命題人：高二數(shù)學(xué)備課組(考試時(shí)間：2014年1月　15日　　)滿分：100分(必考試卷)　　　　50分(必考試卷)時(shí)量：120分鐘得分：　　　　　　　必考試卷一、選擇題：本大題共7小題，每小題5分，共35分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)i＋i2在復(fù)平面內(nèi)表示的點(diǎn)在　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.設(shè)xR，則x>e的一個(gè)必要不充分條件是A.x>1 B.x3 D.x5)的兩個(gè)焦點(diǎn)，且F1F2＝8，弦AB過(guò)點(diǎn)F1，則ABF2的周長(zhǎng)為A.10 B.20 C.2 D.47.對(duì)于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f(x)，若滿足(x－2)f′(x)≤0，則必有A.f(－3)＋f(3)2f(2)C.f(－3)＋f(3)≤2f(2) D.f(－3)＋f(7)≥2f(2)二、填空題：本大題共6個(gè)小題，每小題5分，共30分.請(qǐng)把答案填在答題卷對(duì)應(yīng)題號(hào)后的橫線上.8.復(fù)數(shù)10的值是　　　　　　.9.用反證法證明命題：“若x，y>0，且x＋y>2，則，中至少有一個(gè)小于2”時(shí)，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為　　　　　　　　　　　　　　.10.已知等差數(shù)列{an}中，有＝成立.類似地，在等比數(shù)列{bn}中，有　　　　　　　　　　　　　成立.11.曲線y＝sin x在[0，π]上與x軸所圍成的平面圖形的面積為　.12.已知函數(shù)f(x)＝x(x－c)2在x＝2處有極大值，則c的值為　　　　　.13.正整數(shù)按下列方法分組：{1}，{2,3,4}，{5,6,7,8,9}，{10,11,12,13,14,15,16}，…，記第n組中各數(shù)之和為An；由自然數(shù)的立方構(gòu)成下列數(shù)組：{03,13}，{13,23}，{23,33}，{33,43}，…，記第n組中后一個(gè)數(shù)與前一個(gè)數(shù)的差為Bn，則An＋Bn＝　　　　　.三、解答題：本大題共3小題，共35分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.14.(本小題滿分11分)已知函數(shù)f(x)＝ax3＋(a－1)x2＋27(a－2)x＋b的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，試判斷f(x)在區(qū)間[－4，5]上的單調(diào)性，并求出f(x)在區(qū)間[－4，5]上的最值.15.(本小題滿分12分)已知數(shù)列{an}滿足Sn＋an＝2n＋1.(1)寫出a1，a2，a3，并推測(cè)an的表達(dá)式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明所得的結(jié)論.16.(本小題滿分12分)如圖，已知四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為菱形，且AC＝AB＝BC＝2，PA平面ABCD，E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點(diǎn).(1)證明：AEPD；(2)若H為PD上一點(diǎn)，且AHPD，EH與平面PAD所成角的正切值為，求二面角E－AF－C的余弦值.必考試卷一、選擇題：本大題共1個(gè)小題，每小題5分，滿分5分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.定義在R上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖像如圖，若兩個(gè)正數(shù)a，b滿足f(2a＋b)b>0)的離心率為，以橢圓C的左頂點(diǎn)T為圓心作圓T：(x＋2)2＋y2＝r2(r>0)，設(shè)圓T與橢圓C交于點(diǎn)M與點(diǎn)N.(1)求橢圓C的方程；(2)求?的最小值，并求此時(shí)圓T的方程；(3)設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上異于M，N的任意一點(diǎn)，且直線MP，NP分別與x軸交于點(diǎn)R，S，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：?為定值.5.(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)＝ex，xR.(1)若直線y＝kx＋1與f(x)的反函數(shù)的圖象相切，求實(shí)數(shù)k的值；(2)設(shè)x>0，討論曲線y＝與直線y＝m(m>0)公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(3)設(shè)函數(shù)h滿足x2h′(x)＋2xh(x)＝，h(2)＝，試比較h(e)與的大小.