18世紀(jì)時，歐洲有一個風(fēng)景秀麗的小城哥尼斯堡，那里有七座橋。如圖1所示：河中的小島A與河的左岸B、右岸C各有兩座橋相連結(jié)，河中兩支流間的陸地D與A、B、C各有一座橋相連結(jié)。當(dāng)時哥尼斯堡的居民中流傳著一道難題：一個人怎樣才能一次走遍七座橋，每座橋只走過一次，最后回到出發(fā)點？大家都試圖找出問題的答案，但是誰也解決不了這個問題。

圖 1                         圖 2

    
　　七橋問題引起了著名數(shù)學(xué)家歐拉（1707—1783）的關(guān)注。他把具體七橋布局化歸為圖2所示的簡單圖形，于是，七橋問題就變成一個一筆畫問題：怎樣才能從A、B、C、D中的某一點出發(fā)，一筆畫出這個簡單圖形（即筆不離開紙，而且a、b、c、d、e、f、g各條線只畫一次不準(zhǔn)重復(fù)），并且最后返回起點？歐拉經(jīng)過研究得出的結(jié)論是：圖2是不能一筆畫出的圖形。這就是說，七橋問題是無解的。這個結(jié)論是如何產(chǎn)生呢？請看下面的分析。

　　如果我們從某點出發(fā)，一筆畫出了某個圖形，到某一點終止，那么除起點和終點外，畫筆每經(jīng)過一個點一次，總有畫進該點的一條線和畫出該點的一條線，因此就有兩條線與該點相連結(jié)。如果畫筆經(jīng)過一個n次，那么就有2n條線與該點相連結(jié)。因此，這個圖形中除起點與終點外的各點，都與偶數(shù)條線相連。如果起點和終點重合，那么這個點也與偶數(shù)條線相連；如果起點和終點是不同的兩個點，那么這兩個點部是與奇數(shù)條線相連的點。綜上所述，一筆畫出的圖形中的各點或者都是與偶數(shù)條線相連的點，或者其中只有兩個點與奇數(shù)條線相連。

　　圖2中的A點與5條線相連結(jié)，B、C、D各點各與3條線相連結(jié)，圖中有4個與奇數(shù)條線相連的點，所以不論是否要求起點與終點重合，都不能一筆畫出這個圖形。

　　1736年，歐拉在圣彼得堡科學(xué)院作了一次學(xué)術(shù)報告。在報告中，他證明了上述結(jié)論。后來他又給出了鑒別任一圖形能否一筆畫出的準(zhǔn)則，即歐拉定理。為了介紹這個定理，我們先來看下面的預(yù)備知識：

　　由有限條線組成的圖形叫做網(wǎng)絡(luò)，其中每條線都要求有兩個不同的端點。這些線叫做網(wǎng)絡(luò)的弧，弧的端點叫做網(wǎng)絡(luò)的頂點。例如，圖2是一個網(wǎng)絡(luò)，a、b、c、d、e、f、g是它的7條弧，A、B、C、D是它的四個頂點。

　　網(wǎng)絡(luò)中互相銜結(jié)的一串弧叫做一條路。如果網(wǎng)絡(luò)中任意兩個頂點都可以用一條路連結(jié)起來，那么就稱這個網(wǎng)絡(luò)為連通的；否則稱為不連通的。例如，圖2是連通的網(wǎng)絡(luò)；圖3是不連通的網(wǎng)絡(luò)，其中有的頂點（例如A與D）之間沒有路線連結(jié)。

 
圖 3                                      圖 4
 

　　網(wǎng)絡(luò)中以某頂點為端點的弧的條數(shù)，叫做該頂點的叉數(shù)。叉數(shù)是奇數(shù)的頂點叫做奇頂點，叉數(shù)是偶數(shù)的頂點叫做偶頂點。

　　下面介紹歐拉定理。

　　歐拉定理   如果一個網(wǎng)絡(luò)是連通的并且奇頂點的個數(shù)等于0或2，那么它可以一筆畫出；否則它不可以一筆畫出。

　　用歐拉定理可以很方便地判斷一個簡單圖形是否可以一筆畫出。例如，圖3是不連通網(wǎng)絡(luò)，它不能一筆畫出（盡管它的奇頂點個數(shù)為0）；圖4中實線所示圖形有8個奇頂點．它不能一筆畫出，如果將圖中虛線補為實線，那么奇頂點只有F和G兩個，所得圖形就能一筆畫出了（以F為起點，G為終點；或G為起點，F(xiàn)為終點）。

　　試問下列圖形能否一筆畫出？如能畫出應(yīng)怎樣畫？如不能畫出理由是什么？

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