第二章綜合檢測題
時(shí)間120分鐘，滿分150分。
一、(本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的)
1．若直線a和b沒有公共點(diǎn)，則a與b的位置關(guān)系是(　　)
A．相交　　　　　　　　B．平行
C．異面 D．平行或異面
2．平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，既與AB共面也與CC1共面的棱的條數(shù)為(　　)
A．3　　　B．4　　　C．5　　　D．6
3．已知平面α和直線l，則α內(nèi)至少有一條直線與l(　　)
A．平行　　B．相交　　C．垂直　　D．異面
4．長方體ABCD－A1B1C1D1中，異面直線AB，A1D1所成的角等于(　　)
A．30°　　　B．45°　　　C．60°　　　D．90°
5．對兩條不相交的空間直線a與b，必存在平面α，使得(　　)
A．a(chǎn)⊂α，b⊂α B．a(chǎn)⊂α，b∥α
C．a(chǎn)⊥α，b⊥α D．a(chǎn)⊂α，b⊥α
6．下面四個(gè)命題：
①若直線a，b異面，b，c異面，則a，c異面；
②若直線a，b相交，b，c相交，則a，c相交；
③若a∥b，則a，b與c所成的角相等；
④若a⊥b，b⊥c，則a∥c.
其中真命題的個(gè)數(shù)為(　　)
A．4　　　B．3　　　C．2　　　D．1
7．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是線段A1B1，B1C1上的不與端點(diǎn)重合的動(dòng)點(diǎn)，如果A1E＝B1F，有下面四個(gè)結(jié)論：
①EF⊥AA1；②EF∥AC；③EF與AC異面；④EF∥平面ABCD.
其中一定正確的有(　　)
A．①②　　　B．②③　　　C．②④　　　D．①④
8．設(shè)a，b為兩條不重合的直線，α，β為兩個(gè)不重合的平面，下列命題中為真命題的是(　　)
A．若a，b與α所成的角相等，則a∥b
B．若a∥α，b∥β，α∥β，則a∥b
C．若a⊂α，b⊂β，a∥b，則α∥β
D．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，則a⊥b
9．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，點(diǎn)A∈α，A∉l，直線AB∥l，直線AC⊥l，直線∥α，n∥β，則下列四種位置關(guān)系中，不一定成立的是(　　)
A．AB∥ B．AC⊥
C．AB∥β D．AC⊥β
10．(2012•大綱版數(shù)學(xué)(科))已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別為BB1、CC1的中點(diǎn)，那么直線AE與D1F所成角的余弦值為(　　)
A．－45 B. .35
C.34 D．－35
11．已知三棱錐D－ABC的三個(gè)側(cè)面與底面全等，且AB＝AC＝3，BC＝2，則以BC為棱，以面BCD與面BCA為面的二面角的余弦值為(　　)
A.33　　　B.13　　　C．0　　　D．－12
12．如圖所示，點(diǎn)P在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，則PB與AC所成的角是(　　)

A．90°　　 B．60°　
C．45°　　 D．30°
二、題(本大題共5小題，每小題5分，共25分．把答案填在題中的橫線上)
13．下列圖形可用符號表示為________．

14．正方體ABCD－A1B1C1D1中，二面角C1－AB－C的平面角等于________．
15．設(shè)平面α∥平面β，A，C∈α，B，D∈β，直線AB與CD交于點(diǎn)S，且點(diǎn)S位于平面α，β之間，AS＝8，BS＝6，CS＝12，則SD＝________.
16．將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角A－BD－C，有如下四個(gè)結(jié)論：
①AC⊥BD；
②△ACD是等邊三角形；
③AB與平面BCD成60°的角；
④AB與CD所成的角是60°.
其中正確結(jié)論的序號是________．
三、解答題(本大題共6個(gè)大題，共70分，解答應(yīng)寫出字說明，證明過程或演算步驟)
17．(10分)如下圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC與△A1B1C1都為正三角形且AA1⊥面ABC，F(xiàn)、F1分別是AC，A1C1的中點(diǎn)．

求證：(1)平面AB1F1∥平面C1BF；
(2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1.
[分析]　本題可以根據(jù)面面平行和面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，尋找使結(jié)論成立的充分條件．
18．(本小題滿分12分)如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中點(diǎn)．

(1)證明：CD⊥平面PAE；
(2)若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，求四棱錐P－ABCD的體積．
19．(12分)如圖所示，邊長為2的等邊△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝22，為BC的中點(diǎn)．

(1)證明：A⊥P；
(2)求二面角P－A－D的大�。�
20．(本小題滿分12分)(2010•遼寧，19)如圖，棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.

