十九世紀是數(shù)學史上創(chuàng)造精神和嚴格精神高度發(fā)揚的時代。復變函數(shù)論的創(chuàng)立和數(shù)學分析的嚴格化，非歐幾何的問世和射影幾何的完善，群論和非交換代數(shù)的誕生，是這一世紀典型的數(shù)學成就。它們所蘊含的新思想，深刻地影響著二十世紀的數(shù)學。

十九世紀數(shù)學發(fā)展的概貌

十八世紀數(shù)學發(fā)展的主流是微積分學的擴展，它與力學和天文學的問題緊密相聯(lián)。微積分的運用使這些自然科學領域迅猛發(fā)展，至十八世紀末，它們達到了一種相對完美的程度。

然而，將數(shù)學和這些自然科學基本上視為一體的觀念，使當時一些著名的數(shù)學家，如拉格朗日、歐拉、達朗貝爾等對數(shù)學的前途產(chǎn)生了悲觀情緒，他們覺得數(shù)學泉源已近枯竭。

而實際上，此時的數(shù)學正處于興旺發(fā)達的前夜：18世紀的數(shù)學家忙于獲取微積分的成果與應用，較少顧及其概念與方法的嚴密性，到十八世紀末，為微積分奠基的工作已緊迫地擺在數(shù)學家面前；另一方面，處于數(shù)學中心課題之外的數(shù)學分支已積累了一批重要問題，如復數(shù)的意義、歐式幾何中平行公設的地位，高次代數(shù)方程根式解的可能性等，它們大都是從數(shù)學內(nèi)部提出的課題；再者，自十八世紀后期開始，自然科學出現(xiàn)眾多新的研究領域，如熱力學、流體力學、電學、磁學、測地學等等，從數(shù)學外部給予數(shù)學以新的推動力。上述因素促成了十九世紀數(shù)學充滿活力的創(chuàng)新與發(fā)展。

十九世紀歐洲的社會環(huán)境也為數(shù)學發(fā)展提供了適宜的舞臺，法國資產(chǎn)階級大革命所造成的民主精神和重視數(shù)學教育的風尚，鼓勵大批有才干的青年步入數(shù)學教育和研究領地。法國在十九世紀一直是最活躍的數(shù)學中心之一，涌現(xiàn)出一批優(yōu)秀人才，如傅里葉、泊松、彭賽列、柯西、劉維爾、伽羅華、埃爾米特、若爾當、達布、龐加萊、阿達馬。他們在幾乎所有的數(shù)學分支中都作出了卓越貢獻。法國革命的影響波及歐洲各國，使整個學術界思想十分活躍，突破了一切禁區(qū)。

英國新一代數(shù)學家克服近一個世紀以來以牛頓為偶像的固步自封局面，成立了向歐洲大陸數(shù)學學習的“分析學會”，使英國進入世界數(shù)學發(fā)展的潮流。皮科克、格林、哈密頓、西爾維斯特、凱萊、布爾等英國數(shù)學界的杰出人物，在代數(shù)學、代數(shù)幾何、數(shù)學物理方面的成就尤為突出。

德國在1870年統(tǒng)一之前，資本主義發(fā)展比較緩慢，但從十八世紀下半葉起，它一直是思想意識領域十分活躍的地區(qū)，特別是思辨哲學強調事物內(nèi)部矛盾促進事物發(fā)展的思想，對純粹數(shù)學的發(fā)展產(chǎn)生了有益的影響。

從高斯登上數(shù)學舞臺至十九世紀下半葉，德國逐漸發(fā)展成為與法國并駕齊驅的又一個世界數(shù)學中心，除高斯外，施陶特、普呂克、雅可比、狄利克雷、格拉斯曼、庫默爾、魏爾斯特拉斯、克羅內(nèi)克、黎曼、戴德金、康托爾、克萊因、希爾伯特都無愧為十九世紀最重要的數(shù)學家。

處于數(shù)學中心之外的國家和地區(qū)，也出現(xiàn)不少優(yōu)秀學者，最突出的有挪威的阿貝爾和李，捷克的波爾查諾、俄國的羅巴切夫斯基、切比雪夫和柯瓦列夫斯卡婭，匈牙利的波爾約，意大利的貝爾特拉米和里奇等。這種人才輩出的局面在數(shù)學史上是空前的。

