P是BA延長線上一點(diǎn)，PC切⊙O于點(diǎn)C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足為D．
（1）求證：∠PCA=∠ABC；
（2）過點(diǎn)A作AE∥PC，交⊙O于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，連接BE．若sin∠P= ，CF=5，求BE的長．
2015中考數(shù)學(xué)真題分類匯編：圓（6）
參考答案與試題解析
一．填空題（共19小題）
1．（2015•北海）用一個圓心角為120°，半徑為6的扇形作一個圓錐的側(cè)面，這個圓錐的底面圓的半徑是 2�。�
考點(diǎn)： 圓錐的計(jì)算．
分析： 易得扇形的弧長，除以2π即為圓錐的底面半徑．
解答： 解：扇形的弧長= =4π，
∴圓錐的底面半徑為4π÷2π=2．
故答案為：2．
點(diǎn)評： 考查了扇形的弧長公式；圓的周長公式；用到的知識點(diǎn)為：圓錐的弧長等于底面周長．
2．（2015•呼和浩特）一個圓錐的側(cè)面積為8π，母線長為4，則這個圓錐的全面積為 12π ．
考點(diǎn)： 圓錐的計(jì)算．
分析： 據(jù)扇形的面積公式求出扇形的圓心角，再利用弧長公式求出弧長，再利用圓的面積公式求出底面半徑，求得底面積后即可求得全面積．
解答： 解：∵ =8π，
∴解得n=180
則弧長= =4π
2πr=4π
解得r=2，
∴底面積為4π，
∴全面積為12π．
故答案是：12π．
點(diǎn)評： 本題考查了圓錐的計(jì)算，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式得到圓錐的底面半徑的求法．
3．（2015•揚(yáng)州）已知一個圓錐的側(cè)面積是2πcm2，它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的高為 cm（結(jié)果保留根號）．
考點(diǎn)： 圓錐的計(jì)算．
分析： 利用扇形的面積公式可得圓錐的母線長，進(jìn)而求得扇形的弧長，除以2π即為圓錐的底面圓半徑，利用勾股定理求得圓錐的高即可．
解答： 解：設(shè)圓錐的母線長為R，
π×R2÷2=2π，
解得：R=2，
∴圓錐側(cè)面展開圖的弧長為：2π，
∴圓錐的底面圓半徑是2π÷2π=1，
∴圓錐的高為 ．
故答案為 ．
點(diǎn)評： 考查了扇形的弧長公式；圓的周長公式；用到的知識點(diǎn)為：圓錐的弧長等于底面周長．
4．（2015•煙臺）如圖，將弧長為6π，圓心角為120°的圓形紙片AOB圍成圓錐形紙帽，使扇形的兩條半徑OA與OB重合（粘連部分忽略不計(jì)）則圓錐形紙帽的高是 6 ．
考點(diǎn)： 圓錐的計(jì)算．
分析： 根據(jù)弧長求得圓錐的底面半徑和扇形的半徑，利用勾股定理求得圓錐的高即可．
解答： 解：∵弧長為6π，
∴底面半徑為6π÷2π=3，
∵圓心角為120°，
∴ =6π，
解得：R=9，
∴圓錐的高為 =6 ，
故答案為：6 ．
點(diǎn)評： 本題考查了圓錐的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是能夠利用圓錐的底面周長等于側(cè)面展開扇形的弧長求得圓錐的底面半徑，難度一般．
5．（2015•黃岡）如圖所示的扇形是一個圓錐的側(cè)面展開圖，若∠AOB=120°，弧AB的長為12πcm，則該圓錐的側(cè)面積為 108π cm2．
考點(diǎn)： 圓錐的計(jì)算．
分析： 首先求得扇形的母線長，然后求得扇形的面積即可．
解答： 解：設(shè)AO=B0=R，
∵∠AOB=120°，弧AB的長為12πcm，
∴ =12π，
解得：R=18，
∴圓錐的側(cè)面積為 lR= ×12π×18=108π，
故答案為：108π．
點(diǎn)評： 本題考查了圓錐的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是牢記圓錐的有關(guān)計(jì)算公式，難度不大．
6．（2015•齊齊哈爾）底面周長為10πcm，高為12cm的圓錐的側(cè)面積為 65πcm2�。�
考點(diǎn)： 圓錐的計(jì)算．
分析： 根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式：S= al，直接代入數(shù)據(jù)求出即可．
解答： 解：設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線為a，
∴r= =5，
∴a= =13，
∴圓錐的側(cè)面積= ×10π×13=65π，
故答案為：65πcm2．
點(diǎn)評： 此題主要考查了圓錐側(cè)面積公式，熟練地應(yīng)用圓錐側(cè)面積公式求出是解決問題的關(guān)鍵．
7．（2015•鄂州）圓錐體的底面周長為6π，側(cè)面積為12π，則該圓錐體的高為 ．
考點(diǎn)： 圓錐的計(jì)算．
分析： 讓周長除以2π即為圓錐的底面半徑；根據(jù)圓錐的側(cè)面積= ×側(cè)面展開圖的弧長×母線長可得圓錐的母線長，利用勾股定理可得圓錐的高．
解答： 解：∵圓錐的底面周長為6π，
∴圓錐的底面半徑為6π÷2π=3，
∵圓錐的側(cè)面積= ×側(cè)面展開圖的弧長×母線長，
∴母線長=2×12π÷（6π）=4，
∴這個圓錐的高是 = ，
故答案為： ．
點(diǎn)評： 考查圓錐的計(jì)算，用到的知識點(diǎn)為：圓錐的底面周長等于側(cè)面展開圖的弧長；圓錐的側(cè)面積= ×側(cè)面展開圖的弧長×母線長．
