2013年高考數(shù)學總復習 8-2 圓的方程但因為測試 新人教B版

1.()(2011•四川，3)圓x2＋y2－4x＋6y＝0的圓心坐標是(　　)
A．(2,3)　　　　　B．(－2,3)
C．(－2，－3) D．(2，－3)
[答案]　D
[解析]　將一般式化為標準式(x－2)2＋(y＋3)2＝13.
∴圓心坐標為(2，－3)．
(理)(2011•深圳調(diào)研)若曲線C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的點均在第二象限內(nèi)，則a的取值范圍為(　　)
A．(－∞，－2)B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)
[答案]　D
[解析]　將⊙C化為標準方程得，
(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，
∴圓心C(－a,2a)，半徑r＝2，
由條件知，－a>2，2a>2，－a<0，2a>0，∴a>2.
2．()(2011•廣東，8)設圓C與圓x2＋(y－3)2＝1外切，與直線y＝0相切，則圓C的圓心軌跡為(　　)
A．拋物線 B．雙曲線
C．橢圓 D．圓
[答案]　A
[解析]　動圓圓心C到定點(0,3)的距離與到定直線y＝－1的距離相等，符合拋物線的定義，故選A.
(理)(2011•廣州模擬)動點A在圓x2＋y2＝1上移動時，它與定點B(3,0)連線的中點的軌跡方程是(　　)
A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝1
C．(2x－3)2＋4y2＝1 D．(x＋32)2＋y2＝12
[答案]　C
[解析]　設中點(x，y)，則點A(2x－3,2y)，
∵A在圓x2＋y2＝1上，∴(2x－3)2＋(2y)2＝1，
即(2x－3)2＋4y2＝1，故選C.
3．()(2011•廣州檢測)圓心在y軸上，半徑為1，且過點(1,2)的圓的方程為(　　)
A．x2＋(y－2)2＝1
B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1
D．x2＋(y－3)2＝1
[答案]　A
[解析]　設圓心坐標為(0，b)，則由題意知
0－12＋b－22＝1，解得b＝2，
故圓的方程為x2＋(y－2)2＝1.
(理)(2011•濟南調(diào)研)已知圓的半徑為2，圓心在x軸的正半軸上，且與直線3x＋4y＋4＝0相切，則圓的方程是(　　)
A．x2＋y2－4x＝0 B．x2＋y2＋4x＝0
C．x2＋y2－2x－3＝0 D．x2＋y2＋2x－3＝0
[答案]　A
[解析]　設圓心為C(,0)(>0)，因為所求圓與直線3x＋4y＋4＝0相切，所以3＋4×0＋432＋42＝2，整理得：
3＋4＝10，解得＝2或＝－143(舍去)，故所求圓的方程為(x－2)2＋y2＝22，即x2＋y2－4x＝0，故選A.
4．()(2011•青島市教學質量統(tǒng)一檢測)圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的點到直線x－y＝2的距離的最大值是(　　)
A．2 B．1＋2
C．2＋22 D．1＋22
[答案]　B
[解析]　圓的方程化為標準形式：(x－1)2＋(y－1)2＝1，
圓心(1,1)到直線x－y－2＝0的距離d＝1－1－22＝2，
所求距離的最大值為2＋1，故選B.
(理)(2011•華安、連城、永安、漳平、龍海、泉港六校聯(lián)考)圓x2＋y2 －2x－2y＋1＝0上的點到直線3x＋4y＋5＝0的距離最大值是a，最小值是b，則a＋b＝(　　)
A.125 B. 245
C.65 D．5
[答案]　B
[解析]　圓心C(1,1)到直線3x＋4y＋5＝0距離d＝125，∴a＋b＝125＋r＋125－r＝245(r為圓的半徑)．
5．(2011•江南十校聯(lián)考)若點 P(1,1)為圓(x－3)2＋y2＝9的弦N的中點，則弦N所在直線方程為(　　)
A．2x＋y－3＝0 B．x－2y＋1＝0
C．x＋2y－3＝0 D．2x－y－1＝0
[答案]　D
[解析]　圓心C(3,0)，kCP＝－12，由kCP•kN＝－1，得kN＝2，所以N所在直線方程是2x－y－1＝0，故選D.
6．()(2011•日照模擬、河南省濮陽調(diào)研)圓心在曲線y＝3x(x>0 )上，且與直線3x＋4y＋3＝0相切的面積最小的圓的方程為(　　)
A．(x－1)2＋(y－3)2＝(185)2
B．(x－3)2＋(y－1)2＝(165)2
C．(x－2)2＋(y－32)2＝9
D．(x－3)2＋(y－3)2＝9
[答案]　C
[解析]　設圓心坐標為(a，3a)(a>0)，
