高二年級數學(理科)試卷
一、選擇題
1.已知空間直角坐標系中A（1，1，0）且 AB=（4，0，2），則B點坐標為（ ）
A．（9，1，4） B．（9，-1，-4）
C．（8，-1，-4） D．（8，1，4）
2.正四棱錐S－ABCD的底面邊長為4 ，高SE＝8，則過點A，B，C，D，S的球的半徑為( )
A．3 B．4 C．5 D．6
3.過點 的直線與圓 相切，且與直線 垂直，則 ( ).
A． B．1 C．2 D.
4.已知兩條不同直線 、 ，兩個不同平面 、 ，給出下列命題：
①若 ∥ ，則 平行于 內的所有直線；
②若 ， 且 ⊥ ，則 ⊥ ；
③若 ， ，則 ⊥ ；
④若 ， 且 ∥ ，則 ∥ ；
其中正確命題的個數為（ ）
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
5.已知直線ax+y+2=0及兩點P（-2，1）、Q（3，2），若直線與線段PQ相交，則a的取值 范圍是（ ）
A．a≤- 或a≥ B．a≤- 或a≥ C．? ≤a≤ D．? ≤a≤
6.下列說法正確的有（ ）個
①“ ”是“θ=30°”的充分不必要條件
②若命題p：∃x∈R，x2-x+1=0，則¬p：∀x∈R，x2-x+1≠0
③命題“若a=0，則ab=0”的否命題是：“若a≠0，則ab≠0”
④已知a，b∈R+，若log3a＞log3b，則 ．
A．0 B．1 C．2 D．3
7.已知直二面角α－l－β，點A∈α，AC⊥l，C為垂足，B∈β，BD⊥l，D為垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，則D到平面ABC的距離等于(　　)
A． B． C． D．1
8.設A： ，若B是A成立的必要不充分條件，則m的取值范圍是（ ）
A．m＜l B．m≤1 C．m≥1 D．m＞1

9.把邊長為1的正方形ABCD沿對角線BD折起，使得平面ABD⊥平面CBD，形成三棱錐C-ABD的正視圖與俯視圖如圖所示，則側視圖的面積為（ ）
A． B． C． D．
10.下面說法正確的是（ ）
A．命題“∃x∈R，使得x2+x+1≥0”的否定是“∀x∈R，使得x2+x+1≥0”
B．實數x＞y是 成立的充要條件
C．設p、q為簡單命題，若“p∨q”為假命題，則“?p∧?q”也為假命題
D．命題“若x2-3x+2=0則x=1”的逆否命題為假命題
11.已知命題p：“對∀x∈R，∃m∈R，使4x+m•2x+1=0”．若命題¬p是假命題，則實數m的取值范圍是（ ）
A．-2≤m≤2 B．m≥2
C．m≤-2 D．m≤-2或m≥2
12.如圖，在正方體 中，點 為線段 的中點.設點 在線段 上，直線 與平面 所成的角為 ，則 的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空題
13.已知空間三點A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)．則以 為邊的平行四邊形的面積為________．
14.已知點P(x，y)是直線kx＋y＋4＝0(k>0)上一動點，PA，PB是圓C：x2＋y2－2y＝0的兩條切線，A，B為切點，若四邊形PACB的最小面積是2，則k的值為________．
15.已知兩點A（1，2，3），B（2，

，1，2），P（1，1，2）點Q在直線OP上運動，則當 取得最小值時，Q點的坐標 ．
16.如圖，將菱形ABCD沿對角線BD折起，使得C點至C′，E點在線段AC′上，若二面角A-BD-E與二面角E-BD-C′的大小分別為15°和30°，則

三、解答題
17.如圖，在三棱錐 中， ， 平面 ， , 分別為 , 的中點.
（1）求證： 平面 ；
（2）求證：平面 平面 .

18. 命題p：關于x的不等式x2+2ax+4＞0，對一切x∈R恒成立；命題q：函數 在（0，+∞）上是增函數，若p∨q為真，p∧q為假．求實數a的取值范圍．

19. 已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中， AB=AC=1，AA1=2，點O是B1C與BC1的交點．
（1）求AO的距離；
（2）求異面直線AO與BC所成的角的余弦值；[


20. 已知圓C：x2+y2+2x-4y+3=0．
（1）若 為圓C上任意一點，求 的最大值與最小值；
（2）從圓C外一點P（x，y）向圓引切線PM，M為切點，O為坐標原點，且有|PM|=|PO|，求當|PM|最小時的點P的坐標。

21.在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝ BC，∠ABC＝60°，N是BC的中點，將梯形ABCD繞AB旋轉90°，得到梯形ABC′D′(如圖)．

(1)求證：AC⊥平面ABC′；
(2)求證：C′N∥平面ADD′；
(3)求二面角A-C′N-C的余弦值．

22. 已知定點O（0，0），A（3，0），動點P到定點O距離與到定點A的距離的比值是 ．
（Ⅰ）求動點P的軌跡方程，并說明方程表示的曲線；
（Ⅱ）當λ=4時，記動點P的軌跡為曲線D。F，G是曲線D上不同的兩點，對于定點
Q（-3，0），有|QF|•|QG|=4．試問無論F，G兩點的位置怎樣，直線FG能恒和一個定圓相切嗎？若能，求出這個定圓的方程；若不能，請說明理由．