8．（2015•貴港）如圖，已知圓錐的底面⊙O的直徑BC=6，高OA=4，則該圓錐的側(cè)面展開圖的面積為 15π�。�
考點(diǎn)： 圓錐的計(jì)算．
分析： 根據(jù)已知和勾股定理求出AB的長，根據(jù)扇形面積公式求出側(cè)面展開圖的面積．
解答： 解：∵OB= BC=3，OA=4，
由勾股定理，AB=5，
側(cè)面展開圖的面積為： ×6π×5=15π．
故答案為：15π．
點(diǎn)評： 本題考查的是圓錐的計(jì)算，理解圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，掌握扇形的面積的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．
9．（2015•湘潭）小華為參加畢業(yè)晚會演出，準(zhǔn)備制一頂圓錐形彩色紙帽，如圖所示，如果紙帽的底面半徑為8cm，母線長為25cm，那么制作這頂紙帽至少需要彩色紙板的面積為 200π cm2．（結(jié)果保留π）
考點(diǎn)： 圓錐的計(jì)算．
分析： 圓錐的側(cè)面積=底面周長×母線長÷2．
解答： 解：底面半徑為8cm，
則底面周長=16π，
側(cè)面面積= ×16π×25=200πcm2．
故答案為200π．
點(diǎn)評： 本題考查了圓錐的計(jì)算，利用了圓的周長公式和扇形面積公式，熟練記憶圓錐的側(cè)面積計(jì)算公式是解決本題的關(guān)鍵．
10．（2015•常德）一個圓錐的底面半徑為1厘米，母線長為2厘米，則該圓錐的側(cè)面積是 2π 厘米2（結(jié)果保留π）．
考點(diǎn)： 圓錐的計(jì)算．
分析： 根據(jù)圓錐側(cè)面積的求法：S側(cè)= •2πr•l=πrl，把r=1厘米，l=2厘米代入圓錐的側(cè)面積公式，求出該圓錐的側(cè)面積是多少即可．
解答： 解：該圓錐的側(cè)面積是：
S側(cè)= •2πr•l=πrl=π×1×2=2π（厘米2）．
故答案為：2π．
點(diǎn)評： 此題主要考查了圓錐的側(cè)面積的計(jì)算，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：S側(cè)= •2πr•l=πrl．
11．（2015•珠海）用半徑為12cm，圓心角為90°的扇形紙片圍成一個圓錐的側(cè)面（接縫忽略不計(jì)），則該圓錐底面圓的半徑為 3 cm．
考點(diǎn)： 圓錐的計(jì)算．
分析： 根據(jù)扇形的弧長等于圓錐的底面周長，利用扇形的弧長公式即可求得圓錐的底面周長，然后根據(jù)圓的周長公式即可求解．
解答： 解：圓錐的底面周長是： =6π．
設(shè)圓錐底面圓的半徑是r，則2πr=6π．
解得：r=3．
故答案是：3．
點(diǎn)評： 本題考查了圓錐的計(jì)算，正確理解圓錐的側(cè)面展開圖與原來的扇形之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，理解圓錐的母線長是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長是扇形的弧長．
12．（2015•徐州）用一個圓心角為90°，半徑為4的扇形圍成一個圓錐的側(cè)面，該圓錐底面圓的半徑 1�。�
考點(diǎn)： 圓錐的計(jì)算．
分析： 正確理解圓錐側(cè)面與其展開得到的扇形的關(guān)系：圓錐的底面周長等于扇形的弧長．
解答： 解：根據(jù)扇形的弧長公式l= = =2π，
設(shè)底面圓的半徑是r，
則2π=2πr
∴r=1．
故答案為：1．
點(diǎn)評： 本題綜合考查有關(guān)扇形和圓錐的相關(guān)計(jì)算．解題思路：解決此類問題時要緊緊抓住兩者之間的兩個對應(yīng)關(guān)系：（1）圓錐的母線長等于側(cè)面展開圖的扇形半徑；（2）圓錐的底面周長等于側(cè)面展開圖的扇形弧長．正確對這兩個關(guān)系的記憶是解題的關(guān)鍵．
13．（2015•孝感）已知圓錐的側(cè)面積等于60πcm2，母線長10cm，則圓錐的高是 8 cm．
考點(diǎn)： 圓錐的計(jì)算．
專題： 計(jì)算題．
分析： 設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，利用圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長和扇形面積公式得到 •2π•r•10=60π，解得r=6，然后根據(jù)勾股定理計(jì)算圓錐的高．
解答： 解：設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，
根據(jù)題意得 •2π•r•10=60π，
解得r=6，
所以圓錐的高= =8（cm）．
故答案為8．
點(diǎn)評： 本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．
14．（2015•黑龍江）如圖，從直徑是2米的圓形鐵皮上剪出一個圓心角是90°的扇形ABC（A、B、C三點(diǎn)在⊙O上），將剪下來的扇形圍成一個圓錐的側(cè)面，則該圓錐的底面圓的半徑是 米．
考點(diǎn)： 圓錐的計(jì)算．
分析： 圓的半徑為1，那么過圓心向AC引垂線，利用相應(yīng)的三角函數(shù)可得AC的一半的長度，進(jìn)而求得AC的長度，利用弧長公式可求得弧BC的長度，圓錐的底面圓的半徑=圓錐的弧長÷2π．
解答： 解：作OD⊥AC于點(diǎn)D，連接OA，
∴∠OAD=45°，AC=2AD，
∴AC=2（OA×cos45°）=
∴ = π
∴圓錐的底面圓的半徑= π÷（2π）= ．
故答案為： ．