湖南師大附中2015屆高二第一學(xué)期期末考試試題數(shù)學(xué)(理科)參考答案－湖南師大附中2015屆高二第一學(xué)期期末考試試題數(shù)學(xué)(理科)參考答案必考試卷一、選擇題1－4.BABC　5－7.BDC二、填空題8.－1　　9.，都不小于2　　10.＝11.2　　12.6　　13.2n3三、解答題14.解：函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，則f(x)是奇函數(shù)，所以a＝1，b＝0，于是f(x)＝x3－27x，f′(x)＝3x2－27.(4分)當(dāng)x(－3,3)時(shí)，f′(x)0.又函數(shù)f(x)在[－4,5]上連續(xù).f(x)在(－3,3)上是單調(diào)遞減函數(shù)，在(－4，－3)和(3,5)上是單調(diào)遞增函數(shù).(9分)f(x)的最大值是54，f(x)的最小值是－54.(11分)15.解：(1)a1＝，a2＝，a3＝，….猜測(cè)an＝2－(5分)(2)由(1)已得當(dāng)n＝1時(shí)，命題成立；(7分)假設(shè)n＝k時(shí)，命題成立，即ak＝2－，(8分)當(dāng)n＝k＋1時(shí)，a1＋a2＋……＋ak＋ak＋1＋ak＋1＝2(k＋1)＋1，且a1＋a2＋……＋ak＝2k＋1－ak2k＋1－ak＋2ak＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3，2ak＋1＝2＋2－，ak＋1＝2－，即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題成立.(11分)根據(jù)得nN＋時(shí)，an＝2－都成立.(12分)16.(1)證明：由AC＝AB＝BC，可得ABC為正三角形.因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，所以AEBC.又BCAD，因此AEAD.因?yàn)镻A平面ABCD，AE平面ABCD，所以PAAE.而PA平面PAD，AD平面PAD且PA∩AD＝A，所以AE平面PAD.又PD平面PAD，所以AEPD.(5分)(2)解：因?yàn)锳HPD，由(1)知AE平面PAD，則EHA為EH與平面PAD所成的角.在RtEAH中，AE＝，此時(shí)tanEHA＝＝＝，因此AH＝.又AD＝2，所以ADH＝45°，所以PA＝2.(8分)解法一：因?yàn)镻A平面ABCD，PA平面PAC，所以平面PAC平面ABCD.過(guò)E作EOAC于O，則EO平面PAC，過(guò)O作OSAF于S，連結(jié)ES，則ESO為二面角E－AF－C的平面角，在RtAOE中，EO＝AE?sin 30°＝，AO＝AE?cos 30°＝，又F是PC的中點(diǎn)，在RtASO中，SO＝AO?sin 45°＝，又SE＝＝＝，在RtESO中，cosESO＝＝＝，即所求二面角的余弦值為.(12分)解法二：由(1)知AE，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，又E，F(xiàn)分別為BC，PC的中點(diǎn)，所以A(0,0,0)，B(，－1,0)，C(，1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(，0,0)，F(xiàn)，所以＝(，0,0)，＝.設(shè)平面AEF的一法向量為m＝(x1，y1，z1)，則因此取z1＝－1，則m＝(0,2，－1)，因?yàn)锽DAC，BDPA，PA∩AC＝A，所以BD平面AFC，故為平面AFC的一法向量.又＝(－，3,0)，所以cos〈m，〉＝＝＝.因?yàn)槎�面角E－AF－C為銳角，所以所求二面角的余弦值為.(12分)必考試卷一、選擇題1.D　【解析】由圖像可知f(x)在(－∞，0)遞減，在(0，＋∞)遞增，所以f(2a＋b)0.由于點(diǎn)M在橢圓C上，所以y＝1－.(*)(4分)由已知T(－2,0)，則＝(x1＋2，y1)，＝(x1＋2，－y1)，?＝(x1＋2，y1)?(x1＋2，－y1)＝(x1＋2)2－y＝(x1＋2)2－＝x＋4x1＋3＝2－.(6分)由于－20，由已知T(－2,0)，則?＝(2cos θ＋2，sin θ)?(2cos θ＋2，－sin θ)＝(2cos θ＋2)2－sin2θ＝5cos2θ＋8cos θ＋3＝52－.(6分)故當(dāng)cos θ＝－時(shí)，?取得最小值為－，此時(shí)M，又點(diǎn)M在圓T上，代入圓的方程得到r2＝.故圓T的方程為：(x＋2)2＋y2＝.(8分)(3)方法一：設(shè)P(x0，y0)，則直線MP的方程為：y－y0＝(x－x0)，令y＝0，得xR＝，同理：xS＝，(10分)故xR?xS＝(**)(11分)又點(diǎn)M與點(diǎn)P在橢圓上，故x＝4(1－y)，x＝4(1－y)，(12分)代入(**)式，得：xR?xS＝＝＝4.所以?＝?＝＝4為定值.(13分)方法二：設(shè)M(2cos θ，sin θ)，N(2cos θ，－sin θ)，不妨設(shè)sin θ>0，P(2cos α，sin α)，其中sin α≠±sin θ湖南師大附中2013-2014學(xué)年高二上學(xué)期期末考試試題 數(shù)學(xué)（理）.DOC
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