數(shù)學試卷（文科） 2013.04.
一、題（本大題滿分56分）本大題共有14題，考生應在答題紙相應編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個空格填對得4分，否則一律得零分．
1．已知全集 ，集合 ，則 .
2．若復數(shù) 滿足 （ 是虛數(shù)單位），則 .
3．已知直線 的傾斜角大小是 ，則 .
4．若關(guān)于 的二元一次方程組 有唯一一組解，則實數(shù) 的取值范圍是 .
5．已知函數(shù) 和函數(shù) 的圖像關(guān)于直線 對稱，
則函數(shù) 的解析式為 . 到漸近線的距離為 .
7．函數(shù) 的最小正周期 .
8．若 ，則目標函數(shù) 的最小值為 .
9．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入 的值是 ，則輸出 的值是 .
10．已知圓錐底面半徑與球的半徑都是 ，如果圓錐的體積恰好也與球的體積相等，那么這個圓錐的
母線長為 ．
11．某中學在高一年級開設(shè)了 門選修課，每名學生必須參加這 門選修課中的一門，對于該年級的
甲乙 名學生，這 名學生選擇的選修課相同的概率是 (結(jié)果用最簡分數(shù)表示)．
12．各項為正數(shù)的無窮等比數(shù)列 的前 項和為 ，若 ， 則其公比 的取值范圍是 .
13．已知函數(shù) .當 時，不等式 恒成立，則實數(shù) 的取值
范圍是 .
14．函數(shù) 的定義域為 ，其圖像上任一點 滿足 ．
① 函數(shù) 一定是偶函數(shù)；
② 函數(shù) 可能既不是偶函數(shù)，也不是奇函數(shù)；
③ 函數(shù) 可以是奇函數(shù)；
④ 函數(shù) 如果是偶函數(shù)，則值域是 或 ；
⑤ 函數(shù) 值域是 ，則 一定是奇函數(shù)．
其中正確命題的序號是 （填上所有正確的序號）．
二、（本大題滿分20分）本大題共有4題，每題有且只有一個正確答案，考生應在答案紙的相應編號上，填上正確的答案，選對得5分，否則一律得零分.
15．已知 ， ，則 的值等于………………………（ ）
（A） . （B） . （C） . （D） .
16．一個空間幾何體的正視圖、側(cè)視圖為兩個邊長是1的正方形，俯視圖是
直角邊長為1的等腰直角三角形，則這個幾何體的表面積等于…（ ）
（A） . （B） . （C） . （D） .
17． 若直線 通過點 ，則 ………………………………（ ）
（A） . （B） .
（C） . （D） .
18．某同學為了研究函數(shù) 的性質(zhì)，構(gòu)造了如圖所示的兩個
邊長為 的正方形 和 ，點 是邊 上的一個動點，設(shè) ，則 ．
那么，可推知方程 解的個數(shù)是………………………………………………………（ ）
（A） . （B） . （C） . （D） .
三、解答題（本大題滿分74分）本大題共5題，解答下列各題必須在答題紙相應編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.
19．（本題滿分12分）本題共有2小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分7分 ．
如圖，設(shè)計一個正四棱錐形冷水塔，高是 米，底面的邊長是 米．
（1）求這個正四棱錐形冷水塔的容積；
（2）制造這個水塔的側(cè)面需要多少平方米鋼板？ (精確到 米2)
20．（本題滿分14分）本題共有2小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分 ．
如圖所示，扇形 ，圓心角 的大小等于 ，半徑為 ，在半徑 上有一動點 ，
過點 作平行于 的直線交弧 于點 ．
（1）若 是 的中點，求 ；
（2）設(shè) ，求△ 周長的最大值及此時 的值．
21．（本題滿分14分）本題共有2小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分．
已知橢圓 .
（1）直線 過橢圓 的中心交橢圓于 兩點， 是它的右頂點，當直線 的斜率為 時，
求△ 的面積；
（2）設(shè)直線 與橢圓 交于 兩點，且線段 的垂直平分線過橢圓 與 軸
負半軸的交點 ，求實數(shù) 的值．
22．（本題滿分16分）本題共有3小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分.
