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深圳市高級中學(xué)2014屆第一次月考
數(shù)學(xué)（理）試題
注：請將答案填在答題卷相應(yīng)的位置上
一、：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的．
1. 已知全集 ，集合 ,則
A. B. C. D.
2. 如果函數(shù) 上單調(diào)遞減，則實數(shù) 滿足的條件是
A． B． C． D．
3. 下列函數(shù)中，滿足 的是
A． B． C． D．
4. 已知函數(shù) ，下面結(jié)論錯誤的是
A．函數(shù) 的最小正周期為 B．函數(shù) 是偶函數(shù)
C．函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 對稱 D．函數(shù) 在區(qū)間 上是增函數(shù)
5. 給出如下四個命題：
①若“ 且 ”為假命題，則 、 均為假命題；
②命題“若 且 ，則 ”的否命題為“若 且 ，則 ”；
③在 中，“ ”是“ ”的充要條件。
④命題 “ ”是真命題. 其中正確的命題的個數(shù)是
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
6. 定義行列式運算a1　a2a3　a4＝a1a4－a2a3；將函數(shù)f(x)＝3 　sin x1　　cos x的圖象向左平移n(n>0)個單位，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則n的最小值為(　　)
A.π6 B.π3 C.5π6 D.2π3
7. 函數(shù) 的一段圖象是

8. 設(shè)函數(shù) 其中 表示不超過 的最大整數(shù)，如 =-2， =1， =1，若直線y= 與函數(shù)y= 的圖象恰有三個不同的交點，則 的取值范圍是
A． B． C． D．

二、題：本大題共6小題，每小題5分，滿分30分．
9. 已知函數(shù) ，則 .
10. 已知 ，則 _____________.
11. 曲線 所圍成的封閉圖形的面積為 ．
12. 已知函數(shù) 若命題“ ”為真，則m的取值范圍是___.
13. 設(shè) ，且 ，則 _________.
14. 若關(guān)于 的方程 有四個不同的實數(shù)解，則實數(shù)k的取值范圍是 .

三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
15．（本小題滿分12分）
已知函數(shù)
（I）求函數(shù) 的最小正周期；
（II）確定函數(shù) 在 上的單調(diào)性并求在此區(qū)間上 的最小值.

16．（本小題滿分12分）
已知函數(shù)f(x)＝Asinπ3x＋φ，x∈R，A＞0，0＜φ＜π2，y＝f(x)的部分圖象如圖所示，P、Q分別為該圖象的最高點和最低點，點P的坐標為(1，A)．

(1)求f(x)的最小正周期及φ的值；
(2)若點R的坐標為(1，0)，∠PRQ＝2π3，求A的值．
17. （本小題滿分14分）
已知等比數(shù)列 中， ， ， ．
(Ⅰ)求數(shù)列 的通項公式；
(Ⅱ)設(shè) ，求 的最大值及相應(yīng)的 值．
18. （本小題滿分14分）
設(shè)二次函數(shù) 滿足條件：（1） ；（2）函數(shù)在
軸上的截距為1，且 .
(1)求 的解析式;
(2)若 的最小值為 ,請寫出 的表達式;
(3)若不等式 在 時恒成立,求實數(shù) 的取值范圍.

19.（本題滿分14分）
已知函數(shù) 的圖象如圖，直線 在原點處與函數(shù)圖象相切，且此切線與函數(shù)圖象所圍成的區(qū)域(陰影)面積為274.
（1）求 的解析式
（2）若常數(shù) ，求函數(shù) 在區(qū)間 上的最大值.
20．（本小題滿分14分）
已知函數(shù) ， .
(Ⅰ)若 ，求函數(shù) 在區(qū)間 上的最值；
(Ⅱ)若 恒成立，求 的取值范圍. 注： 是自然對數(shù)的底數(shù)

深圳市高級中學(xué)2014屆第一次月考
數(shù)學(xué)（理）試題 答案
注：請將答案填在答題卷相應(yīng)的位置上
一、：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的．
1. 已知全集 ，集合 ， 則 C
A. B. C. D.
2. 如果函數(shù) 上單調(diào)遞減，則實數(shù) 滿足的條件是（ A ）
A． B． C． D．
3. 下列函數(shù)中，滿足 的是C
A． B． C． D．
4. 已知函數(shù) ，下面結(jié)論錯誤的是C
A．函數(shù) 的最小正周期為 B．函數(shù) 是偶函數(shù)
C．函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 對稱 D．函數(shù) 在區(qū)間 上是增函數(shù)
5. 給出如下四個命題：
①若“ 且 ”為假命題，則 、 均為假命題；
②命題“若 且 ，則 ”的否命題為“若 且 ，則 ”；
③在 中，“ ”是“ ”的充要條件。
④命題 “ ”是真命題. 其中正確的命題的個數(shù)是( D )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
6. 定義行列式運算a1　a2a3　a4＝a1a4－a2a3；將函數(shù)f(x)＝3 　sin x1　　cos x的圖象向左平移n(n>0)個單位，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則n的最小值為( C)
A.π6 B.π3 C.5π6 D.2π3
7. 函數(shù) 的一段圖象是B
8. 設(shè)函數(shù) 其中 表示不超過 的最大整數(shù)，如 =-2， =1， =1，若直線y= 與函數(shù)y= 的圖象恰有三個不同的交點，則 的取值范圍是 D
A． B． C． D．

