一：選擇題
1．已知，則則A等于 （ ）
A．15 B． C． D．225
2．若0＜a＜1，且函數(shù)，則下列各式中成立的是（�。�
A． B．
C． D．
3．已知則的值等于( )
A．0 B． C． D．9
4．若，則（ ）
A．a(chǎn)<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<a<c
5．已知實數(shù)a、b滿足等式，下列五個關(guān)系式： ① 0<a<b<1；② 0<b<a<1； ③ a=b；④ 1<a<b；⑤ l<b<a．其中不可能成立的關(guān)系式有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
6．若0＜a＜1，且函數(shù)，則下列各式中成立的是（�。�
A． B．
C． D．
7．已知：的不等實根一共有（ ）
A、1個 B、2 個 C、3 個 D、4個
8．在計算機(jī)的算法語言中有一種函數(shù)叫做取整函數(shù)（也稱高斯函數(shù)），它表示的整數(shù)部分，即[]是不超過的最大整數(shù)．例如：．設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的值域為 （ ）
A. B. C. D.
9．曲線在原點(diǎn)處的切線方程為
A. B. C. D.
10.設(shè)函數(shù) 有（ ）
A．分別位于區(qū)間（1，2），（2，3），（3，4）內(nèi)的三個根
B.四個實根
C.分別位于區(qū)間（0，1），（1，2），（2，3），（3，4）內(nèi)的四個根
D.分別位于區(qū)間（0，1）（1，2），（2，3），內(nèi)的三個根
11．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是（ ）
A． B. C. D.
12．與定積分相等的是（ ）
A． B. C. - D. +
二：填空題
13．由曲線所圍成的圖形面積是 .
14．一輛汽車在某段路程中的行駛速度與時間的關(guān)系如圖所示，則該汽車在前3小時內(nèi)行駛的路程為_________km，假設(shè)這輛汽車的里程表在汽車行駛這段路程前的讀數(shù)為2006km，那么在時，汽車?yán)锍瘫碜x數(shù)與時間的函數(shù)解析式為__________。
15. 函數(shù)f(x)=x3－3x2＋6x－7的圖象是中心對稱圖形, 其對稱中心的坐標(biāo)為_________ 。
16．給出下列四個命題：
①函數(shù)（且）與函數(shù)（且）的定義域相同；
②函數(shù)與的值域相同；
③函數(shù)與都是奇函數(shù)；
④函數(shù)與在區(qū)間[0，＋）上都是增函數(shù)。
其中正確命題的序號是_____________。（把你認(rèn)為正確的命題序號都填上）
三：解答題
17．（12分）設(shè)f (x)＝lg(ax2－2x＋a),
(1) 如果f (x)的定義域是(－∞, ＋∞)，求a的取值范圍；
(2) 如果f (x)的值域是(－∞, ＋∞)，求a的取值范圍。
18．（12分）統(tǒng)計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時耗油量y（升）關(guān)于行駛速度x（千米/小時）的函數(shù)解析式可以表示為：y=(0<x≤120).已知甲、乙兩地相距100千米。
�。á瘢┊�(dāng)汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？
�。á颍┊�(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？
19.（12分）設(shè), 點(diǎn)P是函數(shù)的圖象的一個公共點(diǎn), 兩函數(shù)的圖象在點(diǎn)P處有相同的切線.
(1) 用表示a, b, c;
(2) 若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求的取值范圍.
20．（12分）設(shè)函數(shù), 其中,是的導(dǎo)函數(shù).
(1)若,求函數(shù)的解析式;
(2)若,函數(shù)的兩個極值點(diǎn)為滿足. 設(shè), 試求實數(shù)的取值范圍.
21．（14分）已知函數(shù)，，且有極值．
�。�1）求實數(shù)的取值范圍；
�。�2）求函數(shù)的值域；
（3）函數(shù)，證明：，，使得成立．
22．（12分）設(shè)f（x）是定義在[0，1]上的函數(shù)，若存在x*∈（0，1），使得f（x）在[0， x*]上單調(diào)遞增，在[x*，1]上單調(diào)遞減，則稱f（x）為[0，1]上的單峰函數(shù)，x*為峰點(diǎn)，包含峰點(diǎn)的區(qū)間為含峰區(qū)間．對任意的[0，l]上的單峰函數(shù)f（x），下面研究縮短其含峰區(qū)間長度的方法．
（1）證明：對任意的x1，x2∈（0，1），x1＜x2，若f（x1）≥f（x2），則（0，x2）為含峰區(qū)間；若f（x1）≤f（x2），則（x*，1）為含峰區(qū)間；
（2）對給定的r（0＜r＜0.5＝，證明：存在x1，x2∈（0，1），滿足x2－x1≥2r，使得由（I）所確定的含峰區(qū)間的長度不大于0.5＋r；
（3）選取x1，x2∈（0，1），x1＜x2，由（I）可確定含峰區(qū)間為（0，x2）或（x1，1），在所得的含峰區(qū)間內(nèi)選取x3，由x3與x1或x3與x2類似地可確定一個新的含峰區(qū)間．在第一次確定的含峰區(qū)間為（0，x2）的情況下，試確定x1，x2，x3的值，滿足兩兩之差的絕對值不小于0.02，且使得新的含峰區(qū)間的長度縮短到0.34.（區(qū)間長度等于區(qū)間的右端點(diǎn)與左端點(diǎn)之差）
函數(shù)綜合參考答案
一：選擇題BDCB，BDDB，DAAC
二：填空題13．e－2 14．220； 15．(1,－3) 16．①③
三：解答題
17．解：(1) ∵f (x)的定義域是(－∞, ＋∞),
∴ 當(dāng)x∈(－∞, ＋∞)時,都有ax2－2x＋a>0, 即滿足條件a>0, 且△<0, 4－4a2<0, ∴a>1.（6分）
(2) ∵f (x)的值域是(－∞, ＋∞)，即當(dāng)x在定義域內(nèi)取值時，可以使y∈(－∞, ＋∞).
