初中幾何中有許多基本圖形，這些基本圖形與其它知識(shí)點(diǎn)組合在一起，共同演繹著變化無(wú)窮的幾何綜合性問(wèn)題.解決這類問(wèn)題，一般要分離或者構(gòu) 造 出基本圖形，然后應(yīng)用基本圖形的性質(zhì)及相關(guān)結(jié) 論解決問(wèn)題.本文 介紹常見的五種基本圖形及其應(yīng)用，供大家參考.
基本圖形1 如圖1所示， 是圓內(nèi)接三角形，直線 經(jīng)過(guò)點(diǎn) .
結(jié)論1 若 ( )，則直線 與圓 相切.
結(jié)論2 若 ( )，則直線 與圓 相切.
應(yīng)用1 如圖2， 是⊙ 的直徑， 、 分別是 的角平分線與⊙ 、 的交點(diǎn)， 為直線 延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且 .判斷直線 與⊙ 的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.
分析 本題考察了角平分線、三角形的外角、等腰三角形、圓周角定理等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)問(wèn)題的突破口在于能否識(shí)別弦切角基本模型，即 ，問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為結(jié)論1.
基本圖形2 如圖3所示， ，則 ， .
這是相似三角形常見的基本圖形，反映的是部分與整體相似，兩個(gè)三角形擁有一個(gè)公共角，只要再找出一組對(duì)應(yīng)角相等即可，利用相似三角形對(duì)應(yīng)線段成比例，進(jìn)而化成等積的形式即可.
應(yīng)用1 如圖4 ， 與圓 相切，切點(diǎn)為 ，連結(jié) 并延長(zhǎng)，與圓 交于點(diǎn) 、 ，連結(jié) ， ，求證:
(1 ) ;
(2)若 ， ，求圓 的半徑及 .
分析 這是一道圓與相似三角形的綜合題.已知圓 與 相切，連結(jié) ，則 ，再加上 ，可得 ，證得 ，問(wèn)題就還原成題目1.問(wèn)題(2)利用(1)結(jié)論，可建立一元二次方 程求出半徑.
應(yīng)用2 如圖5，直線 經(jīng)過(guò)圓 上的點(diǎn)，并且 ， ，圓 交直線 于點(diǎn) 、 ，連結(jié) ， .
(1)猜想直線 與圓 的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由;
(2)求證 ， ;
(3)若 ，圓 的半徑為3，求 的面積.
分析 這是一道涉及等腰三角形、直線與圓的位置關(guān)系、相似三角形、三角函數(shù)值等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的幾何綜合題.(1)利用等腰三角形的三線合一證得 ;(2)屬于題目1的簡(jiǎn)單變形;(3)求 的面積，關(guān)鍵在于求 的長(zhǎng)度，難點(diǎn)在于如何利用 這個(gè)條件.在 中 ， ，即 .觀察發(fā)現(xiàn)，由 ，可得到 ，即 ;然后利用第(2)的結(jié)論，轉(zhuǎn)化為方程求解問(wèn)題，進(jìn)而求出 、 的長(zhǎng)，問(wèn)題就迎刃而解了.
基本圖形3
1.如圖6，已知 ， ， 過(guò)點(diǎn) ，且 ， ，垂足分別為 、 ，則 ， .
2. 如圖7，已知 ， ，則 ， .
應(yīng)用 如圖8，拋物線 ，點(diǎn) 在拋物線上，點(diǎn) 在直線 上， 能否成為以點(diǎn) 為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形?若 能，求出點(diǎn) 的坐標(biāo);若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.
分析 過(guò)點(diǎn) 作 軸， 直線 ，垂足分別為 ， ， .當(dāng) ， 時(shí)， 是以點(diǎn) 為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形.這是解決問(wèn)題的突破口，通過(guò)構(gòu)造“ ”型全等形，使得幾何問(wèn)題代數(shù)化.
基本圖形4
如圖9，已知，在 中， ，過(guò)點(diǎn) 作 ，點(diǎn) 作 ，則 ， .
應(yīng)用1如圖10，在正方形 中，以對(duì)角線 為邊作菱形 ，使得 ， ， 三點(diǎn)在同一條直線上，連結(jié) 交 于點(diǎn) .求證: .
分析 連結(jié) 交 于點(diǎn) ，問(wèn)題就還原成基本圖形，證 即可.
應(yīng)用2 如圖1l，已知在平行四邊形 中， ， 于 ， 于 ， 、 交于 ， 、 的延長(zhǎng)線交于 .有下列結(jié)論:
① ;② ;③ .其中正確的是 .
分析 本題以全等三角形為載體，融入平行四邊形、勾股定理等相關(guān)知識(shí)，注重對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的考查.
①②正確，由 及平行四邊形的性質(zhì)，得到 ， ，所以 .
③正確，
.
基本圖形5
如圖12，在正方形 中，點(diǎn) 、 分別在 、 上， 、 交于點(diǎn) .
結(jié)論1 若 ，則 (或 或 ).
結(jié)論2 若 (或 或 )，則 .
應(yīng)用 如圖13所示，將圖12中 、 平移至 、 ，上述 結(jié)論依然成立.
老子在《道德經(jīng)》里寫道:“天下難事，必作于易;天下大 事，必作于細(xì)”.數(shù)學(xué)問(wèn)題的解 決過(guò)程亦是如此，將 復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，一步步將未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化到已知范圍.在求解幾何問(wèn)題時(shí)，就是要通過(guò)觀察、類比、聯(lián)想，把復(fù)雜圖形轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的基本圖形問(wèn)題，就能容易獲解.
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