第十二 立體幾何
一、基礎(chǔ)知識(shí)
公理1 一條直線。上如果有兩個(gè)不同的點(diǎn)在平面。內(nèi)．則這條直線在這個(gè)平面內(nèi)，記作：a a．
公理2 兩個(gè)平面如果有一個(gè)公共點(diǎn)，則有且只有一條通過(guò)這個(gè)點(diǎn)的公共直線，即若P∈α∩β，則存在唯一的直線m，使得α∩β=m,且P∈m。
公理3 過(guò)不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)平面。即不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面．
推論l 直線與直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面．
推論2 兩條相交直線確定一個(gè)平面．
推論3 兩條平行直線確定一個(gè)平面．
公理4 在空間內(nèi)，平行于同一直線的兩條直線平行．
定義1 異面直線及成角：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線．過(guò)空間任意一點(diǎn)分別作兩條異面直線的平行線，這兩條直線所成的角中，不超過(guò)900的角叫做兩條異面直線成角．與兩條異面直線都垂直相交的直線叫做異面直線的公垂線，公垂線夾在兩條異面直線之間的線段長(zhǎng)度叫做兩條異面直線之間的距離．
定義2 直線與平面的位置關(guān)系有兩種；直線在平面內(nèi)和直線在平面外．直線與平面相交和直線與平面平行(直線與平面沒(méi)有公共點(diǎn)叫做直線與平面平行)統(tǒng)稱直線在平面外．
定義3 直線與平面垂直：如果直線與平面內(nèi)的每一條直線都垂直，則直線與這個(gè)平面垂直．
定理1 如果一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則直線與平面垂直．
定理2 兩條直線垂直于同一個(gè)平面，則這兩條直線平行．
定理3 若兩條平行線中的一條與一個(gè)平面垂直，則另一條也和這個(gè)平面垂直．
定理4 平面外一點(diǎn)到平面的垂線段的長(zhǎng)度叫做點(diǎn)到平面的距離，若一條直線與平面平行，則直線上每一點(diǎn)到平面的距離都相等，這個(gè)距離叫做直線與平面的距離．
定義5 一條直線與平面相交但不垂直的直線叫做平面的斜線．由斜線上每一點(diǎn)向平面引垂線，垂足叫這個(gè)點(diǎn)在平面上的射影．所有這樣的射影在一條直線上，這條直線叫做斜線在平面內(nèi)的射影．斜線與它的射影所成的銳角叫做斜線與平面所成的角．
結(jié)論1 斜線與平面成角是斜線與平面內(nèi)所有直線成角中最小的角．
定理4 (三垂線定理)若d為平面。的一條斜線，b為它在平面a內(nèi)的射影，c為平面a內(nèi)的一條直線，若c b，則c a．逆定理：若c a，則c b．
定理5 直線d是平面a外一條直線，若它與平面內(nèi)一條直線b平行，則它與平面a平行
定理6 若直線。與平面α平行，平面β經(jīng)過(guò)直線a且與平面a交于直線6，則a//b．
結(jié)論2 若直線。與平面α和平面β都平行，且平面α與平面β相交于b，則a//b．
定理7 (等角定理)如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行且方向相同，則兩個(gè)角相等．
定義6 平面與平面的位置關(guān)系有兩種：平行或相交．沒(méi)有公共點(diǎn)即平行，否則即相交．
定理8 平面a內(nèi)有兩條相交直線a，b都與平面β平行，則α//β.
定理9 平面α與平面β平行，平面γ∩α=a，γ∩β=b，則a//b．
定義7 (二面角)，經(jīng)過(guò)同一條直線m的兩個(gè)半平面α,β(包括直線m，稱為二面角的棱)所組成的圖形叫二面角，記作α—m—β，也可記為A—m一B，α—AB—β等．過(guò)棱上任意一點(diǎn)P在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作棱的垂線AP，BP，則∠APB(≤900)叫做二面角的平面角．
它的取值范圍是[0，π]．
特別地，若∠APB＝900，則稱為直二面角，此時(shí)平面與平面的位置關(guān)系稱為垂直，即α β.