則圓心到直線3x＋4y＋3＝0的距離d＝3a＋12a＋35＝35(a＋4a＋1)≥35(4＋1)＝3，等號當且僅當a＝2時成立．
此時圓心坐標為(2，32)，半徑為3，故所求圓的方程為
(x－2)2＋(y－32)2＝9.
(理)(2011•西安模擬)若直線ax＋2by－2＝0(a>0，b>0)始終平分圓x2＋y2－4x－2y－8＝0的周長，則1a＋2b的最小值為(　　)
A．1 B．5
C．42 D．3＋22
[答案]　D
[解析]　由條件知圓心C(2,1)在直線ax＋2by－2＝ 0上，∴a＋b＝1，
∴1a＋2b＝(1a＋2b)(a＋b)
＝3＋ba＋2ab≥3＋22，
等號在ba＝2ab，即b＝2－2，a＝2－1時成立．
7．(2011•西安二檢)已知圓O：x2＋y2＝5和點A(1,2)，則過A且與圓O相切的直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積等于________．
[答案]　254
[解析]　∵點A(1,2)在⊙O：x2＋y2＝5上，
∴過A的切線方程為x＋2y＝5，
令x＝0得，y＝52，令y＝0得，x＝5，
∴三角形面積為S＝12×52×5＝254.
8．(2011•南京模擬)已知點(1,0)是圓C：x2＋y2－4x－2y＝0內(nèi)的一點，那么過點的最短弦所在直線的方程是________．
[答案]　x＋y－1＝0
[解析]　過點的最短的弦與C垂直，圓C：x2＋y2－4x－2y＝0的圓心為C(2,1)，
∵kC＝1－02－1＝1，∴最短 弦所在直線的方程為y－0＝－1(x－1)，即x＋y－1＝0.
9．()(2010•廣東)已知圓心在x軸上，半徑為2的圓O位于y軸左側，且與直線x＋y＝0相切，則圓O的方程是________．
[答案]　(x＋2) 2＋y2＝2
[解析]　設圓的方程為(x－a)2＋y2＝2(a<0)，由條件得2＝a2，∴a＝2，又a<0，∴a＝－2.
(理)(2011•長春市調(diào)研)若圓上的點A(2,3)關于直線x＋2y＝0的對稱點仍在圓上，且圓與直線x－y＋1＝0相交所得的弦長為22，則圓的方程是________．
[答案]　(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244
[解析]　設圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，點A(2,3)關于直線x＋2y＝0的對稱點仍在圓上，說明圓心在直線x＋2y＝0上，即有a＋2b＝0，根據(jù)題意可得
a＋2b＝0，2－a2＋3－b2＝r2，r2－a－b＋122＝2.
解得a＝6，b＝－3，r2＝52.或a＝14，b＝－7，r2＝244.
所求圓的方程為(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244.
10．()(2010•廣東華南師大附中)已知圓C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0，點A(3,5)，求：
(1)過點A的圓的切線方程；
(2)O點是坐標原點，連結OA，OC，求△AOC的面積S.
[解析]　(1)⊙C：(x－2)2＋(y－3)2＝1.
當切線的斜率不存在時，過點A的直線方程為x＝3，C(2,3)到直線的距離為1，滿足條件．
當k存在時，設直線方程為y－5＝k(x－3)，
即kx－y＋5－3k＝0，由直線與圓相切得，
－k＋2k2＋1＝1，∴k＝34.
∴直線方程為x＝3或y＝34x＋114.
(2)AO＝9＋25＝34，
直線OA：5x－3y＝0，
點C到直線OA的距離d＝134，
S＝12•d•AO＝12.
(理)(2011•蘭州一診)已知圓過兩點C(1，－1)，D(－1,1)，且圓心在x＋y－2＝0上．
(1)求圓的方程；
(2)設P是直線3x＋4y＋8＝0上的動點，PA、PB是圓的兩條切線，A、B為切點，求四邊形PAB面積的最小值．
[解析]　(1)設圓的方程為：
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．
根據(jù)題意，得1－a2＋－1－b2＝r2－1－a2＋1－b2＝r2a＋b－2＝0，
解得a＝b＝1，r＝2，
故所求圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4.
(2)因為四邊形PAB的面積
S＝S△PA＋S△PB
＝12A•PA＋12B• PB，
又A＝B＝2，PA＝PB，
所以S＝2PA，
而PA＝P2－A2＝P2－4，
即S＝2P2－4.
因此要求S的最小值，只需求P的最小值即可，
即在直線3x＋4y＋8＝0上找一點P，
使得P的值最小，
所以Pin＝3×1＋4×1＋832＋42＝3，
所以四邊形PAB面積的最小值為
S＝2P2－4＝232－4＝25.