已知函數(shù) ．
（1）若函數(shù) 的圖像過原點，求 的解析式；
（2）若 是偶函數(shù)，在定義域上 恒成立，求實數(shù) 的取值范圍；
（3）當 時，令 ，問是否存在實數(shù) ，使 在 上是減函數(shù)，
在 上是增函數(shù)？如果存在，求出 的值；如果不存在，請說明理由．
23．（本題滿分18分）本題共有3小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分.
已知數(shù)列 的前 項和為 ，且 ， ．從 中抽出部分項
, 組成的數(shù)列 是等比數(shù)列，設(shè)該等比數(shù)列的公比為 ，
其中 ．
（1）求 的值；
（2）當 取最小時，求 的通項公式；
（3）求 的值．
四區(qū)聯(lián)考2014學年度第二學期高三數(shù)學
一．題（本大題滿分56分）本大題共有14題，考生應在答題紙相應編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個空格填對得4分，否則一律得零分．
1． ； 2． ； 3． ； 4． ； 5． ； 6． ；
7． ；8．4；9． ；10． ；11． ；12． ；13． ；14．②③⑤
二、（本大題滿分20分）本大題共有4題，每題有且只有一個正確答案，考生應在答案紙的相應編號上，填上正確的答案，選對得5分，否則一律得零分.
15． D ； 16．B； 17． B ；18．C
三、解答題（本大題滿分74分）本大題共5題，解答下列各題必須在答題紙相應編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟 .
19．（本題滿分12分）本題共有2小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分7分 ．
解：（1）如圖正四棱錐底面的邊長是 米，高是 米
所以這個四棱錐冷水塔的容積是 ．
(2)如圖，取底面邊長的中點 ，連接 ，
答：制造這個水塔的側(cè)面需要3.40平方米鋼板．
20．（本題滿分14分）本題共有2小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分 ．
解:（1）在△ 中， ，
由
得 ，解得 ．
（2）∵ ∥ ，∴ ，
在△ 中，由正弦定理得 ，即
∴ ,又 ．
記△ 的周長為 ，則
=
∴ 時， 取得最大值為 .
21．（本題滿分14分）本題共有2小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分 ．
解：(1)依題意， ， ， 由 ，得 ，
設(shè) ， ∴ ；
(2)如圖，由 得 ，
依題意， ，設(shè) ，線段 的中點 ，
則 ， ， ，
由 ，得 ，∴
22．（本題滿分16分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分.
解:（1） 過原點，
得 或
（2） 是偶函數(shù)， 即 ，
又 恒成立即
當 時
當 時， ，
當 時， ，
綜上：
（3）
是偶函數(shù)，要使 在 上是減函數(shù)在 上是增函數(shù)，
即 只要滿足在區(qū)間 上是增函數(shù)在 上是減函數(shù)．
令 ，當 時 ； 時 ，由于 時，
是增函數(shù)記 ，故 與 在區(qū)間 上
有相同的增減性，當二次函數(shù) 在區(qū)間 上是增函數(shù)在 上
是減函數(shù)，其對稱軸方程為 ．
23．（本題滿分18分）本題共有3小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分.
解：（1）令 得 ，即 ；又
（2）由 和 ，
所以數(shù)列 是以2為首項， 為公差的等差數(shù)列，所以 ．
解法一：數(shù)列 是正項遞增等差數(shù)列，故數(shù)列 的公比 ，若 ，則由 得 ，此時 ，由 解得 ，所以 ，同理 ；若 ，則由 得 ，此時 組成等比數(shù)列，所以 ， ，對任何正整數(shù) ，只要取 ，即 是數(shù)列 的第 項．最小的公比 ．所以 ．………（10分）
解法二: 數(shù)列 是正項遞增等差數(shù)列，故數(shù)列 的公比 ，設(shè)存在 組成的數(shù)列 是等比數(shù)列，則 ，即
因為 所以 必有因數(shù) ，即可設(shè) ，當數(shù)列 的公比 最小時，即 ， 最小的公比 ．所以 ．
（3）由（2）可得從 中抽出部分項 組成的數(shù)列 是等比數(shù)列，其中 ，那么 的公比是 ，其中由解法二可得 ．
，
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