點(diǎn)評： 本題綜合考查有關(guān)扇形和圓錐的相關(guān)計(jì)算．解題思路：解決此類問題時要緊緊抓住兩者之間的兩個對應(yīng)關(guān)系：（1）圓錐的母線長等于側(cè)面展開圖的扇形半徑；（2）圓錐的底面周長等于側(cè)面展開圖的扇形弧長．正確對這兩個關(guān)系的記憶是解題的關(guān)鍵．
15．（2015•大慶）底面直徑和高都是1的圓柱側(cè)面積為 π�。�
考點(diǎn)： 圓柱的計(jì)算．
分析： 圓柱的側(cè)面積=底面周長×高．
解答： 解：圓柱的底面周長=π×1=π．
圓柱的側(cè)面積=底面周長×高=π×1=π．
故答案是：π．
點(diǎn)評： 本題考查了圓柱的計(jì)算，熟記公式即可解答該題．
16．（2015•福州）一個工件，外部是圓柱體，內(nèi)部凹槽是正方體，如圖所示，其中，正方體一個面的四個頂點(diǎn)都在圓柱底面的圓周上，若圓柱底面周長為2πcm，則正方體的體積為 2 cm3．
考點(diǎn)： 圓柱的計(jì)算．
分析： 作出該幾何體的俯視圖，然后確定底面圓的半徑，從而求得正方體的棱長，最后求得體積．
解答： 解：該幾何體的俯視圖如圖：
∵圓柱底面周長為2πcm，
∴OA=OB=1cm，
∵∠AOB=90°，
∴AB= OA= ，
∴該正方體的體積為（ ）3=2 ，
故答案為：2 ．
點(diǎn)評： 本題考查了圓柱的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是確定底面圓的半徑，這是確定正方體的棱長的關(guān)鍵，難度不大．
17．（2015•嘉興）如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（0，1），點(diǎn)P在線段OA上，以AP為半徑的⊙P周長為1．點(diǎn)M從A開始沿⊙P按逆時針方向轉(zhuǎn)動，射線AM交x軸于點(diǎn)N（n，0），設(shè)點(diǎn)M轉(zhuǎn)過的路程為m（0＜m＜1）．
（1）當(dāng)m= 時，n= ?1 ；
（2）隨著點(diǎn)M的轉(zhuǎn)動，當(dāng)m從 變化到 時，點(diǎn)N相應(yīng)移動的路徑長為 �。�
考點(diǎn)： 圓的綜合題；等腰三角形的性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義．
分析： （1）當(dāng)m= 時，連接PM，如圖1，點(diǎn)M從點(diǎn)A繞著點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn)了一周的 ，從而可得到旋轉(zhuǎn)角∠APM為90°，根據(jù)PA=PM可得∠PAM=∠PMA=45°，則有NO=AO=1，即可得到n=?1；
（2）當(dāng)m從 變化到 時，點(diǎn)N相應(yīng)移動的路經(jīng)是一條線段，只需考慮始點(diǎn)和終點(diǎn)位置即可解決問題．當(dāng)m= 時，連接PM，如圖2，點(diǎn)M從點(diǎn)A繞著點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn)了一周的 ，從而可得到旋轉(zhuǎn)角為120°，則∠APM=120°，根據(jù)PA=PM可得∠PAM=30°，在Rt△AON中運(yùn)用三角函數(shù)可求出ON的長；當(dāng)m= 時，連接PM，如圖3，點(diǎn)M從點(diǎn)A繞著點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn)了一周的 ，從而可得到旋轉(zhuǎn)角為240°，則∠APM=120°，同理可求出ON的長，問題得以解決．
解答： 解：（1）當(dāng)m= 時，連接PM，如圖1，
則有∠APM= ×360°=90°．
∵PA=PM，∴∠PAM=∠PMA=45°．
∴NO=AO=1，
∴n=?1．
故答案為?1；
（2）①當(dāng)m= 時，連接PM，如圖2，
∠APM= 360°=120°．
∵PA=PM，∴∠PAM=∠PMA=30°．
在Rt△AON中，NO=AO•tan∠OAN=1× = ；
②當(dāng)m= 時，連接PM，如圖3，
∠APM=360°? ×360°=120°，
同理可得：NO= ．
綜合①、②可得：點(diǎn)N相應(yīng)移動的路經(jīng)長為 + = ．
故答案為 ．新 課 標(biāo) 第 一 網(wǎng)
點(diǎn)評： 本題主要考查了旋轉(zhuǎn)角、等腰三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)等知識，若動點(diǎn)的運(yùn)動路徑是一條線段，常�？赏ㄟ^考慮臨界位置（動點(diǎn)的始點(diǎn)和終點(diǎn)）來解決．
18．（2015•舟山）如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（0，1），點(diǎn)P在線段OA上，以AP為半徑的⊙P周長為1，點(diǎn)M從A開始沿⊙P按逆時針方向轉(zhuǎn)動，射線AM交x軸于點(diǎn)N（n，0）．設(shè)點(diǎn)M轉(zhuǎn)過的路程為m（0＜m＜1），隨著點(diǎn)M的轉(zhuǎn)動，當(dāng)m從 變化到 時，點(diǎn)N相應(yīng)移動的路經(jīng)長為 �。�
考點(diǎn)： 圓的綜合題；軌跡．
