贛州市四所重點(diǎn)中學(xué)(贛州一中、平川中學(xué)、瑞金中學(xué)、贛州三中)2015~2014學(xué)年度第一學(xué)期期末聯(lián)考試卷高二數(shù)學(xué)試題(理科) 2015年元月一、選擇題(每小題5分，共50分。)1、觀察下列數(shù)的特點(diǎn)，1, 1, 2, 3, 5, 8, x, 21, 34, 55, …中，其中x是A．12B．13C．14D．152、設(shè)命題p：方程x2＋3x－1＝0的兩根符號(hào)不同；命題q：方程x2＋3x－1＝0的兩根之和為3，判斷命題“(p”、“(q”、“p∧q”、“p∨q”為假命題的個(gè)數(shù)為A．0B．1C．2D．33、向量＝(2, 4, x), ＝(2, y, 2)，若＝6, 且⊥，則x＋y的值為A．－3B．1C．－3或1D．3或14、過拋物線y＝x2上的點(diǎn)M(,)的切線的傾斜角是A．30° B．45°C．60°D．90°5、如圖所示，程序框圖輸出的所有實(shí)數(shù)對(duì)(x, y)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在函數(shù)A．y＝x＋1的圖象上B．y＝2x的圖象上C．y＝2x的圖象上D．y＝2x－1的圖象上6、已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖中圓的直徑為4，該幾何體的體積為V1，直徑為4的球的體積為V2，則V1:V2等于A．1:2B．2:1C．1:1D．1:47、設(shè)A, B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(－1, 0), (1, 0)，條件甲：?＞0；條件乙：點(diǎn)C的坐標(biāo)是方程的解，則甲是乙的A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件8、一個(gè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，且所有棱長(zhǎng)都為a，則此三棱柱的外接球的表面積為A．πa2B．15πa2C．πa2D．πa2 9、已知直線l1: 4x－3y＋6＝0和直線l2: x＝－1，拋物線y2＝4x上一動(dòng)點(diǎn)P，P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是A．2B．3C．D．10、P是雙曲線右支上的一點(diǎn)，M, N分別是圓(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的點(diǎn)，則PM－PN的最大值為A．6B．7C．8D．9二、填空題（每小題5分，共25分）11、某學(xué)校共有師生2400人，現(xiàn)用分層抽樣方法，從所有師生中抽取一個(gè)容量為160的樣本，已知從學(xué)生中抽取的人數(shù)為150，那么該學(xué)校的教師人數(shù)是。12、若命題“(x∈R, x2＋ax＋1＜0”是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為。13、雙曲線的兩條漸近線將平面劃分為“上、下、左、右”四個(gè)區(qū)域（不含邊界），若點(diǎn)(1, 2)在“上”區(qū)域內(nèi)，則雙曲線離心率的取值范圍為。14、如圖，在等腰直角△ABC中，過直角頂點(diǎn)C在△ACB內(nèi)任作一條射線CM，與線段AB交于點(diǎn)M，則AM＜AC的概率為。15、如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1，則下列四個(gè)命題：①P在直線BC1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐A—D1PC的體積不變；②P在直線BC1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線AP與平面ACD1所成角的大小不變；③P在直線BC1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，二面角P—AD1—C的大小不變；④M是平面A1B1C1D1上到點(diǎn)D和C1距離相等的點(diǎn)，則M點(diǎn)的軌跡是過D1點(diǎn)的直線D1A1。其中真命題的編號(hào)是。三、解答題（共75分）16、(12分)設(shè)集合A＝(?∞, ?2]∪[3, ＋∞)，關(guān)于x的不等式(x－2a)?(x＋a)＞0的解集為B（其中a＜0).（1）求集合B；（2）設(shè)p: x∈A, q: x∈B，且(p是(q的充分不必要條件，求a的取值范圍。17、(12分)已知函數(shù)y＝x－1，令x＝?4, ?3, ?2, －1, 0, 1, 2, 3, 4，可得函數(shù)圖象上的九個(gè)點(diǎn)，在這九個(gè)點(diǎn)中隨機(jī)取出兩個(gè)點(diǎn)P1(x1, y1), P2(x2, y2)，（1）求P1, P2兩點(diǎn)在雙曲線xy＝6上的概率；（2）求P1, P2兩點(diǎn)不在同一雙曲線xy＝k(k≠0)上的概率。18、(12分)是否存在常數(shù)a, b使等式對(duì)于一切n∈N*都成立？若存在，求出a, b的值，若不存在，請(qǐng)說明理由。19、(12分)如圖，在四棱錐O—ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M為OA中點(diǎn)。（1）求證：直線BD⊥平面OAC；（2）求直線MD與平面OAC所成角的大��；（3）求點(diǎn)A到平面OBD的距離。20、(13分)如圖，橢圓過點(diǎn)P(1, )，其左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,離心率e＝, M, N是直線x＝4上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且?＝0.（1）求橢圓的方程；（2）求MN的最小值；（3）以MN為直徑的圓C是否過定點(diǎn)？請(qǐng)證明你的結(jié)論。