(1)證明：平面AB1C⊥平面A1BC1；
(2)設(shè)D是A1C1上的點(diǎn)，且A1B∥平面B1CD，求A1D?DC1的值．

21．(12分)如圖，△ABC中，AC＝BC＝22AB，ABED是邊長為1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G，F(xiàn)分別是EC，BD的中點(diǎn)．

(1)求證：GF∥底面ABC；
(2)求證：AC⊥平面EBC；
(3)求幾何體ADEBC的體積V.
[分析]　(1)轉(zhuǎn)化為證明GF平行于平面ABC內(nèi)的直線AC；(2)轉(zhuǎn)化為證明AC垂直于平面EBC內(nèi)的兩條相交直線BC和BE；(3)幾何體ADEBC是四棱錐C－ABED.
22．(12分)如下圖所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．

(1)求證：AC⊥BC1；
(2)求證：AC1∥平面CDB1；
(3)求異面直線AC1與B1C所成角的余弦值．

詳解答案
1[答案]　D
2[答案]　C
[解析]　AB與CC1為異面直線，故棱中不存在同時(shí)與兩者平行的直線，因此只有兩類：

第一類與AB平行與CC1相交的有：CD、C1D1
與CC1平行且與AB相交的有：BB1、AA1，
第二類與兩者都相交的只有BC，故共有5條．
3[答案]　C
[解析]　1°直線l與平面α斜交時(shí)，在平面α內(nèi)不存在與l平行的直線，∴A錯(cuò)；
2°l⊂α?xí)r，在α內(nèi)不存在直線與l異面，∴D錯(cuò)；
3°l∥α?xí)r，在α內(nèi)不存在直線與l相交．
無論哪種情形在平面α內(nèi)都有無數(shù)條直線與l垂直．
4[答案]　D
[解析]　由于AD∥A1D1，則∠BAD是異面直線AB，A1D1所成的角，很明顯∠BAD＝90°.
5[答案]　B
[解析]　對于選項(xiàng)A，當(dāng)a與b是異面直線時(shí)，A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B，若a，b不相交，則a與b平行或異面，都存在α，使a⊂α，b∥α，B正確；對于選項(xiàng)C，a⊥α，b⊥α，一定有a∥b，C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D，a⊂α，b⊥α，一定有a⊥b，D錯(cuò)誤．
6[答案]　D
[解析]　異面、相交關(guān)系在空間中不能傳遞，故①②錯(cuò)；根據(jù)等角定理，可知③正確；對于④，在平面內(nèi)，a∥c，而在空間中，a與c可以平行，可以相交，也可以異面，故④錯(cuò)誤．
7[答案]　D
[解析]　如圖所示．由于AA1⊥平面A1B1C1D1，EF⊂平面A1B1C1D1，則EF⊥AA1，所以①正確；當(dāng)E，F(xiàn)分別是線段A1B1，B1C1的中點(diǎn)時(shí)，EF∥A1C1，又AC∥A1C1，則EF∥AC，所以③不正確；當(dāng)E，F(xiàn)分別不是線段A1B1，B1C1的中點(diǎn)時(shí)，EF與AC異面，所以②不正確；由于平面A1B1C1D1∥平面ABCD，EF⊂平面A1B1C1D1，所以EF∥平面ABCD，所以④正確．

8[答案]　D
[解析]　選項(xiàng)A中，a，b還可能相交或異面，所以A是假命題；選項(xiàng)B中，a，b還可能相交或異面，所以B是假命題；選項(xiàng)C中，α，β還可能相交，所以C是假命題；選項(xiàng)D中，由于a⊥α，α⊥β，則a∥β或a⊂β，則β內(nèi)存在直線l∥a，又b⊥β，則b⊥l，所以a⊥b.
9[答案]　C
[解析]　如圖所示：

