3．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試浙江數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版））設(shè)袋子中裝有 個(gè)紅球, 個(gè)黃球, 個(gè)藍(lán)球,且規(guī)定:取出一個(gè)紅球得1分,取出一個(gè)黃球2分,取出藍(lán)球得3分.
(1)當(dāng) 時(shí),從該袋子中任取(有放回,且每球取到的機(jī)會(huì)均等)2個(gè)球,記隨機(jī)變量 為取出此2球所得分?jǐn)?shù)之和,.求 分布列;
(2)從該袋子中任取(且每球取到的機(jī)會(huì)均等)1個(gè)球,記隨機(jī)變量 為取出此球所得分?jǐn)?shù).若 ,求

【答案】解:(Ⅰ)由已知得到:當(dāng)兩次摸到的球分別是紅紅時(shí) ,此時(shí) ;當(dāng)兩次摸到的球分別是黃黃,紅藍(lán),藍(lán)紅時(shí) ,此時(shí) ;當(dāng)兩次摸到的球分別是紅黃,黃紅時(shí) ,此時(shí) ;當(dāng)兩次摸到的球分別是黃藍(lán),藍(lán)黃時(shí) ,此時(shí) ;當(dāng)兩次摸到的球分別是藍(lán)藍(lán)時(shí) ,此時(shí) ;所以 的分布列是:
23456
P
(Ⅱ)由已知得到: 有三種取值即1,2,3,所以 的分布列是:
123
P
所以: ,所以 .
4．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標(biāo)Ⅱ卷數(shù)學(xué)（理）（純WORD版含答案））經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品,在一個(gè)銷售季度內(nèi),每售出 t該產(chǎn)品獲利潤(rùn) 元,未售出的產(chǎn)品,每 t虧損 元.根據(jù)歷史資料,得到銷售季度內(nèi)市場(chǎng)需求量的頻率分布直方圖,如圖所示.經(jīng)銷商為下一個(gè)銷售季度購(gòu)進(jìn)了 t該農(nóng)產(chǎn)品,以 (單位:t, )表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)的市場(chǎng)需求量, (單位:元)表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)銷商該農(nóng)產(chǎn)品的利潤(rùn).
(Ⅰ)將 表示為 的函數(shù);
(Ⅱ)根據(jù)直方圖估計(jì)利潤(rùn) 不少于57000元的概率;
(Ⅲ)在直方圖的需求量分組中,以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值,需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點(diǎn)值的概率(例如:若 ,則取 ,且 的概率等于需求量落入 的概率),求利潤(rùn) 的數(shù)學(xué)期望.

【答案】

5．（2013年高考江西卷（理））小波以游戲方式?jīng)Q定參加學(xué)校合唱團(tuán)還是參加學(xué)校排球隊(duì).游戲規(guī)則為:以O(shè)為起點(diǎn),再?gòu)?(如圖)這8個(gè)點(diǎn)中任取兩點(diǎn)分別為終點(diǎn)得到兩個(gè)向量,記這兩個(gè)向量的數(shù)量積為 .若 就參加學(xué)校合唱團(tuán),否則就參加學(xué)校排球隊(duì).
(1)求小波參加學(xué)校合唱團(tuán)的概率;
(2)求 的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【答案】解:(1)從8個(gè)點(diǎn)中任意取兩點(diǎn)為向量終點(diǎn)的不同取法共有 種, 時(shí),兩向量夾角為 直角共有8種情形;所以小波參加學(xué)校合唱團(tuán)的概率為 .
(2)兩向量數(shù)量積 的所有可能取值為 時(shí),有兩種情形; 時(shí),有8種情形; 時(shí),有10種情形.所以 的分布列為:


.
6．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試山東數(shù)學(xué)（理）試題（含答案））甲、乙兩支排球隊(duì)進(jìn)行比賽,約定先勝3局者獲得比賽的勝利,比賽隨即結(jié)束,除第五局甲隊(duì)獲勝的概率是 外,其余每局比賽甲隊(duì)獲勝的概率都是 ,假設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.
(Ⅰ)分別求甲隊(duì)以3:0,3:1,3:2勝利的概率;
(Ⅱ)若比賽結(jié)果為3:0或3:1,則勝利方得3分,對(duì)方得0分;若比賽結(jié)果為3:2,則勝利方得2分、對(duì)方得1分.求乙隊(duì)得分 的分布列及數(shù)學(xué)期望.

【答案】解:(Ⅰ)記“甲隊(duì)以3:0勝利”為事件 ,“甲隊(duì)以3:1勝利”為事件 ,“甲隊(duì)以3:2勝利”為事件 ,由題意,各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立,
故 ,
,

所以,甲隊(duì)以3:0,3:1,3:2勝利的概率分別是 , , ;
(Ⅱ)設(shè)“乙隊(duì)以3:2勝利”為事件 ,由題意,各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立,所以

由題意,隨機(jī)變量 的所有可能的取值為0,1,2,3,,根據(jù)事件的互斥性得
,
,
,

故 的分布列為
0123

所以
7．（2013年高考湖北卷（理））假設(shè)每天從甲地去乙地的旅客人數(shù) 是服從正態(tài)分布 的隨機(jī)變量.記一天中從甲地去乙地的旅客人數(shù)不超過900的概率為 .
(I)求 的值;(參考數(shù)據(jù):若 ,有 , , .)
(II)某客運(yùn)公司用 . 兩種型號(hào)的車輛承擔(dān)甲.乙兩地間的長(zhǎng)途客運(yùn)業(yè)務(wù),每車每天往返一次, . 兩種車輛的載客量分別為36人和60人,從甲地去乙地的運(yùn)營(yíng)成本分別為1600元/輛和2400元/輛.公司擬組建一個(gè)不超過21輛車的客運(yùn)車隊(duì),并要求 型車不多于 型車7輛.若每天要以不小于 的概率運(yùn)完從甲地去乙地的旅客,且使公司從甲地去乙地的運(yùn)營(yíng)成本最小,那么應(yīng)配備 型車. 型車各多少輛?

