一、教學(xué)內(nèi)容與內(nèi)容解析
1.內(nèi)容:“曲線(xiàn)與方程”是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定的教學(xué)內(nèi)容:理科選修2-1的2.1.1的內(nèi)容,主要包括(1)曲線(xiàn)的方程與方程的曲線(xiàn)概念;(2)求曲線(xiàn)的方程的一般方法(步驟);(3)坐標(biāo)法的基本思想與研究的基本問(wèn)題.
2.內(nèi)容解析:
在平面直角坐標(biāo)系建立以后,點(diǎn)坐標(biāo)(有序?qū)崝?shù)對(duì));平面曲線(xiàn)(點(diǎn)的集合或軌跡)二元方程.因此, 曲線(xiàn)的方程是幾何曲線(xiàn)的一種代數(shù)表示,方程的曲線(xiàn)則是曲線(xiàn)的方程的一種幾何表示。曲線(xiàn)和方程的這種相互表示,揭示了幾何中的“形”與代數(shù)中的“數(shù)”的統(tǒng)一結(jié)合。曲線(xiàn)與方程的相互轉(zhuǎn)化,豐富了研究幾何問(wèn)題數(shù)學(xué)方法,產(chǎn)生一門(mén)新數(shù)學(xué)學(xué)科---解析幾何,其方法論的意義影響深遠(yuǎn),更便于人們?cè)跀?shù)字化時(shí)代,用計(jì)算機(jī)工具研究處理幾何問(wèn)題。
研究曲線(xiàn)與方程的目的是把曲線(xiàn)的幾何特征轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系(方程),并通過(guò)代數(shù)運(yùn)算處理已得到的數(shù)量關(guān)系,進(jìn)而得出曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)以及研究他們之間的相互關(guān)系,并達(dá)到利用曲線(xiàn)為人們服務(wù)的目的.因此,通過(guò)這一部分內(nèi)容學(xué)習(xí),可以加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)中的代數(shù)方法的認(rèn)識(shí),也能夠讓學(xué)生更好地體會(huì)數(shù)學(xué)的本質(zhì).
“曲線(xiàn)和方程”是解析幾何中最基本(奠基)內(nèi)容,是學(xué)生體會(huì)并理解圓錐曲線(xiàn)與其方程的基礎(chǔ)。不但為學(xué)習(xí)橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)內(nèi)容做準(zhǔn)備,而且為學(xué)習(xí)研究其他曲線(xiàn)提供了理論和方法的準(zhǔn)備.因此,教學(xué)時(shí)不僅要讓學(xué)生學(xué)習(xí)如何求曲線(xiàn)的方程,而且要通過(guò)這一內(nèi)容培養(yǎng)學(xué)生的坐標(biāo)法思想,使學(xué)生明白求出曲線(xiàn)方程的真正意義在于利用曲線(xiàn)的方程去研究曲線(xiàn).
本節(jié)中的“曲線(xiàn)與方程”的概念,它是對(duì)以前學(xué)過(guò)的函數(shù)及其圖象、直線(xiàn)的方程、圓的方程等數(shù)學(xué)知識(shí)的思想方法提升、深化,是研究問(wèn)題“由特殊到一般,再到特殊”整個(gè)過(guò)程的一個(gè)階段。它刻畫(huà)了曲線(xiàn)(幾何圖形)和方程(代數(shù)關(guān)系)間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,并根據(jù)曲線(xiàn)與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系,介紹了求解曲線(xiàn)方程的一般方法,并要求學(xué)生能通過(guò)方程來(lái)處理一些簡(jiǎn)單的幾何問(wèn)題,從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生“初步通過(guò)研究方程來(lái)研究曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)”目的!皵(shù)形結(jié)合思想”在本章中得到了充分體現(xiàn),貫穿于研究圓錐曲線(xiàn)的全過(guò)程,
二、教學(xué)目標(biāo)與目標(biāo)解析
1.目標(biāo):
(1)通過(guò)實(shí)例理解曲線(xiàn)的方程與方程的曲線(xiàn)的概念,能判斷已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的特殊的曲線(xiàn)與方程之間是否具有互為表示的關(guān)系;
(2)通過(guò)實(shí)例體會(huì)求曲線(xiàn)的方程的基本步驟,能求出給定幾何特征的曲線(xiàn)的方程;
(3)通過(guò)實(shí)例體會(huì)不同的平面直角坐標(biāo)系對(duì)同一曲線(xiàn)方程的影響,體會(huì)如何“恰當(dāng)”地建立平面直角坐標(biāo)系.