11.(2011•西安模擬)已知圓的方程為x2＋y2－6x－8y＝0，設該圓中過點(3,5)的最長弦、最短弦分別為AC、BD，則以點A、B、C、D為頂點的四邊形ABCD的面 積為(　　)
A．106 B．206
C．306 D．406
[答案]　B
[解析]　圓的方程：(x－3)2＋(y－4)2＝25，
∴半徑r＝5，
圓心到最短弦BD的距離d＝1，
∴最短弦長BD＝46，
又最長弦長AC＝2r＝10，
∴四邊形的面積S＝12×A C×BD＝206.
12．(2011•成都龍泉第一中學模擬)以拋物線y2＝20x的焦點為圓心，且與雙曲線x216－y29＝1的兩漸近線都相切的圓的方程為(　　)
A．x2＋y2－20x＋64＝0
B．x2＋y2－20x＋36＝0
C．x2＋y2－10x＋16＝0
D．x2＋y2－10x＋9＝0
[答案]　C
[解析]　拋物線的焦點坐標是(5,0)，雙曲線的漸近線方程是3x±4y＝0，
點(5,0)到直線3x±4y＝0的距離d＝3即為所求圓的半徑．故所求圓的方程為(x－5)2＋y2＝9，
即x2＋y2－10x＋16＝0，故選C.
13．(2010•浙江杭州市質檢)已知A、B是圓O：x2＋y2＝16上的兩點，且AB＝6，若以AB為直徑的圓恰好經(jīng)過點C(1，－1)，則圓心的軌跡方程是________．
[答案]　(x－1)2＋(y＋1)2＝9
[解析]　∵是以AB為直徑的圓的圓心，AB＝6，
∴半徑為3，
又⊙經(jīng)過點C，∴C＝12AB＝3，
∴點的軌跡方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝9.
14．()(2010•天津，14)已知圓C的圓心是直線x－y＋1＝0與x軸的交點，且圓C與直線x＋y＋3＝0相切，則圓C的方程為__________．
[答案]　(x＋1)2＋y2＝2
[解析]　在直線方程x－y＋1＝0中，令y＝0得，x＝－1，∴圓心坐標為(－1,0)，
由點到直線的距離公式得圓的半徑
R＝－1＋0＋32＝2，
∴圓的標準方程為(x＋1)＋y2＝2.
(理)(2010•金華十校)圓C的半徑為1，圓心在第一象限，與y軸相切，與x軸相交于A、B，AB＝3，則該圓的標準方程是________．
[答案]　(x－1)2＋y－122＝1
[解析]　如下圖設圓心C(a，b)，由條件知a＝1，取弦AB中點D，則CD＝AC2－AD2＝12－322＝12，即b＝12，∴圓方程為(x－1)2＋y－122＝1.

15．()(2011•青島模擬)已知以點Ct，2t(t∈R，t≠0)為圓心的圓與x軸交于點O、A，與y軸交于點O、B，其中O為原點．
(1)求證：△OAB的面積為定值；
(2)設直線y＝－2x＋4與圓C交于點、N，若O＝ON，求圓C的方程．
[解析]　(1)證明：∵圓C過原點O，∴OC2＝t2＋4t2.
設圓C的方程是(x－t)2＋y－2t2＝t2＋4t2，
令x＝0，得y1＝0，y2＝4t；
令y＝0，得x1＝0，x2＝2t，
∴S△OAB＝12OA•OB＝12×4t×2t＝4，
即△OAB的面積為定值．
(2)∵O＝ON，C＝CN，
∴OC垂直平分線段N.
∵kN＝－2，∴kOC＝12.
∴直線OC的方程是y＝12x.
∴2t＝12t，解得t＝2或t＝－2.
當t＝2時，圓心C的坐標為(2,1)，OC＝5，
此時C到直線y＝－2x＋4的距離d＝15<5，
圓C與直線y＝－2x＋4相交于兩點．
當t＝－2時，圓心C的坐標為(－2，－1)，OC＝5，
此時C到直線y＝－2x＋4的距離d＝95>5.
圓C與直線y＝－2x＋4不相交，
∴t＝－2不符合題意，舍去．
∴圓C的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5.
(理)(2011•北京模擬)已知點A(－3,0)，B(3,0)．動點P滿足PA＝2PB.
(1)若點P的軌跡為曲線C，求此曲線的方程；
(2)若點Q在直線l1：x＋y＋3＝0上，直線l2經(jīng)過點Q且與曲線C只 有一個公共點，求Q的最小值．
[解析]　(1)設P(x，y)，∵PA＝2PB，
∴(x＋3)2＋y2＝4[(x－3)2＋y2]
整理得(x－5)2＋y2＝16.
(2)由條件知Q與圓C相切，
則問題轉化為在直線l1上求一點Q，過點Q作⊙C的切線，求切線長的最小值．
由于⊙C的半徑為定值4，欲使切線長最小，只須QC最小，而點C(5,0)為定點，因此，當CQ⊥l1時取得最小值，∵C到l1的距離d＝42，
∴Qin＝d2－42＝4.