2018-2019學年度第三次月考參考答案（理科）
一、選擇題
A CC AA DCDBD CB
13. 14.2 15.（ ） 16.
17.（1）在 中， 分別為 的中點
又 平面 ， 平面 平面
（2）由條件， 平面 ， 平面
，即 ，
由 ， ，
又 ， 都在平面 內 平面
又 平面 平面 平面
18.
解：若命題p為真命題，
則△=4a2-16＜0，解得-2＜a＜2；
若命題q為真命題，
則3-2a＞1，解得a＜1
∵p∨q為真，p∧q為假．
∴p與q一真一假
即 ，或 [
解得a≤-2，或1≤a＜2
∴實數a的取值范圍為（-∞，-2]∪[-1，2）
19. 解：設
（1） =
所以
（2）由（1）， ， ，
所以 ， ， ，

20．解：（1）設 ，則 表示直線MA的斜率；其中A（1，-2）是定點；
因為 在圓C上，所以圓C與直線MA有公共點，
而直線MA方程為：y+2= (x-1)，則有：C點到直線MA的距離不大于圓C的半徑
即： ，解得： ，即 的最大值為-1，
最小值為-7．
（2）由圓的切線長公式得|PM|2=|PC|2-R2=（x+1）2+（y-2）2-2;[
由|PM|=|PO|得：（x+1）2+（y-2）2-2=x2+y2;即2x-4y+3=0， 即x=2y-
此時|PM|=|PO|=
所以當y= 即P（ ）時，|PM|最�。�
21. (1)證明　∵AD＝ BC，N是BC的中點，∴AD＝NC，又AD∥BC，∴四邊形ANCD是平行四邊形，∴AN＝DC，又∠ABC＝60°，∴AB＝BN＝AD，
∴四邊形ANCD是菱形，∴∠ACB＝ ∠DCB＝30°，
∴∠BAC＝90°，即AC⊥AB，又平面C′BA⊥平面ABC，
平面C′BA∩平面ABC＝AB，
∴AC⊥平面ABC′.
(2)證明:∵AD∥BC

，AD′∥BC′，AD∩AD′＝A，BC∩BC′＝B，∴平面ADD′∥平面BCC′，又C′N⊂平面BCC′，∴C′N∥平面ADD′.
(3)解:∵AC⊥平面ABC′，AC′⊥平面ABC.
如圖建立空間直角坐標系，

設AB＝1，則B(1,0,0)，C(0， ，0)，C′(0,0， )，
N ，∴ ′＝(－1,0， )， ′＝(0，－ ， )，設平面C′NC的法向量為n＝(x，y，z)，則 即
取z＝1，則x＝ ，y＝1，∴n＝( ，1,1)．
∵AC′⊥平面ABC，∴平面C′AN⊥平面ABC，又BD⊥AN，平面C′AN∩平面ABC＝AN，∴BD⊥平面C′AN，BD與AN交于點O，O則為AN的中點，O ，∴平面C′AN的法向量 ＝
∴cos〈n， 〉＝ ＝ ，
由圖形可知二面角A­C′N­C為鈍角，
所以二面角A­C′N­C的余弦值為－
22. 解：（Ⅰ）設動點P的坐標為（x，y），則由 ，得λ（x2+y2）=（x-3）2+y2，
整理得：（λ-1）x2+（λ-1）y2+6x-9=0．
∵λ＞0，∴當λ=1時，則方程可化為：2x-3=0，故方程表示的曲線是線段OA的垂直平分線；
當λ≠1時，則方程可化為 ，即方程表示的曲線是以 為圓心， 為半徑的圓。
（Ⅱ）當λ=4時，曲線D的方程是x2+y2+2x-3=0，故曲線D表示圓，圓心是D（-1，0），半徑是2．
解法一：設點Q到直線FG的距離為d，∠FQG=θ，
則由面積相等得到|QF|•|QG|sinθ=d|FG|，且圓的半徑r=2．
即 ．于是頂點Q到動直線FG的距離為定值，
即動直線FG與定圓（x+3）2+y2=1相切．
②解法二：設F，G兩點的坐標分別為F（x1，y1），G（x2，y2），
則由|QF|•|QG|=4有： ，結合 有： ，
若經過F、G兩點的直線的斜率存在，設直線FG的方程為y=mx+n，
由 ，消去y有：（1+m2）x2+（2mn+2）x+n2-3=0，則 ， ，
所以 ，
由此可得8m2-6mn+n2=1，也即（3m-n）2=1+m2，
假設存在定圓（x-a）2+（y-b）2=r2，總與直線FG相切，
則 是定值r，即d與m，n無關，與 對比，有 ， 此時 ，
故存在定圓（x+3）2+y2=1，
當直線FG的斜率不存在時，x1=x2=-2，直線FG的方程是x=-2，顯然和圓相切．
故直線FG能恒切于一個定圓（x+3）2+y2=1。

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