(4)通過(guò)一些簡(jiǎn)單曲線(xiàn)的方程及其研究,體會(huì)坐標(biāo)法的基本思想及簡(jiǎn)單應(yīng)用.
2.目標(biāo)解析:
教學(xué)目標(biāo)(1)和(2)是本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn),教學(xué)時(shí)落實(shí)好目標(biāo)(1)、(2)和(3)是實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)(4)的前提與保證.
在學(xué)生通過(guò)函數(shù)y =f(x)及其圖象、直線(xiàn)與方程、圓與方程的學(xué)習(xí),對(duì)曲線(xiàn)的方程與方程的曲線(xiàn)這些概念初步認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上,現(xiàn)在的任務(wù)是要建立曲線(xiàn)與方程之間的一般性的概念,讓學(xué)生能從“定義”的角度去理解這些概念.
教學(xué)目標(biāo)(3)是學(xué)生初學(xué)時(shí)不易達(dá)到的目標(biāo),教學(xué)時(shí)要提供學(xué)生熟悉的曲線(xiàn)(比如直線(xiàn),圓等)在不同坐標(biāo)系中的方程的簡(jiǎn)潔程度,讓學(xué)生體會(huì)建立坐標(biāo)系時(shí)應(yīng)該關(guān)注的要點(diǎn).
對(duì)許多與曲線(xiàn)有關(guān)的具體問(wèn)題而言,原本是沒(méi)有坐標(biāo)系的.因此,通過(guò)這樣的問(wèn)題,可以使學(xué)生體會(huì)如何建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求出問(wèn)題中曲線(xiàn)的方程,并通過(guò)曲線(xiàn)的方程幫助解決問(wèn)題,以便實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)(4).
三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析
1.如何理解曲線(xiàn)與其方程之間的關(guān)系?學(xué)生可以很流利地背出曲線(xiàn)與其方程應(yīng)該滿(mǎn)足的兩條,但是如何證明“一條曲線(xiàn)與一個(gè)方程之間具有互為表示的關(guān)系”,這是學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)可能遇到的第一個(gè)教學(xué)問(wèn)題. 這個(gè)問(wèn)題可以結(jié)合“直線(xiàn)與其方程”、“圓與其方程”進(jìn)行說(shuō)明.
2.在求曲線(xiàn)的方程時(shí),如何建立平面直角坐標(biāo)系?這是學(xué)生會(huì)遇上的第二個(gè)教學(xué)問(wèn)題,也是本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)之一.教學(xué)時(shí),應(yīng)通過(guò)實(shí)例,幫助學(xué)生總結(jié)出建立坐標(biāo)系的基本要點(diǎn),并用具體問(wèn)題讓學(xué)生練習(xí)進(jìn)行體會(huì).
3.在將曲線(xiàn)上的點(diǎn)應(yīng)該滿(mǎn)足的幾何特征轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)滿(mǎn)足的等式后,常常遇上“將所得等式化簡(jiǎn)得到所求方程”的問(wèn)題.對(duì)于有些復(fù)雜的等式,化簡(jiǎn)是一個(gè)學(xué)生不易把握的問(wèn)題,學(xué)生在此極易出錯(cuò),這是第三個(gè)教學(xué)問(wèn)題.教學(xué)時(shí)不能因?yàn)檫@個(gè)問(wèn)題而使教學(xué)偏離重點(diǎn),因而宜使用信息技術(shù)工具通過(guò)對(duì)比表示驗(yàn)證方法解決這個(gè)問(wèn)題.
4.學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí),可能會(huì)因更多地關(guān)注代數(shù)運(yùn)算而忽略數(shù)學(xué)思想的提煉,這個(gè)教學(xué)問(wèn)題的解決,需要教師有目的地進(jìn)行引領(lǐng).
四、教學(xué)支持條件
1.在進(jìn)行本節(jié)課的教學(xué)時(shí),學(xué)生已經(jīng)在數(shù)學(xué)必修1中學(xué)習(xí)了函數(shù)y =f(x)及其圖象,在數(shù)學(xué)必修2中學(xué)習(xí)了直線(xiàn)與方程、圓與方程,這些內(nèi)容是學(xué)生理解曲線(xiàn)與方程概念的重要基礎(chǔ),因此教學(xué)時(shí)應(yīng)充分利用這一教學(xué)以備條件,引導(dǎo)學(xué)生多進(jìn)行歸納與概括.