1．雙曲線x2a2－y2b2＝1( a>0，b>0)的一條漸近線的傾斜角為60°，直線ax＋by－a＋1＝0平分圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1，則點P(a，b)與圓C的位置關系是(　　)
A．P在⊙C內(nèi) B．P在⊙C上
C．P在⊙C外 D．無法確定
[答案]　C
[解析]　 由條件得，ba＝tan60°2a＋3b－a＋1＝0，
解之得a＝－14b＝－34，
∵(－14－2)2＋(－34－3)2>1，∴點P在⊙C外．
2．(2011•臨沂模擬)圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0關于直線2ax－by＋2＝0(a，b∈R)對稱，則ab的取值范圍是(　　)
A．(－∞，14] B．(0，14]
C．(－14，0) D．(－∞，14)
[答案]　A
[解析]　由題可知直線2ax－by＋2＝0過圓心(－1,2)，故可得a＋b＝1，∴ab≤(a＋b2)2＝14.
3．(2010•延邊州質檢)已知圓(x＋1)2＋(y－1)2＝1上一點P到直線3x－4y－3＝0距離為d，則d的最小值為(　　)
A．1 B.45
C.25 D．2
[答案]　A
[解析]　∵圓心C(－1,1)到直線3x－4y－3＝0距離為2，∴din＝2－1＝1.
4．(2011•東北育才中學期末)圓x2＋y2－2x＋6y＋5a＝0關于直線y＝x＋2b成軸對稱圖形，則a－b的取值范圍是(　　)
A．(－∞，4) B．(－∞，0)
C．(－4，＋∞) D．(4，＋∞)
[答案]　A
[解析]　圓(x－1)2＋(y＋3)2＝10－5a，由條件知，圓心C(1，－3)在直線y＝x＋2b上，∴b＝－2，又10－5a>0，∴a<2，∴a－b<4.
5．一條線段AB長為2，兩端點A和B分別在x軸和y軸上滑動，則線段AB的中點的軌跡是(　　)
A．雙曲線 B．雙曲線的一支
C．圓 D．半圓
[答案]　C
[解析]　由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得AB的中點到原點的距離總等于1，
∴AB的中點軌跡是圓，故選C.
6．(2011•浙江寧波八校聯(lián)考)點(a，b)為第一象限內(nèi)的點，且在圓(x＋1)2＋(y＋1)2＝8上，ab的最大值為________．
[答案]　1
[解析]　由條件知a>0，b>0，(a＋1)2＋(b＋1)2＝8，∴a2＋b2＋2a＋2b＝6，∴2ab＋4ab≤6，
∵ab>0，∴0<ab≤1，等號在a＝b＝1時成立．
[點評]　作出如下圖形可見，點(a，b)為⊙C在第一象限的一段弧，由對稱性可知，當點(a，b)為直線y＝x與⊙C的交點(1,1)時，ab取最大值1.

7．(2010•瑞安中學)已知圓x2＋y2＝r2在曲線x＋y＝4的內(nèi)部(含邊界)，則半徑r的范圍是________．
[答案]　(0,22]
[解析]　如下圖，曲線C：x＋y ＝4為正方形ABCD，

∵圓x2＋y2＝r2在曲線C的內(nèi)部(含邊界)
∴0<r≤O＝22.

本文來自：逍遙右腦記憶 http://yy-art.cn/gaosan/39007.html

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