定理10 如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直．
定理11 如果兩個(gè)平面垂直，過(guò)第一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)作另一個(gè)平面的垂線在第一個(gè)平面內(nèi)．
定理12 如果兩個(gè)平面垂直，過(guò)第一個(gè)子面內(nèi)的一點(diǎn)作交線的垂線與另一個(gè)平面垂直．
定義8 有兩個(gè)面互相平行而其余的面都是平行四邊形，并且每相鄰兩個(gè)平行四邊形的公共邊(稱為側(cè)棱)都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱．兩個(gè)互相平行的面叫做底面．如果底面是平行四邊形則叫做平行六面體；側(cè)棱與底面垂直的棱柱叫直棱柱；底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱．底面是矩形的直棱柱叫做長(zhǎng)方體．棱長(zhǎng)都相等的正四棱柱叫正方體．
定義9 有一個(gè)面是多邊形(這個(gè)面稱為底面)，其余各面是一個(gè)有公共頂點(diǎn)的三角形的多面體叫棱錐．底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心的棱錐叫正棱錐．
定理13 (凸多面體的歐拉定理)設(shè)多面體的頂點(diǎn)數(shù)為V，棱數(shù)為E，面數(shù)為F，則
V+F-E=2．
定義10 空間中到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)球面．球面所圍成的幾何體叫做球．定長(zhǎng)叫做球的半徑，定點(diǎn)叫做球心．
定理14 如果球心到平面的距離d小于半徑R，那么平面與球相交所得的截面是圓面，圓心與球心的連線與截面垂直．設(shè)截面半徑為r，則d2+r2＝R2．過(guò)球心的截面圓周叫做球大圓．經(jīng)過(guò)球面兩點(diǎn)的球大圓夾在兩點(diǎn)間劣弧的長(zhǎng)度叫兩點(diǎn)間球面距離．
定義11 (經(jīng)度和緯度)用平行于赤道平面的平面去截地球所得到的截面四周叫做緯線．緯線上任意一點(diǎn)與球心的連線與赤道平面所成的角叫做這點(diǎn)的緯度．用經(jīng)過(guò)南極和北極的平面去截地球所得到的截面半圓周(以兩極為端點(diǎn))叫做經(jīng)線，經(jīng)線所在的平面與本初子午線所在的半平面所成的二面角叫做經(jīng)度，根據(jù)位置不同又分東經(jīng)和西經(jīng)．
定理15 (祖 原理)夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.
定理16 (三面角定理)從空間一點(diǎn)出發(fā)的不在同一個(gè)平面內(nèi)的三條射線共組成三個(gè)角．其中任意兩個(gè)角之和大于另一個(gè)，三個(gè)角之和小于3600．
定理17 （面積公式）若一個(gè)球的半徑為R，則它的表面積為S球面=4πR2。若一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，底面半徑為r，則它的側(cè)面積S側(cè)=πrl.
定理18 （體積公式）半徑為R的球的體積為V球= ；若棱柱（或圓柱）的底面積為s，高h(yuǎn)，則它的體積為V=sh；若棱錐（或圓錐）的底面積為s，高為h，則它的體積為V=
定理19 如圖12-1所示，四面體ABCD中，記∠BDC=α，∠ADC=β，∠ADB=γ，∠BAC=A，∠ABC=B，∠ACB=C。DH 平面ABC于H。
（1）射影定理：SΔABD•cosФ=SΔABH，其中二面角D—AB—H為Ф。
（2）正弦定理：
（3）余弦定理：cosα=cosβcosγ+sinβsinγcosA.
cosA=-cosBcosC+sinBsinCcosα.