2.曲線(xiàn)與方程是數(shù)形結(jié)合的典范,教學(xué)這一內(nèi)容時(shí)會(huì)涉及大量圖形的繪制與方程的簡(jiǎn)化等代數(shù)運(yùn)算,因此,《幾何畫(huà)板》是重要的支持條件,教學(xué)中應(yīng)充分利用這一工具,不僅可以節(jié)省大量時(shí)間用于學(xué)生思考,而且可以對(duì)實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)據(jù)形象地進(jìn)行演示分析.
五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)
[問(wèn)題1]請(qǐng)同學(xué)們閱讀P34的內(nèi)容,對(duì)每個(gè)實(shí)例用簡(jiǎn)練的兩句話(huà)進(jìn)行概括總結(jié),(1)第一、三象限角平分線(xiàn)和二元方程x=y(或x-y=0)之間有什么對(duì)應(yīng)關(guān)系?(2)圓和二元方程之間有什么對(duì)應(yīng)關(guān)系?
在坐標(biāo)系中,
(1) 第一、三象限角平分線(xiàn)上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都是二元方程x-y=0的解;
(1’) 圓上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都是二元方程的解;
(2) 以二元方程x-y=0的(任一)解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在第一、三象限角平分線(xiàn)上。
(2’) 以二元方程的(任一)解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在圓上。
意圖:從學(xué)生熟悉的曲線(xiàn)與方程的特例出發(fā),為引出曲線(xiàn)的方程與方程的曲線(xiàn)的概念做鋪墊.
師生活動(dòng):讓學(xué)生嘗試直線(xiàn)與方程、圓與方程中,“曲線(xiàn)上的點(diǎn)與二元方程(實(shí))解之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系”的要求;教師向“一般曲線(xiàn)上的點(diǎn)與一般二元方程(實(shí))解之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系” 的要求上進(jìn)行引領(lǐng),為介紹曲線(xiàn)的方程與方程的曲線(xiàn)的概念再做準(zhǔn)備.
[問(wèn)題2] 在坐標(biāo)系中,對(duì)一般的曲線(xiàn)與二元方程,你能給出曲線(xiàn)的方程和方程的曲線(xiàn)的概念嗎?
意圖:給出曲線(xiàn)的方程與方程的曲線(xiàn)的概念.
師生活動(dòng):讓學(xué)生先概括表達(dá),然后教師引領(lǐng)學(xué)生閱讀教材上的“定義”,給出曲線(xiàn)的方程和方程的曲線(xiàn)的概念.最后形象化給出:
[問(wèn)題3]試談一談,我們對(duì)“方程f(x,y)=0是曲線(xiàn)的方程”、 “曲線(xiàn)C是方程f(x,y)=0的曲線(xiàn)” 的概念掌握,應(yīng)把握哪些方面呢?
意圖:加深對(duì)曲線(xiàn)的方程與方程的曲線(xiàn)的概念中關(guān)鍵方面的理解.
師生活動(dòng):學(xué)生回答,教師評(píng)析并給出:
㈠曲線(xiàn)的方程與方程的曲線(xiàn)的概念中的條件(1)、(2)缺一不可,相互獨(dú)立,并構(gòu)成一個(gè)完整一個(gè)整體;【練】學(xué)生完成教材P37練習(xí)第1題,并將題中的“中線(xiàn)AO(O為原點(diǎn))所在直線(xiàn)的方程”修改為“中線(xiàn)AO(O為原點(diǎn))的方程”后,提問(wèn)學(xué)生結(jié)論有無(wú)改變?
㈡若“方程f(x,y)=0是曲線(xiàn)的方程”或 “曲線(xiàn)C是方程f(x,y)=0的曲線(xiàn)”前提下,點(diǎn)M在曲線(xiàn)C上其坐標(biāo)是方程的解;【練】學(xué)生完成P37練習(xí)第2題.
