18世紀(jì)時(shí)，歐洲有一個(gè)風(fēng)景秀麗的小城哥尼斯堡，那里有七座橋。如圖1所示：河中的小島A與河的左岸B、右岸C各有兩座橋相連結(jié)，河中兩支流間的陸地D與A、B、C各有一座橋相連結(jié)。當(dāng)時(shí)哥尼斯堡的居民中流傳著一道難題：一個(gè)人怎樣才能一次走遍七座橋，每座橋只走過(guò)一次，最后回到出發(fā)點(diǎn)？大家都試圖找出問(wèn)題的答案，但是誰(shuí)也解決不了這個(gè)問(wèn)題。

圖 1                         圖 2

    
　　七橋問(wèn)題引起了著名數(shù)學(xué)家歐拉（1707—1783）的關(guān)注。他把具體七橋布局化歸為圖2所示的簡(jiǎn)單圖形，于是，七橋問(wèn)題就變成一個(gè)一筆畫(huà)問(wèn)題：怎樣才能從A、B、C、D中的某一點(diǎn)出發(fā)，一筆畫(huà)出這個(gè)簡(jiǎn)單圖形（即筆不離開(kāi)紙，而且a、b、c、d、e、f、g各條線(xiàn)只畫(huà)一次不準(zhǔn)重復(fù)），并且最后返回起點(diǎn)？歐拉經(jīng)過(guò)研究得出的結(jié)論是：圖2是不能一筆畫(huà)出的圖形。這就是說(shuō)，七橋問(wèn)題是無(wú)解的。這個(gè)結(jié)論是如何產(chǎn)生呢？請(qǐng)看下面的分析。

　　如果我們從某點(diǎn)出發(fā)，一筆畫(huà)出了某個(gè)圖形，到某一點(diǎn)終止，那么除起點(diǎn)和終點(diǎn)外，畫(huà)筆每經(jīng)過(guò)一個(gè)點(diǎn)一次，總有畫(huà)進(jìn)該點(diǎn)的一條線(xiàn)和畫(huà)出該點(diǎn)的一條線(xiàn)，因此就有兩條線(xiàn)與該點(diǎn)相連結(jié)。如果畫(huà)筆經(jīng)過(guò)一個(gè)n次，那么就有2n條線(xiàn)與該點(diǎn)相連結(jié)。因此，這個(gè)圖形中除起點(diǎn)與終點(diǎn)外的各點(diǎn)，都與偶數(shù)條線(xiàn)相連。如果起點(diǎn)和終點(diǎn)重合，那么這個(gè)點(diǎn)也與偶數(shù)條線(xiàn)相連；如果起點(diǎn)和終點(diǎn)是不同的兩個(gè)點(diǎn)，那么這兩個(gè)點(diǎn)部是與奇數(shù)條線(xiàn)相連的點(diǎn)。綜上所述，一筆畫(huà)出的圖形中的各點(diǎn)或者都是與偶數(shù)條線(xiàn)相連的點(diǎn)，或者其中只有兩個(gè)點(diǎn)與奇數(shù)條線(xiàn)相連。

　　圖2中的A點(diǎn)與5條線(xiàn)相連結(jié)，B、C、D各點(diǎn)各與3條線(xiàn)相連結(jié)，圖中有4個(gè)與奇數(shù)條線(xiàn)相連的點(diǎn)，所以不論是否要求起點(diǎn)與終點(diǎn)重合，都不能一筆畫(huà)出這個(gè)圖形。

　　1736年，歐拉在圣彼得堡科學(xué)院作了一次學(xué)術(shù)報(bào)告。在報(bào)告中，他證明了上述結(jié)論。后來(lái)他又給出了鑒別任一圖形能否一筆畫(huà)出的準(zhǔn)則，即歐拉定理。為了介紹這個(gè)定理，我們先來(lái)看下面的預(yù)備知識(shí)：

　　由有限條線(xiàn)組成的圖形叫做網(wǎng)絡(luò)，其中每條線(xiàn)都要求有兩個(gè)不同的端點(diǎn)。這些線(xiàn)叫做網(wǎng)絡(luò)的弧，弧的端點(diǎn)叫做網(wǎng)絡(luò)的頂點(diǎn)。例如，圖2是一個(gè)網(wǎng)絡(luò)，a、b、c、d、e、f、g是它的7條弧，A、B、C、D是它的四個(gè)頂點(diǎn)。

　　網(wǎng)絡(luò)中互相銜結(jié)的一串弧叫做一條路。如果網(wǎng)絡(luò)中任意兩個(gè)頂點(diǎn)都可以用一條路連結(jié)起來(lái)，那么就稱(chēng)這個(gè)網(wǎng)絡(luò)為連通的；否則稱(chēng)為不連通的。例如，圖2是連通的網(wǎng)絡(luò)；圖3是不連通的網(wǎng)絡(luò)，其中有的頂點(diǎn)（例如A與D）之間沒(méi)有路線(xiàn)連結(jié)。

 
圖 3                                      圖 4
 

　　網(wǎng)絡(luò)中以某頂點(diǎn)為端點(diǎn)的弧的條數(shù)，叫做該頂點(diǎn)的叉數(shù)。叉數(shù)是奇數(shù)的頂點(diǎn)叫做奇頂點(diǎn)，叉數(shù)是偶數(shù)的頂點(diǎn)叫做偶頂點(diǎn)。

　　下面介紹歐拉定理。

　　歐拉定理   如果一個(gè)網(wǎng)絡(luò)是連通的并且奇頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于0或2，那么它可以一筆畫(huà)出；否則它不可以一筆畫(huà)出。

　　用歐拉定理可以很方便地判斷一個(gè)簡(jiǎn)單圖形是否可以一筆畫(huà)出。例如，圖3是不連通網(wǎng)絡(luò)，它不能一筆畫(huà)出（盡管它的奇頂點(diǎn)個(gè)數(shù)為0）；圖4中實(shí)線(xiàn)所示圖形有8個(gè)奇頂點(diǎn)．它不能一筆畫(huà)出，如果將圖中虛線(xiàn)補(bǔ)為實(shí)線(xiàn)，那么奇頂點(diǎn)只有F和G兩個(gè)，所得圖形就能一筆畫(huà)出了（以F為起點(diǎn)，G為終點(diǎn)；或G為起點(diǎn)，F(xiàn)為終點(diǎn)）。

　　試問(wèn)下列圖形能否一筆畫(huà)出？如能畫(huà)出應(yīng)怎樣畫(huà)？如不能畫(huà)出理由是什么？

本文來(lái)自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/gaozhong/213633.html

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