（4）四面體的體積公式 DH•SΔABC
=
（其中d是a1, a之間的距離， 是它們的夾角）
SΔABD•SΔACD•sinθ(其中θ為二面角B—AD—C的平面角)。
二、方法與例題
1．公理的應(yīng)用。
例1 直線a,b,c都與直線d相交，且a//b,c//b，求證：a,b,c,d共面。
[證明] 設(shè)d與a,b,c分別交于A,B,C,因?yàn)閎與d相交，兩者確定一個(gè)平面，設(shè)為a.又因?yàn)閍//b，所以兩者也確定一個(gè)平面，記為β。因?yàn)锳∈α，所以A∈β，因?yàn)锽∈b，所以B∈β，所以d β.又過(guò)b,d的平面是唯一的，所以α，β是同一個(gè)平面，所以a α.同理c α.即a,b,c,d共面。
例2 長(zhǎng)方體有一個(gè)截面是正六邊形是它為正方體的什么條？
[解] 充要條。先證充分性，設(shè)圖12-2中PQRST是長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的正六邊形截面，延長(zhǎng)PQ，SR設(shè)交點(diǎn)為O，因?yàn)橹本�SR 平面CC1D1D，又O∈直線SR，所以O(shè)∈平面CC1D1D，又因?yàn)橹本�PQ 平面A1B1C1D1，又O∈直線PQ，所以O(shè)∈平面A1B1C1D1。所以O(shè)∈直線C1D1，由正六邊形性質(zhì)知，∠ORQ=∠OQR=600，所以ΔORQ為正三角形，因?yàn)镃D//C1D1，所以 =1。所以R是CC1中點(diǎn)，同理Q是B1C1的中點(diǎn)，又ΔORC1≌ΔOQC1，所以C1R=C1Q，所以CC1=C1B1，同理CD=CC1，所以該長(zhǎng)方體為正方體。充分性得證。必要性留給讀者自己證明。
2．異面直線的相關(guān)問(wèn)題。
例3 正方體的12條棱互為異面直線的有多少對(duì)？
[解] 每條棱與另外的四條棱成異面直線，重復(fù)計(jì)數(shù)一共有異面直線12×4=48對(duì)，而每一對(duì)異面直線被計(jì)算兩次，因此一共有 24對(duì)。
例4 見(jiàn)圖12-3，正方體，ABCD—A1B1C1D1棱長(zhǎng)為1，求面對(duì)角線A1C1與AB1所成的角。
[解] 連結(jié)AC，B1C，因?yàn)锳1A B1B C1C，所以A1A C1C，所以A1ACC1為平行四邊形，所以A1C1 AC。
所以AC與AB1所成的角即為A1C1與AB1所成的角，由正方體的性質(zhì)AB1=B1C=AC，所以∠B1AC=600。所以A1C1與AB1所成角為600。
3．平行與垂直的論證。
例5 A，B，C，D是空間四點(diǎn)，且四邊形ABCD四個(gè)角都是直角，求證：四邊形ABCD是矩形。
[證明] 若ABCD是平行四邊形，則它是矩形；若ABCD不共面，設(shè)過(guò)A，B，C的平面為α，過(guò)D作DD1 α于D1，見(jiàn)圖12-4，連結(jié)AD1，CD1，因?yàn)锳B AD1，又因?yàn)镈D1 平面α，又AB α，所以DD1 AB，所以AB 平面ADD1，所以AB AD1。同理BC CD1，所以ABCD1為矩形，所以∠AD1C=900，但AD1<AD,CD1<CD，所以AD2+CD2=AC2= ，與 <AD2+CD2矛盾。所以ABCD是平面四邊形，所以它是矩形。
例6 一個(gè)四面體有兩個(gè)底面上的高線相交。證明：它的另兩條高線也相交。
[證明] 見(jiàn)圖12-5，設(shè)四面體ABCD的高線AE與BF相交于O，因?yàn)锳E 平面BCD，所以AE CD，BF 平面ACD，所以BF CD，所以CD 平面ABO，所以CD AB。設(shè)四面體另兩條高分別為C，DN，連結(jié)CN，因?yàn)镈N 平面ABC，所以DN AB，又AB CD，所以AB 平面CDN，所以AB CN。設(shè)CN交AB于P，連結(jié)PD，作 PD于 ，因?yàn)锳B 平面CDN，所以AB ，所以 平面ABD，即 為四面體的高，所以 與C重合，所以C，DN為ΔPCD的兩條高，所以兩者相交。
例7 在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD中點(diǎn)，沿BE將ΔABE折起，并使AC=AD，見(jiàn)圖12-6。求證：平面ABE 平面BCDE。
[證明] 取BE中點(diǎn)O，CD中點(diǎn)，連結(jié)AO，O，OD，OC，則O//BC，又CD BC，所以O(shè) CD。又因?yàn)锳C=AD，所以A CD，所以CD 平面AO，所以AO CD。又因?yàn)锳B=AE，所以AO BE。因?yàn)镋D≠BC，所以BE與CD不平行，所以BE與CD是兩條相交直線。所以AO 平面BC-DE。又直線AO 平面ABE。所以平面ABE 平面BCDE。
4．直線與平面成角問(wèn)題。
例8 見(jiàn)圖12-7，正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，G為BF的中點(diǎn)，將正方形沿EF折成1200的二面角，求AG和平面EBCF所成的角。
[解]設(shè)邊長(zhǎng)AB=2，因?yàn)镋F AD，又AD AB。所以EF AB，所以BG= ，又AE EF，BE EF，所以∠AEB=1200。過(guò)A作A BE于，則∠AE=600，E= ，A=AEsin600= .由余弦定理G2=B2+BG2-2B•BGcos∠BG= =2，所以G= 因?yàn)镋F AE，EF BE，所以EF 平面AEB，所以EF A，又A BE，所以A 平面BCE。所以∠AG為AG與平面EBCF所成的角。而tan∠AG= 。所以AG與平面EBCF所成的角為 .