㈢曲線(xiàn)的方程的化簡(jiǎn)過(guò)程一定要同解變形,否則,不滿(mǎn)足概念中的條件(1)、(2)。即打破“點(diǎn)與解間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系”;
㈣本概念是在“建立坐標(biāo)系”這一平臺(tái)作出的,所以“建系”不同,所求的方程形式不同。
[問(wèn)題4] 請(qǐng)畫(huà)出函數(shù)的圖象,圖象(曲線(xiàn))C上的點(diǎn)相應(yīng)于坐標(biāo)軸的距離滿(mǎn)足什么關(guān)系等式(方程)?是否滿(mǎn)足這個(gè)關(guān)系等式(方程)的點(diǎn)都在圖象(曲線(xiàn))C上?
意圖:理解用解析式表示的函數(shù)(方程)與其圖象(曲線(xiàn))之間的關(guān)系,鞏固曲線(xiàn)的方程與方程的曲線(xiàn)的概念.
師生活動(dòng):(1)師生畫(huà)出函數(shù)的圖象C;(2)學(xué)生思考“圖象C上的點(diǎn)相應(yīng)于坐標(biāo)軸的距離滿(mǎn)足什么關(guān)系等式是“圖象C上的點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸的距離的乘積是常數(shù)k”;(3)學(xué)生思考“到兩坐標(biāo)軸的距離的乘積是常數(shù)的點(diǎn)都在圖象C上”嗎?;(4)師生得出“到兩坐標(biāo)軸的距離的乘積是常數(shù)k的點(diǎn)的軌跡方程是”;(5)證明所得結(jié)論,完成教材P35例1.
[問(wèn)題5] 閱讀教材P35“2.1.2求曲線(xiàn)的方程”的第一段內(nèi)容,你能概括出解析幾何研究的問(wèn)題以及研究幾何問(wèn)題的思想方法(或具體方法)嗎?
意圖:明確解析幾何研究的基本內(nèi)容.
師生活動(dòng):學(xué)生閱讀教材并提煉回答內(nèi)容,請(qǐng)學(xué)生回答,教師點(diǎn)評(píng)總結(jié):“研究曲線(xiàn)與方程的目的是把曲線(xiàn)的幾何特征轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系(方程),并通過(guò)代數(shù)運(yùn)算處理已得到的數(shù)量關(guān)系,進(jìn)而得出曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)以及研究他們之間的相互關(guān)系,并達(dá)到利用曲線(xiàn)為人們服務(wù)的目的”.并指出在這個(gè)過(guò)程中體現(xiàn)了解析幾何研究的兩個(gè)問(wèn)題以及“數(shù)形結(jié)合”的思想方法(具體的方法為“坐標(biāo)法”)。
[問(wèn)題6] 請(qǐng)學(xué)生們閱讀例2, 并對(duì)照例2的解題步驟,你們能寫(xiě)出求曲線(xiàn)方程的一般步驟嗎?(略微提及例2的其他解法)
意圖:歸納求曲線(xiàn)的方程的步驟,體會(huì)坐標(biāo)法的基本思想.
師生活動(dòng):根據(jù)上述過(guò)程讓學(xué)生試總結(jié)求曲線(xiàn)的方程的步驟(見(jiàn)教材P36),特別要強(qiáng)調(diào)步驟5,并對(duì)步驟2、步驟5在解題中如何進(jìn)行量力處理.
[問(wèn)題7] 已知一條直線(xiàn)和一個(gè)點(diǎn)F,點(diǎn)F到l的距離是2.一條曲線(xiàn)上面的點(diǎn)到F的距離減去到l的距離所得的差都是2.你能建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求出這條曲線(xiàn)的方程嗎?
意圖:幫助學(xué)生熟悉和鞏固求曲線(xiàn)的方程的步驟.進(jìn)一步鞏固強(qiáng)調(diào)步驟5在解題中如何進(jìn)行量力處理.
師生活動(dòng):(1)師生討論如何建立坐標(biāo)系;
(2)讓學(xué)生按步驟求出曲線(xiàn)的方程;
(3)師生討論如何添加所求曲線(xiàn)方程的附加約束條件(①在設(shè)任一點(diǎn)坐標(biāo)時(shí),依幾何條件加以對(duì)坐標(biāo)約束;②方程化簡(jiǎn)過(guò)程是否為同解變形,在哪一步不是同解變形?③用問(wèn)題中幾何特征與所求方程曲線(xiàn)進(jìn)行比較檢驗(yàn)).