要求ax2－2x＋a可以取到大于零的一切值，∴a>0且△≥0 (4－4a≥0)或a＝0,
解得0≤a≤1.……12分
18．解：（I）當(dāng)時，汽車從甲地到乙地行駛了小時，
要耗沒（升）�！�5分
答：當(dāng)汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油17.5升�！�6分
�。↖I）當(dāng)速度為千米/小時時，汽車從甲地到乙地行駛了小時，設(shè)耗油量為升，
依題意得…………8分
令得
當(dāng)時，是減函數(shù)；
當(dāng)時，是增函數(shù)。
當(dāng)時，取到極小值
因為在上只有一個極值，所以它是最小值。………………………………11分
答：當(dāng)汽車以80千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少，最少為11.25升。（12分）
19．解: (1) 因為函數(shù), 的圖象都過點(diǎn), 所以,
即.因為 所以. ………………3分
又因為, 在點(diǎn)處有相同的切線, 所以
而……………………………………………5分
將代入上式得 因此故,,………………6分
(2) 解法一: .……8
當(dāng)時, 函數(shù)單調(diào)遞減.
由, 若; 若
由題意, 函數(shù)在上單調(diào)遞減, 則
所以
又當(dāng)時, 函數(shù)在上單調(diào)遞減.
所以的取值范圍為……………………………………………………12
解法二：
因為函數(shù)在上單調(diào)遞減, 且是
上的拋物線, 所以 即解得
所以的取值范圍為………………………………………………………12分
20．解: ………………………………………………1分
(Ⅰ)據(jù)題意,…………………………………2分
由知,是二次函數(shù)圖象的對稱軸
又, 故是方程的兩根..............4分
設(shè),將代入得
比較系數(shù)得:
故為所求.………………………………6分
(其它解法酌情記分)
另解：，…………………….1分
據(jù)題意得 ………3分 解得 …………………5分
故為所求.………………………………6分
(Ⅱ)據(jù)題意,,則
又是方程的兩根,且
則 ………………………………………8分
則點(diǎn)的可行區(qū)域如圖………………10分
的幾何意義為點(diǎn)P與點(diǎn)的距離的平方.觀察圖形知點(diǎn)，A到直線的距離的平方為的最小值
故的取值范圍是…………………………………………………………12分
21．解：（Ⅰ）由求導(dǎo)可得
……………………………………………………………………………… 1分
令 ……………………………………………………………… 2分
可得 ∵ ∴ ∴
又因為
+
0
—
單調(diào)遞增
極大值
單調(diào)遞減
所以，有極值 …………………………………… ……………………………………3分
所以，實數(shù)的取值范圍為．……………………………………………………4分
�。á颍┯桑á瘢┛芍臉O大值為………………………………5分
又∵ ， …………………………………………………………6分
由，解得
又∵
∴當(dāng)時，函數(shù)的值域為………………… 7分
當(dāng)時，函數(shù)的值域為． …………………………8分
�。á螅┳C明：由求導(dǎo)可得
令，解得
令，解得或 ……………………………… 10分
又∵
∴在上為單調(diào)遞增函數(shù)……………………………………………………12分
∵ ，
∴在的值域為∵ ，，
∴，
∴，，使得成立． …………………………14分
22（1）證明：設(shè)x*為f（x） 的峰點(diǎn)，則由單峰函數(shù)定義可知，f（x）在[0， x*]上單調(diào)遞增，在[x*，1]上單調(diào)遞減．
當(dāng)f（x1）≥f（x2）時，假設(shè)x*（0，x2），則x1<x2<x*，從而f（x*）≥f（x2） >f（x1），這與f（x1）≥f（x2）矛盾，所以x*∈（0，x2），即（0，x2）是含峰區(qū)間.
當(dāng)f（x1）≤f（x2）時，假設(shè)x*（ x2，1），則x*<≤x1<x2，從而f（x*）≥f（x1）>f（x2），
這與f（x1）≤f（x2）矛盾，所以x*∈（x1，1），即（x1，1）是含峰區(qū)間.……4分
（2）證明：由（I）的結(jié)論可知：
當(dāng)f（x1）≥f（x2）時，含峰區(qū)間的長度為l1＝x2；當(dāng)f（x1）≤f（x2）時，含峰區(qū)間的長度為l2=1－x1；
對于上述兩種情況，由題意得
①
由①得1＋x2－x1≤1+2r，即x1－x1≤2r.
又因為x2－x1≥2r，所以x2－x1=2r， ②
將②代入①得x1≤0.5－r， x2≥0.5－r， ③
由①和③解得 x1＝0.5－r， x2＝0.5＋r．
所以這時含峰區(qū)間的長度l1＝l1＝0.5＋r，即存在x1，x2使得所確定的含峰區(qū)間的長度不大于0.5＋r．…………………………………………8分
�。�3）解：對先選擇的x1；x2，x1<x2，由（II）可知x1＋x2＝l， ④
在第一次確定的含峰區(qū)間為（0， x2）的情況下，x3的取值應(yīng)滿足x3＋x1＝x2， ⑤
由④與⑤可得，當(dāng)x1>x3時，含峰區(qū)間的長度為x1．
由條件x1－x3≥0.02，得x1－（1－2x1）≥0.02，從而x1≥0.34．
因此，為了將含峰區(qū)間的長度縮短到0.34，只要取x1＝0.34，x2＝0.66，x3=0.32．…12分
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