分析： 當(dāng)m從 變化到 時，點(diǎn)N相應(yīng)移動的路經(jīng)是一條線段，只需考慮始點(diǎn)和終點(diǎn)位置即可解決問題．當(dāng)m= 時，連接PM，如圖1，點(diǎn)M從點(diǎn)A繞著點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn)了一周的 ，從而可得到旋轉(zhuǎn)角為120°，則∠APM=120°，根據(jù)PA=PM可得∠PAM=30°，在Rt△AON中運(yùn)用三角函數(shù)可求出ON的長；當(dāng)m= 時，連接PM，如圖2，點(diǎn)M從點(diǎn)A繞著點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn)了一周的 ，從而可得到旋轉(zhuǎn)角為240°，則∠APM=120°，同理可求出ON的長，問題得以解決．
解答： 解：①當(dāng)m= 時，連接PM，如圖1，
∠APM= ×360°=120°．
∵PA=PM，∴∠PAM=∠PMA=30°．
在Rt△AON中，NO=AO•tan∠OAN=1× = ．
②當(dāng)m= 時，連接PM，如圖2，
∠APM=360°? ×360°=120°，
同理可得：NO= ．
綜合①、②可得：點(diǎn)N相應(yīng)移動的路經(jīng)長為 + = ．
故答案為 ．
點(diǎn)評： 本題主要考查了旋轉(zhuǎn)角、等腰三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)等知識，若動點(diǎn)的運(yùn)動路徑是一條線段，常�？赏ㄟ^考慮臨界位置（動點(diǎn)的始點(diǎn)和終點(diǎn)）來解決．
19．（2015•南充）如圖，正方形ABCD的邊長為1，以AB為直徑作半圓，點(diǎn)P是CD中點(diǎn)，BP與半圓交于點(diǎn)Q，連結(jié)PQ，給出如下結(jié)論：①DQ=1；② = ；③S△PDQ= ；④cos∠ADQ= ，其中正確結(jié)論是�、佗冖堋。ㄌ顚懶蛱枺�
考點(diǎn)： 圓的綜合題；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì)；平行線分線段成比例；相似三角形的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義．
專題： 推理填空題．
分析： ①連接OQ，OD，如圖1．易證四邊形DOBP是平行四邊形，從而可得DO∥BP．結(jié)合OQ=OB，可證到∠AOD=∠QOD，從而證到△AOD≌△QOD，則有DQ=DA=1；
②連接AQ，如圖2，根據(jù)勾股定理可求出BP．易證Rt△AQB∽Rt△BCP，運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)可求出BQ，從而求出PQ的值，就可得到 的值；
③過點(diǎn)Q作QH⊥DC于H，如圖3．易證△PHQ∽△PCB，運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)可求出QH，從而可求出S△DPQ的值；
④過點(diǎn)Q作QN⊥AD于N，如圖4．易得DP∥NQ∥AB，根據(jù)平行線分線段成比例可得 = = ，把AN=1?DN代入，即可求出DN，然后在Rt△DNQ中運(yùn)用三角函數(shù)的定義，就可求出cos∠ADQ的值．
解答： 解：正確結(jié)論是①②④．
提示：①連接OQ，OD，如圖1．
易證四邊形DOBP是平行四邊形，從而可得DO∥BP．
結(jié)合OQ=OB，可證到∠AOD=∠QOD，從而證到△AOD≌△QOD，
則有DQ=DA=1．
故①正確；
②連接AQ，如圖2．
則有CP= ，BP= = ．
易證Rt△AQB∽Rt△BCP，
運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)可求得BQ= ，
則PQ= ? = ，
∴ = ．
故②正確；
③過點(diǎn)Q作QH⊥DC于H，如圖3．
易證△PHQ∽△PCB，
運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)可求得QH= ，
∴S△DPQ= DP•QH= × × = ．
故③錯誤；
④過點(diǎn)Q作QN⊥AD于N，如圖4．
易得DP∥NQ∥AB，
根據(jù)平行線分線段成比例可得 = = ，
則有 = ，
解得：DN= ．
由DQ=1，得cos∠ADQ= = ．
故④正確．
綜上所述：正確結(jié)論是①②④．
故答案為：①②④．
點(diǎn)評： 本題主要考查了圓周角定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義、勾股定理等知識，綜合性比較強(qiáng)，常用相似三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)的定義來建立等量關(guān)系，應(yīng)靈活運(yùn)用．
二．解答題（共11小題）
20．（2015•永州）如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，且AB=AC，直徑AD交BC于點(diǎn)E，F(xiàn)是OE上的一點(diǎn)，使CF∥BD．
（1）求證：BE=CE；
（2）試判斷四邊形BFCD的形狀，并說明理由；
（3）若BC=8，AD=10，求CD的長．
考點(diǎn)： 垂徑定理；勾股定理；菱形的判定．
分析： （1）證明△ABD≌△ACD，得到∠BAD=∠CAD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可證明；
（2）菱形，證明△BFE≌△CDE，得到BF=DC，可知四邊形BFCD是平行四邊形，易證BD=CD，可證明結(jié)論；