例9 見(jiàn)圖12-8，OA是平面α的一條斜角，AB α于B，C在α內(nèi)，且AC OC，∠AOC=α，∠AOB=β，∠BOC=γ。證明：cosα=cosβ•cosγ.
[證明] 因?yàn)锳B α，AC OC，所以由三垂線定理，BC OC，所以O(shè)Acosβ=OB,OBcosγ=OC,又RtΔOAC中，OAcosα=OC，所以O(shè)Acosβcosγ=OAcosα，所以cosα=cosβ•cosγ.
5．二面角問(wèn)題。
例10 見(jiàn)圖12-9，設(shè)S為平面ABC外一點(diǎn)，∠ASB=450，∠CSB=600，二面角A—SB—C為直角二面角，求∠ASC的余弦值。
[解] 作C SB于，N AS于N，連結(jié)CN，因?yàn)槎�面角A—SB—C為直二面角，所以平面ASB 平面BSC。又C SB，所以C 平面ASB，又N AS，所以由三垂線定理的逆定理有CN AS，所以SC•cos∠CSN=SN=SC•cos∠CS•cos∠ASB，所以cos∠ASC=cos450cos600= 。
例11 見(jiàn)圖12-10，已知直角ΔABC的兩條直角邊AC=2，BC=3，P為斜邊AB上一點(diǎn)，沿CP將此三角形折成直二面角A—CP—B，當(dāng)AB= 時(shí)，求二面角P—AC—B的大小。
[解] 過(guò)P作PD AC于D，作PE CP交BC于E，連結(jié)DE，因?yàn)锳—CP—B為直二面角，即平面ACP 平面CPB，所以PE 平面ACP，又PD CA，所以由三垂線定理知DE AC，所以∠PDE為二面角P—AC—B的平面角。設(shè)∠BCP=θ，則cos∠ECD=cosθ•cos(900-θ)=sinθcosθ，由余弦定理cos∠ACB= ，所以sinθcosθ= ，所以sin2θ=1.又0<2θ<π，所以θ= ，設(shè)CP=a，則PD= a,PE=a.所以tan∠PDE=
所以二面角P—AC—B的大小為 。
6．距離問(wèn)題。
例12 正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，求對(duì)角線AC與BC1的距離。
[解] 以B為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系如圖12-11所示。設(shè)P，Q分別是BC1，CA上的點(diǎn)，且 ，各點(diǎn)、各向量的坐標(biāo)分別為A(a,0,0),B(0,0,0),C(0,a,0)， ,所以 ，所以 a×a+ a×a=0, a×a- a×a=0.所以 。所以PQ為AC與BC1的公垂線段，所以兩者距離為
例13 如圖12-12所示，在三棱維S—ABC中，底面是邊長(zhǎng)為 的正三角形，棱SC的長(zhǎng)為2，且垂直于底面，E，D分別是BC，AB的中點(diǎn)，求CD與SE間的距離。
[分析] 取BD中點(diǎn)F，則EF//CD，從而CD//平面SEF，要求CD與SE間的距離就轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)C到平面SEF間的距離。
[解] 設(shè)此距離為h，則由體積公式

計(jì)算可得SΔSEF=3， 所以
7．凸多面體的歐拉公式。
例14 一個(gè)凸多面體有32個(gè)面，每個(gè)面或是三角形或是五邊形，對(duì)于V個(gè)頂點(diǎn)每個(gè)頂點(diǎn)均有T個(gè)三角形面和P個(gè)五邊形面相交，求100P+10T+V。
[解] 因F=32，所以32-E+V=2，所以E=V+30。因?yàn)門+P個(gè)面相交于每個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)有T+P條棱，所以2E=V(T+P). 由此得V(T+P)=2(V+30)，即V(T+P-2)=60. 由于每個(gè)三角形面有三條棱，故三角形面有 個(gè)，類似地，五邊形有 個(gè)，又因?yàn)槊總�(gè)面或者是三角形或者是五邊形，所以 =32，由此可得3T+5P=16，它的唯一正整數(shù)解為T=P=2，代入V(T+P-2)=60得V=30，所以100P+10T+V250。
8．與球有關(guān)的問(wèn)題。
例15 圓柱直徑為4R，高為22R，問(wèn)圓柱內(nèi)最多能裝半徑為R的球多少個(gè)？