21、(14分)已知定點(diǎn)A(－2, 0)和B(2, 0)，曲線E上任一點(diǎn)P滿足PA－PB＝2.（1）求曲線E的方程；（2）延長(zhǎng)PB與曲線E交于另一點(diǎn)Q，求PQ的最小值；（3）若直線l的方程為x＝a(a≤)，延長(zhǎng)PB與曲線E交于另一點(diǎn)Q，如果存在某一位置，使得從PQ的中點(diǎn)R向l作垂線，垂足為C，滿足PC⊥QC，求a的取值范圍。贛州市四所重點(diǎn)中學(xué)(贛州一中、平川中學(xué)、瑞金中學(xué)、贛州三中)2015~2015學(xué)年度第一學(xué)期期末聯(lián)考試卷高二年級(jí)數(shù)學(xué)(科)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)2015-1二、填空題) 14、15、①③④三、解答題本大題共6小題共75分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。p：x＝∈(－2，3)，q∈[2a，?a] ………………………6分依題意有：(－2，3) [2a，?a] ………………………8分故： 解得a≤－3 ………………………12分17、解：（1）函數(shù)圖象上的九個(gè)點(diǎn)分別是：(?4，?5)，(?3，?4)，(?2，?3)，(?1，?2)，(0，?1)，(1，0)，(2，1)，(3，2)，(4，3) ……………………2分從九個(gè)點(diǎn)中選2個(gè)點(diǎn)共有36種，其中在雙曲線xy＝6上 ……………………4分設(shè)有：(?2，?3)，(3，2)，故：P1＝ ……………………6分（2）P1，P2在同一雙曲線xy＝k(k≠0)的有(?3，?4)和(4，3)；(?2，?3)和(3，2)；(?1，?2)和(2，1) …………………………9分故：P2＝1－＝ ……………………12分18、解：若存在常數(shù)a，b使得等式成立，將n＝1，n＝2代入等式有：即有： …………………………4分對(duì)于n為所有正整數(shù)是否成立，再用數(shù)學(xué)歸納法證明證明：（1）當(dāng)n＝1時(shí)，等式成立。 …………………………5分（2）假設(shè)n＝k時(shí)等式成立，即 …………………………7分當(dāng)n＝k＋1時(shí)，即 ……………………11分也就是說n＝k＋1時(shí)，等式成立，由（1）（2）可知等式對(duì)于任意的n∈N*都成立。 ………………………12分19、解：方法一：以A為原點(diǎn)，AB，AD，AO分別x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，A－xyz。（1）∵＝(－1，1，0)，＝(0，0，2)，＝(1，1，0)∴＝0，＝－1＋1＝0∴BD⊥AD，BD⊥AC，又AO∩AC＝A故BD⊥平面OAC …………………………4分（2）取平面OAC的法向量＝(－1，1，0)，又＝(0，1，－1)則：∴＝60(故：MD與平面OAC所成角為30( …………………………8分（3）設(shè)平面OBD的法向量為＝(x，y，z)，則取＝(2，2，1)則點(diǎn)A到平面OBD的距離為d＝ …………………………12分方法二：（1）由OA⊥底面ABCD，OA⊥BD�！叩酌鍭BCD是邊長(zhǎng)為1的正方形∴BD⊥AC ∴BD⊥平面OAC …………………………4分（2）設(shè)AC與BD交于點(diǎn)E，連結(jié)EM，則∠DME是直線MD與平面OAC折成的角∵M(jìn)D＝，DE＝∴直線MD與平面OAC折成的角為30( …………………………8分（3）作AH⊥OE于點(diǎn)H。∵BD⊥平面OAC∴BO⊥AH線段AH的長(zhǎng)就是點(diǎn)A到平面OBD的距離。∴AH＝∴點(diǎn)A到平面OBD的距離為 …………………………12分20、解：（1）∵e＝，且過點(diǎn)P（1，）∴ 解得：a＝2，b＝ …………………………3分∴橢圓方程為＝1 …………………………4分（2）設(shè)點(diǎn)M（4，y1），N（4，y2），則＝（5，y1），＝（3，y2），則＝15＋y1?y2＝0，∴y1?y2＝－15 …………………………6分又∵M(jìn)N＝y(tǒng)2－y1＝??y1＝＋y1≥2∴MN的最小值為2。(y1＝±等號(hào)成立) …………………………8分（3）圓心C的坐標(biāo)為（4，），半徑r＝，圓C的施方程為：(x－4)2＋(y－)2＝ …………………………10分整理得x2＋y2?8x?(y1＋y2)y＋16＋y1?y2＝0∵y1?y2＝－15 ∴x2＋y2?8x?(y1＋y2)y＋1＝0 ……………………………12分令y＝0，得x2－8x＋1＝0，∴x＝4±，∴圓C過定點(diǎn)（4，±，0）……………………………13分21、解：（1）由雙曲線的定義得：曲線E是以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，所以曲線E的方程為：x2－＝1(x＞0) ……………………………2分（2）若直線PQ不垂直于x軸，設(shè)直線PQ的方程為：y＝k(x－2)由，得(3－k2)x2＋4k2x－(4k2＋3)＝0 ……………………………3分設(shè)p(x1，y1)，Q(x2，y2)，這里x1＞0，x2＞0則： 得：k2＞3…………………………6分PQ＝x1－x2＝＝6＋＞6 …………………………6分若直線PQ垂直于x軸，則直線PQ的方程為x＝2。 ……………………………8分這時(shí)P(2，3)，Q(2，－3)，所以PQ＝6，綜上：PQmin＝6 ……………………………9分（3）據(jù)題意得：CR＝PQ。若直線PQ不垂直于x軸，由CR＝－a＝－a …………………………10分∴－a＝?，a＝＝－1＋＜－1 …………………12分若直線PQ垂直于x軸，這時(shí)PQ＝6，CR＝2－a ∴a＝－1。 ……………………………13分綜上a≤－1。 ……………………………14分江西省贛州市四所重點(diǎn)中學(xué)2015-2016學(xué)年高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題 Word版含答案
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