（3）設(shè)DE=x，則根據(jù)CE2=DE•AE列方程求出DE，再用勾股定理求出CD．
解答： （1）證明：∵AD是直徑，
∴∠ABD=∠ACD=90°，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AB=AC，
∴BE=CE；
（2）四邊形BFCD是菱形．
證明：∵AD是直徑，AB=AC，
∴AD⊥BC，BE=CE，
∵CF∥BD，
∴∠FCE=∠DBE，
在△BED和△CEF中
，
∴△BED≌△CEF，
∴CF=BD，
∴四邊形BFCD是平行四邊形，
∵∠BAD=∠CAD，
∴BD=CD，
∴四邊形BFCD是菱形；
（3）解：∵AD是直徑，AD⊥BC，BE=CE，
∴CE2=DE•AE，
設(shè)DE=x，
∵BC=8，AD=10，
∴42=x（10?x），
解得：x=2或x=8（舍去）
在Rt△CED中，
CD= = =2 ．
點(diǎn)評： 本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)：垂徑定理、圓周角定理，三角形全等的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形相似的判定與性質(zhì)，熟悉圓的有關(guān)性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
21．（2015•煙臺）如圖，以△ABC的一邊AB為直徑的半圓與其它兩邊AC，BC的交點(diǎn)分別為D、E，且 = ．
（1）試判斷△ABC的形狀，并說明理由．
（2）已知半圓的半徑為5，BC=12，求sin∠ABD的值．
考點(diǎn)： 圓周角定理；等腰三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理．
專題： 計(jì)算題．
分析： （1）連結(jié)AE，如圖，根據(jù)圓周角定理，由 = 得∠DAE=∠BAE，由AB為直徑得∠AEB=90°，根據(jù)等腰三角形的判定方法即可得△ABC為等腰三角形；
（2）由等腰三角形的性質(zhì)得BE=CE= BC=6，再在Rt△ABE中利用勾股定理計(jì)算出AE=8，接著由AB為直徑得到∠ADB=90°，則可利用面積法計(jì)算出BD= ，然后在Rt△ABD中利用勾股定理計(jì)算出AD= ，再根據(jù)正弦的定義求解．
解答： 解：（1）△ABC為等腰三角形．理由如下：
連結(jié)AE，如圖，
∵ = ，
∴∠DAE=∠BAE，即AE平分∠BAC，
∵AB為直徑，
∴∠AEB=90°，
∴AE⊥BC，
∴△ABC為等腰三角形；
（2）∵△ABC為等腰三角形，AE⊥BC，
∴BE=CE= BC= ×12=6，
在Rt△ABE中，∵AB=10，BE=6，
∴AE= =8，
∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
∴ AE•BC= BD•AC，
∴BD= = ，
在Rt△ABD中，∵AB=10，BD= ，
∴AD= = ，
∴sin∠ABD= = = ．
點(diǎn)評： 本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．也考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理．
22．（2015•安徽）在⊙O中，直徑AB=6，BC是弦，∠ABC=30°，點(diǎn)P在BC上，點(diǎn)Q在⊙O上，且OP⊥PQ．
（1）如圖1，當(dāng)PQ∥AB時，求PQ的長度；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在BC上移動時，求PQ長的最大值．
考點(diǎn)： 圓周角定理；勾股定理；解直角三角形．
專題： 計(jì)算題．
分析： （1）連結(jié)OQ，如圖1，由PQ∥AB，OP⊥PQ得到OP⊥AB，在Rt△OBP中，利用正切定義可計(jì)算出OP=3tan30°= ，然后在Rt△OPQ中利用勾股定理可計(jì)算出PQ= ；
（2）連結(jié)OQ，如圖2，在Rt△OPQ中，根據(jù)勾股定理得到PQ= ，則當(dāng)OP的長最小時，PQ的長最大，根據(jù)垂線段最短得到OP⊥BC，則OP= OB= ，所以PQ長的最大值= ．
解答： 解：（1）連結(jié)OQ，如圖1，
∵PQ∥AB，OP⊥PQ，新-課 -標(biāo) -第-一-網(wǎng)
∴OP⊥AB，
在Rt△OBP中，∵tan∠B= ，
∴OP=3tan30°= ，
在Rt△OPQ中，∵OP= ，OQ=3，
∴PQ= = ；
（2）連結(jié)OQ，如圖2，
在Rt△OPQ中，PQ= = ，
當(dāng)OP的長最小時，PQ的長最大，
此時OP⊥BC，則OP= OB= ，
∴PQ長的最大值為 = ．
點(diǎn)評： 本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了勾股定理和解直角三角形．
23．（2015•無錫）已知：如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C、D在⊙O上，且BC=6cm，AC=8cm，∠ABD=45°．（1）求BD的長；
（2）求圖中陰影部分的面積．
考點(diǎn)： 圓周角定理；勾股定理；扇形面積的計(jì)算．
分析： （1）由AB為⊙O的直徑，得到∠ACB=90°，由勾股定理求得AB，OB=5cm．連OD，得到等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)S陰影=S扇形?S△OBD即可得到結(jié)論．