[解] 最底層恰好能放兩個(gè)球，設(shè)為球O1和球O2，兩者相切，同時(shí)與圓柱相切，在球O1與球O2上放球O3與球O4，使O1O2與O3O4相垂直，且這4個(gè)球任兩個(gè)相外切，同樣在球O3與球O4上放球O5與球O6，……直到不能再放為止。
先計(jì)算過(guò)O3O4與過(guò)O1O2的兩平行面與圓柱底面的截面間距離為 。設(shè)共裝層，則(22- )R< R(-1)+2R≤22R，解得=15，因此最多裝30個(gè)。
9．四面體中的問(wèn)題。
例16 已知三棱錐S—ABC的底面是正三角形，A點(diǎn)在側(cè)面SBC上的射影H是ΔSBC的垂心，二面角H—AB—C的平面角等于300，SA= 。求三棱錐S—ABC的體積。
[解] 由題設(shè)，AH 平面SBC，作BH SC于E，由三垂線定理可知SC AE，SC AB，故SC 平面ABE。設(shè)S在平面ABC內(nèi)射影為O，則SO 平面ABC，由三垂線定理的逆定理知，CO AB于F。同理，BO AC，所以O(shè)為ΔABC垂心。又因?yàn)棣�ABC是等邊三角形，故O為ΔABC的中心，從而SA=SB=SC= ，因?yàn)镃F AB，CF是EF在平面ABC上的射影，又由三垂線定理知，EF AB，所以∠EFC是二面角H—AB—C的平面角，故∠EFC=300，所以O(shè)C=SCcos600= ,SO= tan600=3，又OC= AB，所以AB= OC=3。所以VS—ABC= ×32×3= 。
例17 設(shè)d是任意四面體的相對(duì)棱間距離的最小值，h是四面體的最小高的長(zhǎng)，求證：2d>h.
[證明] 不妨設(shè)A到面BCD的高線長(zhǎng)AH=h，AC與BD間的距離為d，作AF BD于點(diǎn)F，CN BD于點(diǎn)N，則CN//HF，在面BCD內(nèi)作矩形CNFE，連AE，因?yàn)锽D//CE，所以BD//平面ACE，所以BD到面ACE的距離為BD與AC間的距離d。在ΔAEF中，AH為邊EF上的高，AE邊上的高FG=d，作E AF于，則由EC//平面ABD知，E為點(diǎn)C到面ABD的距離（因E 面ABD），于是E≥AH=h。在RtΔEF與RtΔAHF中，由E≥AH得EF≥AF。又因?yàn)棣�AEH∽ΔFEG，所以 ≤2。所以2d>h.
注：在前面例題中除用到教材中的公理、定理外，還用到了向量法、體積法、射影法，請(qǐng)讀者在解題中認(rèn)真總結(jié)。
三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題
1．正三角形ABC的邊長(zhǎng)為4，到A，B，C的距離都是1的平面有__________個(gè).
2．空間中有四個(gè)點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，命題甲：E，F(xiàn)，G，H不共面；命題乙：直線EF和GH不相交，則甲是乙的__________條。
3．動(dòng)點(diǎn)P從棱長(zhǎng)為a的正方體的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，沿棱運(yùn)動(dòng)，每條棱至多經(jīng)過(guò)一次，則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的最大距離為_(kāi)_________。
4．正方體ABCD—A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是面ADD1A1、面ABCD的中心，G為棱CC1中點(diǎn)，直線C1E，GF與AB所成的角分別是α，β。則α+β=__________。
5．若a,b為兩條異面直線，過(guò)空間一點(diǎn)O與a,b都平行的平面有__________個(gè)。
6．CD是直角ΔABC斜邊AB上的高，BD=2AD，將ΔACD繞CD旋轉(zhuǎn)使二面角A—CD—B為600，則異面直線AC與BD所成的角為_(kāi)_________。
7．已知PA 平面ABC，AB是⊙O的直徑，C是圓周上一點(diǎn)且AC= AB，則二面角A—PC—B的大小為_(kāi)_________。
8．平面α上有一個(gè)ΔABC，∠ABC=1050，AC= ，平面α兩側(cè)各有一點(diǎn)S，T，使得SA=SB=SC= ，TA=TB=TC=5，則ST=_____________.