【答案】解:(I)
(II)設(shè)配備 型車 輛, 型車 輛,運(yùn)營(yíng)成本為 元,由已知條件得
,而

作出可行域,得到最優(yōu)解 .
所以配備 型車5輛, 型車12輛可使運(yùn)營(yíng)成本最小.
8．（2013年高考新課標(biāo)1（理））一批產(chǎn)品需要進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn),檢驗(yàn)方案是:先從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn),這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為n.如果n=3,再?gòu)倪@批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn),若都為優(yōu)質(zhì)品,則這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn);如果n=4,再?gòu)倪@批產(chǎn)品中任取1件作檢驗(yàn),若為優(yōu)質(zhì)品,則這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn);其他情況下,這批產(chǎn)品都不能通過檢驗(yàn).
假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為50%,即取出的產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為,且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨(dú)立
(1)求這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)的概率;
(2)已知每件產(chǎn)品檢驗(yàn)費(fèi)用為100元,凡抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗(yàn),對(duì)這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗(yàn)所需的費(fèi)用記為X(單位:元),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

【答案】設(shè)第一次取出的4件產(chǎn)品中恰有3件優(yōu)質(zhì)品為事件A,第一次取出的4件產(chǎn)品中全為優(yōu)質(zhì)品為事件B,第二次取出的4件產(chǎn)品都是優(yōu)質(zhì)品為事件C,第二次取出的1件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品為事件D,這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)為事件E,根據(jù)題意有E=(AB)∪(CD),且AB與CD互斥,
∴P(E)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(BA)+P(C)P(DC)= + =
(Ⅱ)X的可能取值為400,500,800,并且
P(X=400)=1- = ,P(X=500)= ,P(X=800)= = ,
∴X的分布列為
X400500800
P

EX=400× +500× +800× =506.25

9．（2013年高考四川卷（理））某算法的程序框圖如圖所示, 其中輸入的變量 在 這 個(gè)整數(shù)中等可能隨機(jī)產(chǎn)生.
(Ⅰ)分別求出按程序框圖正確編程運(yùn)行時(shí)輸出 的值為 的概率 ;
(Ⅱ)甲、乙兩同學(xué)依據(jù)自己對(duì)程序框圖的理解,各自編寫程序重復(fù)運(yùn)行 次后,統(tǒng)計(jì)記錄了輸出 的值為 的頻數(shù).以下是甲、乙所作頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表的部分?jǐn)?shù)據(jù).
運(yùn)行
次數(shù) 輸出 的值
為 的頻數(shù)輸出 的值
為 的頻數(shù)輸出 的值
為 的頻數(shù)



甲的頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表(部分) 乙的頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表(部分)
運(yùn)行
次數(shù) 輸出 的值
為 的頻數(shù)輸出 的值
為 的頻數(shù)輸出 的值
為 的頻數(shù)

當(dāng) 時(shí),根據(jù)表中的數(shù)據(jù),分別寫出甲、乙所編程序各自輸出 的值為 的頻率(用分?jǐn)?shù)表示),并判斷兩位同學(xué)中哪一位所編寫程序符合算法要求的可能性較大;
(Ⅲ)按程序框圖正確編寫的程序運(yùn)行3次,求輸出 的值為2的次數(shù) 的分布列及數(shù)學(xué)期望.

【答案】解: .變量x是在1,2,3,24這24個(gè)整數(shù)中隨機(jī)產(chǎn)生的一個(gè)數(shù),共有24種可能.
當(dāng)x從1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23這12個(gè)數(shù)中產(chǎn)生時(shí),輸出y的值為1,故 ;
當(dāng)x從2,4,8,10,14,16,20,22這8個(gè)數(shù)中產(chǎn)生時(shí),輸出y的值為2,故 ;
當(dāng)x從6,12,18,24這4個(gè)數(shù)中產(chǎn)生時(shí),輸出y的值為3,故
當(dāng)n=2100時(shí),甲、乙所編程序各自輸出y的值為i(i=1,2,3)的頻率如下:
輸出 的值
為 的頻率輸出 的值
為 的頻率輸出 的值
為 的頻率
甲
乙

比較頻率趨勢(shì)與概率,可得乙同學(xué)所編程序符合算法要求的可能性較大
(3)隨機(jī)變量 可能餓取值為0,1,2,3.


故 的分布列為

所以
即 的數(shù)學(xué)期望為1
2．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試安徽數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版））某高校數(shù)學(xué)系計(jì)劃在周六和周日各舉行一次主題不同的心理測(cè)試活動(dòng),分別由李老師 和張老師負(fù)責(zé),已知該系共有 位學(xué)生,每次活動(dòng)均需該系 位學(xué)生參加( 和 都是固定的正整數(shù)).假設(shè)李老師和張老師分別將各自 活動(dòng)通知的信息獨(dú)立、隨機(jī)地發(fā)給該系 位學(xué)生,且所發(fā)信息都能收到.記該系收到李老師或張老師所發(fā)活動(dòng)通知信息的學(xué)生人數(shù)為
(Ⅰ)求該系學(xué)生甲收到李老師或張老師所發(fā)活動(dòng)通知信息的概率;
(Ⅱ)求使 取得最大值的整數(shù) .

【答案】解: (Ⅰ) .

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