解答： 解：（1）∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵BC=6cm，AC=8cm，
∴AB=10cm．
∴OB=5cm．
連OD，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠ABD=45°．
∴∠BOD=90°．
∴BD= =5 cm．
（2）S陰影=S扇形?S△OBD= π•52? ×5×5= cm2．
點(diǎn)評： 本題考查了圓周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，扇形的面積，三角形的面積，連接OD構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
24．（2015•德州）如圖，⊙O的半徑為1，A，P，B，C是⊙O上的四個點(diǎn)，∠APC=∠CPB=60°．
（1）判斷△ABC的形狀： 等邊三角形�。�
（2）試探究線段PA，PB，PC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）當(dāng)點(diǎn)P位于 的什么位置時，四邊形APBC的面積最大？求出最大面積．
考點(diǎn)： 圓周角定理；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；垂徑定理．
分析： （1）利用圓周角定理可得∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，而∠APC=∠CPB=60°，所以∠BAC=∠ABC=60°，從而可判斷△ABC的形狀；
（2）在PC上截取PD=AP，則△APD是等邊三角形，然后證明△APB≌△ADC，證明BP=CD，即可證得；
（3）過點(diǎn)P作PE⊥AB，垂足為E，過點(diǎn)C作CF⊥AB，垂足為F，把四邊形的面積轉(zhuǎn)化為兩個三角形的面積進(jìn)行計(jì)算，當(dāng)點(diǎn)P為 的中點(diǎn)時，PE+CF=PC從而得出最大面積．
解答： 證明：（1）△ABC是等邊三角形．
證明如下：在⊙O中
∵∠BAC與∠CPB是 所對的圓周角，∠ABC與∠APC是 所對的圓周角，
∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，
又∵∠APC=∠CPB=60°，
∴∠ABC=∠BAC=60°，
∴△ABC為等邊三角形；
（2）在PC上截取PD=AP，如圖1，
又∵∠APC=60°，
∴△APD是等邊三角形，
∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°．
又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，
∴∠ADC=∠APB，
在△APB和△ADC中，
，
∴△APB≌△ADC（AAS），
∴BP=CD，
又∵PD=AP，
∴CP=BP+AP；
（3）當(dāng)點(diǎn)P為 的中點(diǎn)時，四邊形APBC的面積最大．
理由如下，如圖2，過點(diǎn)P作PE⊥AB，垂足為E．
過點(diǎn)C作CF⊥AB，垂足為F．
∵S△APE= AB•PE，S△ABC= AB•CF，
∴S四邊形APBC= AB•（PE+CF），
當(dāng)點(diǎn)P為 的中點(diǎn)時，PE+CF=PC，PC為⊙O的直徑，
∴此時四邊形APBC的面積最大．
又∵⊙O的半徑為1，
∴其內(nèi)接正三角形的邊長AB= ，
∴S四邊形APBC= ×2× = ．
點(diǎn)評： 本題考查了圓周角定理、等邊三角形的判定、三角形的面積公式以及三角形的全等的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線，證明△APB≌△ADC是關(guān)鍵．
25．（2015•濱州）如圖，⊙O的直徑AB的長為10，弦AC的長為5，∠ACB的平分線交⊙O于點(diǎn)D．
（1）求 的長．
（2）求弦BD的長．
考點(diǎn)： 圓周角定理；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形；弧長的計(jì)算．
分析： （1）首先根據(jù)AB是⊙O的直徑，可得∠ACB=∠ADB=90°，然后在Rt△ABC中，求出∠BAC的度數(shù)，即可求出∠BOC的度數(shù)；最后根據(jù)弧長公式，求出 的長即可．
（2）首先根據(jù)CD平分∠ACB，可得∠ACD=∠BCD；然后根據(jù)圓周角定理，可得∠AOD=∠BOD，所以AD=BD，∠ABD=∠BAD=45°；最后在Rt△ABD中，求出弦BD的長是多少即可．
解答： 解：（1）如圖，連接OC，OD， ，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ABC中，
∵ ，
∴∠BAC=60°，
∴∠BOC=2∠BAC=2×60°=120°，
∴ 的長= ．
（2）∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴∠AOD=∠BOD，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠BAD=45°，
在Rt△ABD中，
BD=AB×sin45°=10× ．
點(diǎn)評： （1）此題主要考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半，要熟練掌握．
（2）此題還考查了含30度角的直角三角形，以及等腰直角三角形的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握．