AB∥l∥；AC⊥l，∥l⇒AC⊥；AB∥l⇒AB∥β.
10[答案]　35 命題意圖]　本試題考查了正方體中異面直線的所成角的求解的運(yùn)用．

[解析]　首先根據(jù)已知條件，連接DF，然后則角DFD1即為
異面直線所成的角，設(shè)邊長為2，則可以求解得到
5＝DF＝D1F，DD1＝2，結(jié)合余弦定理得到結(jié)論．
11[答案]　C
[解析]　取BC中點(diǎn)E，連AE、DE，可證BC⊥AE，BC⊥DE，∴∠AED為二面角A－BC－D的平面角
又AE＝ED＝2，AD＝2，∴∠AED＝90°，故選C.
12[答案]　B
[解析]　將其還原成正方體ABCD－PQRS，顯見PB∥SC，△ACS為正三角形，∴∠ACS＝60°.

13[答案]　α∩β＝AB
14[答案]　45°
[解析]　如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1中，由于BC⊥AB，BC1⊥AB，則∠C1BC是二面角C1－AB－C的平面角．又△BCC1是等腰直角三角形，則∠C1BC＝45°.

15[答案]　9
[解析]　如下圖所示，連接AC，BD，

則直線AB，CD確定一個(gè)平面ACBD.
∵α∥β，∴AC∥BD，
則ASSB＝CSSD，∴86＝12SD，解得SD＝9.
16[答案]　①②④
[解析]　如圖所示，①取BD中點(diǎn)，E連接AE，CE，則BD⊥AE，BD⊥CE，而AE∩CE＝E，∴BD⊥平面AEC，AC⊂平面AEC，故AC⊥BD，故①正確．

②設(shè)正方形的邊長為a，則AE＝CE＝22a.
由①知∠AEC＝90°是直二面角A－BD－C的平面角，且∠AEC＝90°，∴AC＝a，
∴△ACD是等邊三角形，故②正確．
③由題意及①知，AE⊥平面BCD，故∠ABE是AB與平面BCD所成的角，而∠ABE＝45°，所以③不正確．
④分別取BC，AC的中點(diǎn)為，N，
連接E，NE，N.
則N∥AB，且N＝12AB＝12a，
E∥CD，且E＝12CD＝12a，
∴∠EN是異面直線AB，CD所成的角．
在Rt△AEC中，AE＝CE＝22a，AC＝a，
∴NE＝12AC＝12a.∴△EN是正三角形，∴∠EN＝60°，故④正確．
17[證明]　(1)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，
∵F、F1分別是AC、A1C1的中點(diǎn)，
∴B1F1∥BF，AF1∥C1F.
又∵B1F1∩AF1＝F1，C1F∩BF＝F，
∴平面AB1F1∥平面C1BF.
(2)在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∴B1F1⊥AA1.
又B1F1⊥A1C1，A1C1∩AA1＝A1，
∴B1F1⊥平面ACC1A1，而B1F1⊂平面AB1F1，
∴平面AB1F1⊥平面ACC1A1.
18[解析]　

(1)如圖所示，連接AC，由AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，得AC＝5.
又AD＝5，E是CD的中點(diǎn)，所以CD⊥AE.
∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD.
而PA，AE是平面PAE內(nèi)的兩條相交直線，所以CD⊥平面PAE.
(2)過點(diǎn)B作BG∥CD，分別與AE，AD相交于F，G，連接PF.
由(1)CD⊥平面PAE知，BG⊥平面PAE.于是∠BPF為直線PB與平面PAE所成的角，且BG⊥AE.
由PA⊥平面ABCD知，∠PBA為直線PB與平面ABCD所成的角．
AB＝4，AG＝2，BG⊥AF，由題意，知∠PBA＝∠BPF，
因?yàn)閟in∠PBA＝PAPB，sin∠BPF＝BFPB，所以PA＝BF.
由∠DAB＝∠ABC＝90°知，AD∥BC，又BG∥CD，所以四邊形BCDG是平行四邊形，故GD＝BC＝3.于是AG＝2.
在Rt△BAG中，AB＝4，AG＝2，BG⊥AF，所以
BG＝AB2＋AG2＝25，BF＝AB2BG＝1625＝855.于是PA＝BF＝855.
又梯形ABCD的面積為S＝12×(5＋3)×4＝16，所以四棱錐P－ABCD的體積為
V＝13×S×PA＝13×16×855＝128515.
19[解析]　(1)證明：如圖所示，取CD的中點(diǎn)E，連接PE，E，EA，