(4)【問(wèn)】:有無(wú)其它建立坐標(biāo)系的方法,求點(diǎn)A的軌跡方程?所求得的方程與上面“點(diǎn)A的軌跡方程”相同嗎?教師歸納總結(jié)建立坐標(biāo)系的一般要點(diǎn),并指出“建系”不同,所得方程不同,“建系”適當(dāng)與否,影響所求方程(形式)的簡(jiǎn)易.【練】:教材P37練習(xí)第3題.
[問(wèn)題8]建立坐標(biāo)系后,是否一條曲線(xiàn)方程唯一?你們對(duì)“坐標(biāo)法”解決幾何問(wèn)題有何體會(huì)?請(qǐng)歸納一下本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容?
意圖:歸納總結(jié)本節(jié)內(nèi)容,突出重點(diǎn)知識(shí)和基本方法.
師生活動(dòng):學(xué)生思考交流,師生共同總結(jié).
五、目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)
1.教材P37,習(xí)題2.1:A組第2、3、4題;B組第1、2題.
2.已知曲線(xiàn)的方程為,并且曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn),兩點(diǎn),
(1)求曲線(xiàn)的方程;
(2)若在的正半軸上存在一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交曲線(xiàn),于,兩點(diǎn),求的中點(diǎn)的軌跡方程.
作者簡(jiǎn)介:王志軍 1968年12月22日生,河北省邢臺(tái)市人,1989年6月28日畢業(yè)于蘇州鐵道師范學(xué)院數(shù)學(xué)系,2001年6月29日獲北京師范大學(xué)碩士學(xué)位,F(xiàn)在山西省百年重點(diǎn)名校太原五中擔(dān)任高中數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)競(jìng)賽教學(xué)工作,中學(xué)數(shù)學(xué)高級(jí)教師,中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克高級(jí)教練,山西省數(shù)學(xué)會(huì)資深教練。山西省太原市十大文明形象大使,山西省太原市教育系統(tǒng)優(yōu)秀黨員,優(yōu)秀班主任。自2001年至今,所帶學(xué)生獲全國(guó)高中數(shù)學(xué)奧林匹克國(guó)家級(jí)金牌2枚,銀牌3枚,銅牌4枚,由數(shù)學(xué)單科競(jìng)賽成績(jī)被保送或加10~30分錄取進(jìn)入清華、北大學(xué)習(xí)的學(xué)生有31人,有58人獲全國(guó)高中聯(lián)賽山西省一等獎(jiǎng)。所帶理科實(shí)驗(yàn)班和普通班的數(shù)學(xué)高考成績(jī)?nèi)〉昧钊俗⒛康膬?yōu)異成績(jī)。主編的《高中數(shù)學(xué)問(wèn)題誤解診療》大全第二卷由山西教育出版社出版,參編的《高中數(shù)學(xué)知識(shí)精講與能力訓(xùn)練》分冊(cè)(高三)由光明日?qǐng)?bào)出版社出版,《高中數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)》(高三)由中央民族大學(xué)出版社出版,《2011年山西省高考數(shù)學(xué)應(yīng)試一點(diǎn)通》由山西經(jīng)濟(jì)出版社出版。在國(guó)家級(jí)、。ú浚┘(jí)學(xué)術(shù)期刊上發(fā)表論文《高中生在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中思維參與的研究》、《異面直線(xiàn)間定長(zhǎng)連線(xiàn)段中點(diǎn)軌跡問(wèn)題》、《以教導(dǎo)學(xué) 以學(xué)促教》、《就如何學(xué)好高中數(shù)學(xué)答學(xué)生及家長(zhǎng)問(wèn)》、《有關(guān)函數(shù) 、、、間定義域互求的幾點(diǎn)商榷》、《學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)應(yīng)注意的問(wèn)題》、《高中數(shù)學(xué)教材(試驗(yàn)修訂本)中平移內(nèi)容的新講與新編》9篇;在國(guó)家級(jí)、。ú浚┘(jí)教育教學(xué)報(bào)刊上發(fā)表教育性文章《我的師生觀》、《對(duì)評(píng)課的再認(rèn)識(shí)》、《漫談?wù)埣医蹋ㄉ稀⑾拢返?篇;發(fā)表的文學(xué)作品有《為師的“苦澀”》、《為師之悔》、《夢(mèng)中情人》等。
本文來(lái)自:逍遙右腦記憶 http://yy-art.cn/gaozhong/148377.html
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