9．在三棱錐S—ABC中，SA 底面ABC，二面角A—SB—C為直二面角，若∠BSC=450，SB=a，則經(jīng)過(guò)A，B，C，S的球的半徑為_(kāi)____________.
10．空間某點(diǎn)到棱長(zhǎng)為1的正四面體頂點(diǎn)距離之和的最小值為_(kāi)____________.
11．異面直線a,b滿足a//α,b//β,b//α,a//β，求證：α//β。
12．四面體SABC中，SA，SB，SC兩兩垂直，S0，S1，S2，S3分別表示ΔABC，ΔSBC，ΔSCA，ΔSAB的面積，求證：
13．正三棱柱ABC—A1B1C1中，E在棱BB1上，截面A1EC 側(cè)面AA1C1C，（1）求證：BE=EB1；（2）若AA1=A1B1，求二面角EC-A1-B1C1的平面角。
四、高考水平訓(xùn)練題
1．三棱柱ABC-A1B1C1中，為A1B1的中點(diǎn)，N為B1C與BC1的交點(diǎn)，平面AN交B1C1于P，則 =_____________.
2.空間四邊形ABCD中，AD=1，BC= ，且AD BC，BD= ，AC= ，則AC與BD所成的角為_(kāi)____________.
3．平面α 平面β，α β=直線AB，點(diǎn)C∈α，點(diǎn)D∈β，∠BAC=450，∠BAD=600，且CD AB，則直線AB與平面ACD所成的角為_(kāi)____________.
4．單位正方體ABCD—A1B1C1D1中，二面角A—BD1—B1大小為_(kāi)____________.
5．如圖12-13所示，平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A在二面角α—N—β的棱N上，點(diǎn)B，C，D都在α上，且AB=2AD，∠DAN=450，∠BAD=600，若◇ABCD在半平面β上射影為為菜，則二面角α—N—β=_____________.
6．已知異面直線a,b成角為θ，點(diǎn)，A在a上，點(diǎn)N，B在b上，N為公垂線，且N=d，A=m，NB=n。則AB的長(zhǎng)度為_(kāi)____________.
7．已知正三棱錐S—ABC側(cè)棱長(zhǎng)為4，∠ASB=450，過(guò)點(diǎn)A作截面與側(cè)棱SB，SC分別交于，N，則截面ΔAN周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)____________.
8．l1與l2為兩條異面直線，l1上兩點(diǎn)A，B到l2的距離分別為a,b，二面角A—l2—B大小為θ，則l1與l2之間的距離為_(kāi)____________.
9．在半徑為R的球O上一點(diǎn)P引三條兩兩垂直的弦PA，PB，PC，則PA2+PB2+PC2=_____________.
10．過(guò)ΔABC的頂點(diǎn)向平面α引垂線AA1，BB1，CC1，點(diǎn)A1，B1，C1∈α，則∠BAC與∠B1A1C1的大小關(guān)系是_____________.
11．三棱錐A—BCD中∠ACB=∠ADB=900，∠ABC=600，∠BAD=450，二面角A—CD—B為直角二面角。（1）求直線AC與平面ABD所成的角；（2）若為BC中點(diǎn)，E為BD中點(diǎn)，求A與CE所成的角；（3）二面角—AE—B的大小。
12．四棱錐P—ABCD底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，PD 底面ABCD，PD=6，，N分別是PB，AB的中點(diǎn)，（1）求二面角—DN—C的大��；（2）求異面直線CD與N的距離。
13．三棱錐S—ABC中，側(cè)棱SA，SB，SC兩兩互相垂直，為ΔABC的重心，D為AB中點(diǎn)，作與SC平行的直線DP，證明：（1）DP與S相交；（2）設(shè)DP與S的交點(diǎn)為 ，則 為三棱錐S—ABC外接球球心。
五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題
1．現(xiàn)有邊長(zhǎng)分別為3，4，5的三角形兩個(gè)，邊長(zhǎng)分別為4，5， 的三角形四個(gè)，邊長(zhǎng)分別為 ，4，5的三角形六個(gè)，用上述三角形為面，可以拼成_________個(gè)四面體。
2．一個(gè)六面體的各個(gè)面和一個(gè)正八面體的各個(gè)面都是邊長(zhǎng)為a的正三角形，這兩個(gè)多面體的內(nèi)切球的半徑之比是一個(gè)既約分?jǐn)?shù) ，那么mn=_________。
3．已知三個(gè)平面α，β，γ每?jī)蓚�(gè)平面之間的夾角都是 ，且 =a, ，命題甲： ；命題乙：a,b,c相交于一點(diǎn)。則甲是乙的_________條。
4．棱錐—ABCD的底面是正方形，且A AB，如果ΔAD的面積為1，則能放入這個(gè)棱錐的最大球的半徑為_(kāi)________.