∵△PCD為正三角形，
∴PE⊥CD，PE＝PDsin∠PDE＝2sin60°＝3.
∵平面PCD⊥平面ABCD，
∴PE⊥平面ABCD，而A⊂平面ABCD，∴PE⊥A.
∵四邊形ABCD是矩形，
∴△ADE，△EC，△AB均為直角三角形，由勾股定理可求得E＝3，A＝6，AE＝3，
∴E2＋A2＝AE2.∴A⊥E.
又PE∩E＝E，∴A⊥平面PE，∴A⊥P.
(2)解：由(1)可知E⊥A，P⊥A，
∴∠PE是二面角P－A－D的平面角．
∴tan∠PE＝PEE＝33＝1，∴∠PE＝45°.
∴二面角P－A－D的大小為45°.
20[解析]　

(1)因?yàn)閭?cè)面BCC1B1是菱形，所以B1C⊥BC1，
又已知B1C⊥A1B，且A1B∩BC1＝B，
所以B1C⊥平面A1BC1，又B1C⊂平面AB1C
所以平面AB1C⊥平面A1BC1 .
(2)設(shè)BC1交B1C于點(diǎn)E，連接DE，則DE是平面A1BC1與平面
B1CD的交線．
因?yàn)锳1B∥平面B1CD，A1B⊂平面A1BC1，平面A1BC1∩平面B1CD＝DE，所以A1B∥DE.
又E是BC1的中點(diǎn)，所以D為A1C1的中點(diǎn)．
即A1D?DC1＝1.
21[解]　(1)證明：連接AE，如下圖所示．

∵ADEB為正方形，
∴AE∩BD＝F，且F是AE的中點(diǎn)，
又G是EC的中點(diǎn)，
∴GF∥AC，又AC⊂平面ABC，GF⊄平面ABC，
∴GF∥平面ABC.
(2)證明：∵ADEB為正方形，∴EB⊥AB，
又∵平面ABED⊥平面ABC，平面ABED∩平面ABC＝AB，EB⊂平面ABED，
∴BE⊥平面ABC，∴BE⊥AC.
又∵AC＝BC＝22AB，
∴CA2＋CB2＝AB2，
∴AC⊥BC.
又∵BC∩BE＝B，∴AC⊥平面BCE.
(3)取AB的中點(diǎn)H，連GH，∵BC＝AC＝22AB＝22，
∴CH⊥AB，且CH＝12，又平面ABED⊥平面ABC
∴GH⊥平面ABCD，∴V＝13×1×12＝16.
22[解析]　(1)證明：在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三邊長AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC⊥BC.
又∵C1C⊥AC.∴AC⊥平面BCC1B1.
∵BC1⊂平面BCC1B，∴AC⊥BC1.
(2)證明：設(shè)CB1與C1B的交點(diǎn)為E，連接DE，又四邊形BCC1B1為正方形．
∵D是AB的中點(diǎn)，E是BC1的中點(diǎn)，∴DE∥AC1.
∵DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，
∴AC1∥平面CDB1.
(3)解：∵DE∥AC1，
∴∠CED為AC1與B1C所成的角．
在△CED中，ED＝12AC1＝52，
CD＝12AB＝52，CE＝12CB1＝22，
∴cos∠CED＝252＝225.
∴異面直線AC1與B1C所成角的余弦值為225.

本文來自：逍遙右腦記憶 http://yy-art.cn/gaoyi/41037.html

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