三、解答題

12.某民營(yíng)企業(yè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)，A產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資成正比，其關(guān)系如圖甲，B產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖乙(注：利潤(rùn)與投資單位：萬元).

⑴分別將A、B兩種產(chǎn)品的利潤(rùn)表示為投資的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它們的函數(shù)關(guān)系式；

⑵該企業(yè)已籌集到10萬元資金，并全部投入A、B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問：怎樣分配這10萬元投資，才能使企業(yè)獲得最大利潤(rùn)，其最大利潤(rùn)約為多少萬元(精確到1萬元)？

考查目的：考查函數(shù)建模能力、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、換元法求二次函數(shù)最值，以及轉(zhuǎn)化化歸思想和數(shù)形結(jié)合思想等.

答案：⑴，；⑵當(dāng)A產(chǎn)品投入3.75萬元，B產(chǎn)品投入6.25萬元時(shí)，企業(yè)獲得最大利潤(rùn)約4萬元.

解析：⑴設(shè)A產(chǎn)品投資萬元時(shí)，利潤(rùn)為萬元； B產(chǎn)品投資萬元時(shí)，利潤(rùn)為萬元，由題意設(shè)().由圖象可知，∴.又∵，∴，∴，.

⑵設(shè)投入A產(chǎn)品萬元，則投入B產(chǎn)品為萬元，這時(shí)企業(yè)獲得的利潤(rùn)為萬元，依題意得

.

令，∴，

∴當(dāng)時(shí)，，此時(shí).

答：當(dāng)A產(chǎn)品投入3.75萬元，B產(chǎn)品投入6.25萬元時(shí)，企業(yè)獲得最大利潤(rùn)約4萬元.

 

 

13.(2011湖北理)提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況.在一般情況下，大橋上的車流速度(單位：千米/小時(shí))是車流密度(單位：輛/千米)的函數(shù).當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時(shí)，車流速度為60千米/小時(shí).研究表明：當(dāng)時(shí)，車流速度是車流密度的一次函數(shù).

⑴當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的表達(dá)式；

⑵當(dāng)車流密度為多大時(shí)，車流量(單位時(shí)間內(nèi)通過橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/小時(shí))

可以達(dá)到最大，并求出最大值.(精確到1輛/小時(shí))

考查目的：考查分段函數(shù)、待定系數(shù)法和函數(shù)最值的求法等基礎(chǔ)知識(shí)，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.

答案：⑴⑵當(dāng)時(shí)，在區(qū)間[0，200]上取得最大值.

解析：⑴由題意得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，設(shè)().由已知條件得解得∴函數(shù)的表達(dá)式為⑵由⑴得

當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，其最大值為60×20=1200；

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，在區(qū)間[20，200]上取得最大值.

綜合以上得，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間[0，200]上取得最大值.

即當(dāng)車流密度為100輛/千米時(shí)，車流量可以達(dá)到最大，最大值約為3333輛/小時(shí).

 

 

14.某跨國(guó)飲料公司在對(duì)全世界所有人均GDP(即人均純收入)在0.5千美元～8千美元的地區(qū)銷售該公司A飲料情況的調(diào)查中發(fā)現(xiàn)：人均GDP處在中等的地區(qū)對(duì)該飲料的銷售量最多，然后向兩邊遞減.

⑴下列幾個(gè)模擬函數(shù)中的哪一個(gè)模擬函數(shù)(表示人均GDP，單位：千美元，表示年人均A飲料的銷量，單位：升)來描述人均A飲料銷量與地區(qū)的人均GDP關(guān)系更合適？說明理由.

①，②，③，④；

⑵若人均GDP為1千美元時(shí)，年人均A飲料的銷量為2升，人均GDP為4千美元時(shí)，年人均A飲料的銷量為5升，把⑴中你所選的模擬函數(shù)求出來，并求出各個(gè)地區(qū)中，年人均A飲料的銷量最多是多少？

考查目的：考查幾類增長(zhǎng)率函數(shù)模型與實(shí)際問題的擬合，數(shù)學(xué)建模能力，綜合所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.

答案：⑴；⑵年人均A飲料銷量最多是升.

解析：⑴用函數(shù)①來描述人均A飲料銷量與地區(qū)的人均GDP的關(guān)系更合適.因?yàn)楹瘮?shù)，，在其定義域內(nèi)都是單調(diào)函數(shù)，不具備先遞增后遞減的特征.

⑵∵函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)(1，2)和(4，5)，∴，解得，∴，.

∵，∴在各地區(qū)中，當(dāng)時(shí)，年人均A飲料銷量最多是升.

 

 

15.(2007廣東)已知是實(shí)數(shù)，函數(shù)，如果函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

考查目的：考查函數(shù)零點(diǎn)的定義、二次函數(shù)與二次方程之間的相互轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合思想.

答案：或.

解析：函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，即方程在上有解.若時(shí)，則，不符合題意，∴，∴方程在上有解等價(jià)于

①或②.解①得.解②得或.

綜合①②得或，即實(shí)數(shù)的取值范圍是或.

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