黛安娜和母親一起上街為她妹妹的生日聚會(huì)購買糖果和小禮品。黛安娜的母親專買小禮品，而黛安娜專買糖果。關(guān)于她買糖果的數(shù)量和所買小禮品的數(shù)量，以及她們所花的錢款，情況如下：
(1)黛安娜身上只帶了十三枚硬幣，而且里面只有三種：1美分、5美分和25美分。她把它們?nèi)坑脕碣I了糖果。
（2）她為奧爾西婭買的糖果每塊2美分，她為布萊思買的糖果每塊3美分，她為卡麗買的糖果每塊6美分。
�。�3）她為這三個(gè)女孩買的糖果塊數(shù)各不相同，而且都不止一塊。
�。�4）有兩種糖果她所付的錢款相同。
（5）她母親買了一些小禮品，每件小禮品的單價(jià)都一樣。母親總共花了4.80美元。
�。�6）黛安娜所買糖果的塊數(shù)同她母親所買紀(jì)念品的件數(shù)相等。
�。�7）黛安娜給她妹妹買的糖果塊數(shù)最多。
三個(gè)女孩中，誰是黛安娜的妹妹？
�。ㄌ崾荆焊鶕�(jù)(1)、(2)、(5)、(6)可列出五個(gè)方程。根據(jù)(4)所列出的三個(gè)方程，只有一個(gè)是正確的。在這些方程中各個(gè)量的和與積是奇數(shù)還是偶數(shù)，應(yīng)予考慮。）
答 案
設(shè)P=黛安娜所帶的1美分硬幣和枚數(shù)，
N=黛安娜所帶的5美分硬幣和枚數(shù)，
Q=黛安娜所帶的25美分硬幣和枚數(shù)，
T=黛安娜為買糖果所花的總錢數(shù)(以美分為單位)，
a=為奧爾西婭所買的糖果的塊數(shù)，
b=為布萊思所買的糖果的塊數(shù)，
c=為卡麗所買的糖果的塊數(shù)，
d=母親所買的紀(jì)念品的單價(jià)（以美分為單位），
F=母親所買的紀(jì)念品的件數(shù)。
以上各數(shù)都是正整數(shù)。
根據(jù)（1）：（la）P+N+Q＝13，
�。�1b)P+5N+25Q＝T.
根據(jù)（2）：（2）2a+3b+6c＝T。
根據(jù)（3）：（3）a、b、c各不相同而且都大于1。
根據(jù)（4）：（4）或者2a＝3b，或者2a＝6c，或者3b＝6c。
根據(jù)（5）：（5）F×d＝480。
根據(jù)（6）：（6）a+b+C＝F。
根據(jù)（7），問題可以重新表述為：
（7）a、b、c中哪一個(gè)最大？
這里一共有六個(gè)方程和九個(gè)未知數(shù)，第四個(gè)方程是三個(gè)可能的方程中的一個(gè)。方程太多，無法僅用代數(shù)方法求解，因此除了各數(shù)都是正整數(shù)這一特點(diǎn)之外，必須再尋找其他特點(diǎn)。
我們知道：兩個(gè)奇數(shù)之和總是偶數(shù)，
兩個(gè)偶數(shù)之和總是偶數(shù)，
一個(gè)奇數(shù)與一個(gè)偶數(shù)之和總是奇數(shù)。
而且知道：兩個(gè)奇數(shù)之積總是奇數(shù)，
兩個(gè)偶數(shù)之積總是偶數(shù)，
一個(gè)奇數(shù)與一個(gè)偶數(shù)之積總是偶數(shù)。
根據(jù)這些規(guī)律，在方程（1a）中，或是P、N、Q三者都是奇
數(shù)，或是這三個(gè)數(shù)中只有一個(gè)是奇數(shù)。無論是這兩種情況中的哪一種，（1b）中的T總是奇數(shù)。于是方程（2）中的b是奇數(shù)。這樣，在方程（4）中，2a不能等于3b，因?yàn)?a是偶數(shù)而3b是奇數(shù)。3b也不能等于6c，因?yàn)?c是偶數(shù)而3b是奇數(shù)。因此2a＝6c。(至此，已經(jīng)知道c不是最大的數(shù)，因?yàn)閍必定大于c。）兩邊除以2，得a＝3c。代入方程（6），得b+4c＝F。
由于b是奇數(shù)，所以在b+4c＝F中，F(xiàn)是奇數(shù)。在方程（5）中，480是兩個(gè)數(shù)的乘積，其中一個(gè)是奇數(shù)（F），另一個(gè)是偶數(shù)（d）。在這個(gè)乘積中，F(xiàn)可能取的奇數(shù)值只有l(wèi)、3、5或15。F等于1或3是不可能的，因?yàn)樵赽+4c＝F中，b和c必須是正整數(shù)。根據(jù)（3）(b和c不能等于1），F(xiàn)也不等于5。因此，F(xiàn)必定等于15。
于是b＋4c＝15，而C不能大于3或者小于1。根據(jù)（3），C不能等于1，也不能等于3否則b也等于3）。所以C必定等于2。從而b＝7。根據(jù)前面得出的a＝3c，所以a＝6。因此b是最大的數(shù)。這樣，根據(jù)（7），布萊思是黛安娜的妹妹。
其他各值可以求解如下。因?yàn)镕＝15，所以根據(jù)（5），d＝32。由于a＝6，b＝7，c＝2，所以根據(jù)（2），T＝45。從（1b）減去
�。╨a）得出4N+240＝32。兩邊除以4，得N+6Q＝8。Q不能大于1（否則N將是負(fù)數(shù)），也不能小于1（因?yàn)楦鶕?jù)（l），黛安娜有25美分的硬幣），因此Q＝l。于是N＝2。于是根據(jù)（la），P＝10。
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