（3）此題還考查了弧長的求法，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①弧長公式：l= （弧長為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為R）．②在弧長的計(jì)算公式中，n是表示1°的圓心角的倍數(shù)，n和180都不要帶單位．
26．（2015•佛山）如圖，⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD兩組對邊的延長線分別交于點(diǎn)E、F．
（1）若∠E=∠F時，求證：∠ADC=∠ABC；
（2）若∠E=∠F=42°時，求∠A的度數(shù)；
（3）若∠E=α，∠F=β，且α≠β．請你用含有α、β的代數(shù)式表示∠A的大小．
考點(diǎn)： 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；圓周角定理．
分析： （1）根據(jù)外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和等量代換即可求得結(jié)果；
（3）連結(jié)EF，如圖，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠ECD=∠A，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠ECD=∠1+∠2，則∠A=∠1+∠2，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理有∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°，即2∠A+α+β=180°，再解方程即可．
解答： 解：（1）∠E=∠F，
∵∠DCE=∠BCF，
∴∠ADC=∠E+∠DCE，∠ABC=∠F+∠BCF，
∴∠ADC=∠ABC；
（2）由（1）知∠ADC=∠ABC，
∵∠EDC=∠ABC，
∴∠EDC=∠ADC，
∴∠ADC=90°，
∴∠A=90°?42°=48°；
（3）連結(jié)EF，如圖，
∵四邊形ABCD為圓的內(nèi)接四邊形，
∴∠ECD=∠A，
∵∠ECD=∠1+∠2，
∴∠A=∠1+∠2，
∵∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°，
∴2∠A+α+β=180°，
∴∠A=90°? ．
點(diǎn)評： 本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是溝通角相等關(guān)系的重要依據(jù)，在應(yīng)用此性質(zhì)時，要注意與圓周角定理結(jié)合起來．在應(yīng)用時要注意是對角，而不是鄰角互補(bǔ)．
27．（2015•南京）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，BC的延長線與AD的延長線交于點(diǎn)E，且DC=DE．
（1）求證：∠A=∠AEB；
（2）連接OE，交CD于點(diǎn)F，OE⊥CD，求證：△ABE是等邊三角形．
考點(diǎn)： 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；圓周角定理．
分析： （1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得∠A+∠BCD=180°，根據(jù)鄰補(bǔ)角互補(bǔ)可得∠DCE+∠BCD=180°，進(jìn)而得到∠A=∠DCE，然后利用等邊對等角可得∠DCE=∠AEB，進(jìn)而可得∠A=∠AEB；
（2）首先證明△DCE是等邊三角形，進(jìn)而可得∠AEB=60°，再根據(jù)∠A=∠AEB，可得△ABE是等腰三角形，進(jìn)而可得△ABE是等邊三角形．
解答： 證明：（1）∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠A+∠BCD=180°，
∵∠DCE+∠BCD=180°，
∴∠A=∠DCE，
∵DC=DE，
∴∠DCE=∠AEB，
∴∠A=∠AEB；
（2）∵∠A=∠AEB，
∴△ABE是等腰三角形，
∵EO⊥CD，
∴CF=DF，
∴EO是CD的垂直平分線，
∴ED=EC，
∵DC=DE，
∴DC=DE=EC，
∴△DCE是等邊三角形，
∴∠AEB=60°，
∴△ABE是等邊三角形．
點(diǎn)評： 此題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)．
28．（2015•杭州）如圖1，⊙O的半徑為r（r＞0），若點(diǎn)P′在射線OP上，滿足OP′•OP=r2，則稱點(diǎn)P′是點(diǎn)P關(guān)于⊙O的“反演點(diǎn)”．
如圖2，⊙O的半徑為4，點(diǎn)B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若點(diǎn)A′，B′分別是點(diǎn)A，B關(guān)于⊙O的反演點(diǎn)，求A′B′的長．
考點(diǎn)： 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系；勾股定理．
專題： 新定義．
分析： 設(shè)OA交⊙O于C，連結(jié)B′C，如圖2，根據(jù)新定義計(jì)算出OA′=2，OB′=4，則點(diǎn)A′為OC的中點(diǎn)，點(diǎn)B和B′重合，再證明△OBC為等邊三角形，則B′A′⊥OC，然后在Rt△OA′B′中，利用正弦的定義可求A′B′的長．