二、題：本大題共6小題，每小題5分，滿分30分．
9. 已知函數(shù) ，則 .
10. 已知 ，則 ____ _________.
11. 曲線 所圍成的封閉圖形的面積為 103 ．
12. 已知函數(shù) 若命題“ ”為真，則m的取值范圍是
________.（―∞，-2）
13. 設(shè) ，且 ，則 _________
14. 若關(guān)于 的方程 有四個不同的實數(shù)解，則 的取值范圍是 .
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
15．（本小題滿分12分）
已知函數(shù)
（I）求函數(shù) 的最小正周期；
（II）確定函數(shù) 在 上的單調(diào)性并求在此區(qū)間上 的最小值.
15解 ，…………3分
則 的最小正周期是 ；……………4分
16．（本小題滿分12分）
已知函數(shù)f(x)＝Asinπ3x＋φ，x∈R，A＞0，0＜φ＜π2，y＝f(x)的部分圖象如圖所示，P、Q分別為該圖象的最高點和最低點，點P的坐標為(1，A)．
(1)求f(x)的最小正周期及φ的值；
(2)若點R的坐標為(1，0)，∠PRQ＝2π3，求A的值．
解析：(1)由題意得T＝2ππ3＝6………………………….2分
因為P(1，A)在y＝Asinπ3x＋φ的圖象上，所以sinπ3＋φ＝1.
又因為0＜φ＜π2，所以φ＝π6…………………………6分
(2)設(shè)點Q的坐標為(x0，－A)．

由題意可知π3x0＋π6＝3π2，得x0＝4，所以Q(4，－A)．-----------------------8分
連接PQ，在△PRQ中，∠PRQ＝2π3，由余弦定理得
cos ∠PRQ＝RP2＋RQ2－PQ22RP•RQ＝A2＋9＋A2－（9＋4A2）2A•9＋A2＝－12，解得A2＝3.
又A＞0，所以A＝3.--------------------------------12分
17. （本小題滿分14分）
已知等比數(shù)列 中， ， ， ．
(Ⅰ)求數(shù)列 的通項公式；
(Ⅱ)設(shè) ，求 的最大值及相應(yīng)的 值．
1．解：(Ⅰ) ， ，所以： ． …（3分）
以 為首項．　　 ……………（5分）
所以 通項公式為： ．　 ……（7分）
(Ⅱ)設(shè) ，則 ．　 　　…………………（8分）
所以 是首項為6，公差為 的等差數(shù)列．　　 ………………（10分）
= ．　…………（12分）
因為 是自然數(shù)，所以 或 時， 最大，其最值是 21． ……（14分）
18. （本小題滿分14分）
設(shè)二次函數(shù) 滿足條件：（1） ；（2）函數(shù)在
軸上的截距為1，且 .
(1)求 的解析式;
(2)若 的最小值為 ,請寫出 的表達式;
(3)若不等式 在 時恒成立,求實數(shù) 的取值范圍.
解: (1) …………………………4分
(2) ----------------10分
(3) -----------------14分
19.（本題滿分14分）
已知函數(shù) 的圖象如圖，直線 在原點處與函數(shù)圖象相切，且此切線與函數(shù)圖象所圍成的區(qū)域(陰影)面積為274.
(1) 求
（2）若常數(shù) ，求函數(shù) 在區(qū)間 上的最大值.
解析：由f(0)＝0得c＝0，………………….2分
f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
由f′(0)＝0得b＝0，………………………4分
∴f(x)＝x3＋ax2＝x2(x＋a)，
由∫－a0[－f(x)]dx＝274得a＝－3.
∴f(x)＝x3－3x2………………………………8分
（2）由（1）知 .
的取值變化情況如下：
2

單調(diào)
遞增極大值
單調(diào)
遞減極小值
單調(diào)
遞增
又 ,
①當(dāng) 時, ；……………11分
②當(dāng) 時,
綜上可知 …………………………………14分
20．（本小題滿分14分）
已知函數(shù) ， .
(Ⅰ)若 ，求函數(shù) 在區(qū)間 上的最值；
(Ⅱ)若 恒成立，求 的取值范圍.
注： 是自然對數(shù)的底數(shù)
. 解：(Ⅰ) 若 ，則 .
當(dāng) 時， ，
，
所以函數(shù) 在 上單調(diào)遞增；
當(dāng) 時， ，
.
所以函數(shù) 在區(qū)間 上單調(diào)遞減，
所以 在區(qū)間 上有最小值 ，又因為 ，
，而 ，
所以 在區(qū)間 上有最大值 ………………………………….5分
(Ⅱ) 函數(shù) 的定義域為 ．
由 ，得 ． （*）
（?）當(dāng) 時， ， ，
不等式（*）恒成立，所以 ；……………………………………….7分
（?）當(dāng) 時，
①當(dāng) 時，由 得 ，即 ，
現(xiàn)令 ， 則 ，
因為 ，所以 ，故 在 上單調(diào)遞增，
從而 的最小值為 ，因為 恒成立等價于 ，
所以 ；………………………………………………….11
②當(dāng) 時， 的最小值為 ，而 ，顯然不滿足題意……….13分
綜上可得，滿足條件的 的取值范圍是 . …………………………………14分

5 Y


本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/gaosan/231918.html

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