5．將給定的兩個(gè)全等的正三棱錐的底面粘在一起，恰得到一個(gè)所有二面角都相等的六面體，并且該六面體的最短棱長(zhǎng)為2，則最遠(yuǎn)兩個(gè)頂點(diǎn)間距離為_(kāi)________。
6．空間三條直線a,b,c兩兩成異面直線，那么與a,b,c都相交的直線有_________條。
7．一個(gè)球與正四面體的六條棱都相切，正四面體棱長(zhǎng)為a，這個(gè)球的體積為_(kāi)________。
8．由曲線x2=4y,x2=-4y,x=4,x=-4圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為V1，滿足x2+y2≤16,x2+(y-2)2≥4,x2+(y+2)2≥4的點(diǎn)(x,y)組成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為V2，則 _________。
9．頂點(diǎn)為P的圓錐的軸截面是等腰直角三角形，A是底面圓圍上的點(diǎn)，B是底面圓內(nèi)的點(diǎn)，O為底面圓圓心，AB OB，垂足為B，OH PB，垂足為H，且PA=4，C為PA的中點(diǎn)，則當(dāng)三棱錐C—HPC體積最大時(shí)，OB=_________。
10． 是三個(gè)互相垂直的單位向量，π是過(guò)點(diǎn)O的一個(gè)平面， 分別是A，B，C在π上的射影，對(duì)任意的平面π，由 構(gòu)成的集合為_(kāi)________。
11．設(shè)空間被分為5個(gè)不交的非空集合，證明：一定有一個(gè)平面，它至少與其中的四個(gè)集合有公共點(diǎn)。
12．在四面體ABCD中，∠BDC=900，D到平面ABC的垂線的垂足S是ΔABC的垂心，試證：(AB+BC+CA)2≤6(AD2+BD2+CD2)，并說(shuō)明等號(hào)成立時(shí)是一個(gè)什么四面體？
13．過(guò)正四面體ABCD的高AH作一平面，與四面體的三個(gè)側(cè)面交于三條直線，這三條直線與四面體的底面夾角為α，β，γ，求tan2α+tan2β+tan2γ之值。
六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題
1．能否在棱長(zhǎng)為1的正方體形狀的盒子里放入三個(gè)彼此至多有一個(gè)公共點(diǎn)的棱長(zhǎng)為1的正四面體？
2．P，Q是正四面體A—BCD內(nèi)任意兩點(diǎn)，求證：
3．P，A，B，C，D是空間五個(gè)不同的點(diǎn)，∠APB=∠BPC=∠CPD=∠DPA=θ，這里θ為已知銳角，試確定∠APC+∠BPD的最大值和最小值。
4．空間是否存在有限點(diǎn)集，使得對(duì)中的任意兩點(diǎn)A，B，可以在中另取兩點(diǎn)C，D，使直線AB和CD互相平行但不重合。
5．四面體ABCD的四條高AA1，BB1，CC1，DD1相交于H點(diǎn)（A1，B1，C1，D1分別為垂足）。三條高上的內(nèi)點(diǎn)A2，B2，C2滿足AA2：AA=BB2：B2B1=CC2：C2C1=2：1。證明：H，A2，B2，C2，D1在同一個(gè)球面上。
6．設(shè)平面α，β，γ，δ與四面體ABCD的外接球面分別切于點(diǎn)A，B，C，D。證明：如果平面α與β的交線與直線CD共面，則γ與δ的交線與直線AB共面。



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