解答： 解：設(shè)OA交⊙O于C，連結(jié)B′C，如圖2，
∵OA′•OA=42，
而r=4，OA=8，
∴OA′=2，
∵OB′•OB=42，
∴OB′=4，即點(diǎn)B和B′重合，
∵∠BOA=60°，OB=OC，
∴△OBC為等邊三角形，
而點(diǎn)A′為OC的中點(diǎn)，
∴B′A′⊥OC，
在Rt△OA′B′中，sin∠A′OB′= ，
∴A′B′=4sin60°=2 ．
點(diǎn)評： 本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：點(diǎn)的位置可以確定該點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．也考查了閱讀理解能力．
29．（2015•菏澤）如圖，在△ABC中，BA=BC，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點(diǎn)D、E，BC的延長線于⊙O的切線AF交于點(diǎn)F．
（1）求證：∠ABC=2∠CAF；
（2）若AC=2 ，CE：EB=1：4，求CE的長．
考點(diǎn)： 切線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．
分析： （1）首先連接BD，由AB為直徑，可得∠ADB=90°，又由AF是⊙O的切線，易證得∠CAF=∠ABD．然后由BA=BC，證得：∠ABC=2∠CAF；
（2）首先連接AE，設(shè)CE=x，由勾股定理可得方程：（2 ）2=x2+（3x）2求得答案．
解答： （1）證明：如圖，連接BD．
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAB+∠ABD=90°．
∵AF是⊙O的切線，
∴∠FAB=90°，
即∠DAB+∠CAF=90°．
∴∠CAF=∠ABD．
∵BA=BC，∠ADB=90°，
∴∠ABC=2∠ABD．
∴∠ABC=2∠CAF．
（2）解：如圖，連接AE，
∴∠AEB=90°，
設(shè)CE=x，
∵CE：EB=1：4，
∴EB=4x，BA=BC=5x，AE=3x，
在Rt△ACE中，AC2=CE2+AE2，
即（2 ）2=x2+（3x）2，
∴x=2．
∴CE=2．
點(diǎn)評： 本題主要考查了切線的性質(zhì)、三角函數(shù)以及勾股定理，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用是解答此題大關(guān)鍵．
30．（2015•孝感）如圖，AB為⊙O的直徑，P是BA延長線上一點(diǎn)，PC切⊙O于點(diǎn)C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足為D．
（1）求證：∠PCA=∠ABC；
（2）過點(diǎn)A作AE∥PC，交⊙O于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，連接BE．若sin∠P= ，CF=5，求BE的長．
考點(diǎn)： 切線的性質(zhì)；勾股定理；解直角三角形．
分析： （1）連接OC，由PC切⊙O于點(diǎn)C，得到OC⊥PC，于是得到∠PCA+∠OCA=90°，由AB為⊙O的直徑，得到∠ABC+∠OAC=90°，由于OC=OA，證得∠OCA=∠OAC，于是得到結(jié)論；
（2）由AE∥PC，得到∠PCA=∠CAF根據(jù)垂徑定理得到 ，于是得到∠ACF=∠ABC，由于∠PCA=∠ABC，推出∠ACF=∠CAF，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到CF=AF，在Rt△AFD中，AF=5，sin∠FAD= ，求得FD=3，AD=4，CD=8，在Rt△OCD中，設(shè)OC=r，根據(jù)勾股定理得到方程r2=（r?4）2+82，解得r=10，得到AB=2r=20，由于AB為⊙O的直徑，得到∠AEB=90°，在Rt△ABE中，由sin∠EAD= ，得到 于是求得結(jié)論．
解答： （1）證明：連接OC，
∵PC切⊙O于點(diǎn)C，
∴OC⊥PC，
∴∠PCO=90°，
∴∠PCA+∠OCA=90°，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠OAC=90°，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠PCA=∠ABC；
（2）解：∵AE∥PC，
∴∠PCA=∠CAF，
∵AB⊥CG，
∴ ，
∴∠ACF=∠ABC，
∵∠PCA=∠ABC，
∴∠ACF=∠CAF，
∴CF=AF，
∵CF=5，
∴AF=5，
∵AE∥PC，
∴∠FAD=∠P，
∵sin∠P= ，
∴sin∠FAD= ，
在Rt△AFD中，AF?5，sin∠FAD= ，
∴FD=3，AD=4，∴CD=8，
在Rt△OCD中，設(shè)OC=r，
∴r2=（r?4）2+82，
∴r=10，
∴AB=2r=20，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°，在Rt△ABE中，
∵sin∠EAD= ，∴ ，
∵AB=20，
∴BE=12．
點(diǎn)評： 本題考查了切線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，連接OC構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/chusan/294350.html
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