十九世紀數(shù)學突破分析學獨占主導地位的局面，幾何、代數(shù)、分析各分支出現(xiàn)如雨后春筍般的竟相發(fā)展。僅在十九世紀的前30多年中，一批二三十歲的年輕數(shù)學家就在數(shù)論、射影幾何、復變函數(shù)、微分幾何、非歐幾何、群論等領域作出開創(chuàng)性的成績。

隨著眾多新研究方向的開拓和證明嚴格化的要求，越來越多的學者開始埋頭于較窄的領域作精細的研究。如阿貝爾主要從事分析與代數(shù)學研究，彭賽列專攻射影幾何，伽羅瓦關心代數(shù)方程的可解性。只有高斯和柯西仍然關心科學與數(shù)學中幾乎所有的問題。

在十九世紀下半葉，一些數(shù)學家注意了各分支間的聯(lián)系，最著名的有克萊因的埃爾朗根綱領，在幾何中引進群的觀點，取得很大成功，但專門化的研究方式尚處于方興未艾的階段。從十九世紀晚期開始的將數(shù)學各分支奠基于公理體系之上的運動，又推進了各分支的細分，這種傾向一直延續(xù)到二十世紀。

十九世紀數(shù)學家的工作方式呈現(xiàn)出全新的、不同于十八世紀的特色。數(shù)學成為一項得到全社會承認的職業(yè)，數(shù)學家主要在大量培養(yǎng)人才的新型大學教書，研究與教學有機地聯(lián)系在一起。法國的巴黎綜合工科學校、巴黎高等師范大學，德國的柏林大學、格丁根大學是當時最重要的數(shù)學研究與教學中心。

由于數(shù)學家人數(shù)與成果的劇增交流思想與成果的渠道增多了，數(shù)學雜志成了重要的傳播媒介。法國的熱爾崗編輯出版了《純粹與應用數(shù)學年刊》，是最早的專門數(shù)學期刊。之后，高水平的數(shù)學雜志相繼問世，最著名的有克雷爾創(chuàng)辦的德文的《純粹與應用數(shù)學雜志》，劉維爾創(chuàng)辦的法文的《純粹與應用數(shù)學雜志》。

到十九世紀后半葉，隨著各國數(shù)學會的問世，各種會刊及專門雜志顯著增加。這些數(shù)學會還在推動本國數(shù)學發(fā)展和促進國際學術交流方面發(fā)揮積極作用。最早成立的是倫敦數(shù)學會，之后創(chuàng)建的有法國數(shù)學會、美國數(shù)學會和德國數(shù)學會。在接近世紀之末，由各國數(shù)學會發(fā)起在瑞士蘇黎世召開了第一屆國際數(shù)學家大會，后成為一項定期舉行的國際學術活動。　　 　

十九世紀數(shù)學的發(fā)展錯綜復雜，粗略地可以分為四個階段。

數(shù)論、分析與幾何的創(chuàng)新階段

這一階段從十九世紀初到十九世紀二十年代。

1801年，高斯發(fā)表《算術研究》，這部象征近代數(shù)論起點的巨著，同時也打開了數(shù)學新世紀的大門。十九世紀前的數(shù)論主要是一些漂亮但卻孤立的成果，高斯一方面將這些成果系統(tǒng)化，對問題及方法加以分類，同時開辟了全新的課題及方法。樹立了嚴格證明的典范，認為找出簡單漂亮的證明，有助于掌握問題的實質并發(fā)現(xiàn)不同問題間的聯(lián)系(典型的是他給出了二次互反律的七個證明)。

高斯的觀點代表了十九世紀對數(shù)學嚴密性追求的時代精神，也指出了純粹數(shù)學發(fā)展的一條途徑。同年，高斯依據(jù)少量觀測數(shù)據(jù)，運用誤差分析等方法計算出谷神星的軌道，準確地預報了這顆小行星在天空出現(xiàn)的時刻，哄動了科學界。高斯在一生中始終對理論與應用同等重視，他的成就一直鼓舞著最有才華的數(shù)學家。他和阿基米德、牛頓一起，被認為是歷史上最偉大的數(shù)學家。

1807年，傅里葉向巴黎科學院提交了一篇關于熱傳導的文章，在解熱傳導方程時，提出任意函數(shù)可用三角級數(shù)表示。這是分析學在十九世紀的首項重要工作，它不僅使分析方法進入新的物理領域，而且擴展了函數(shù)概念，推進了偏微分方程理論。對傅里葉級數(shù)收斂點的研究，最終導致康托爾創(chuàng)立集合論。由于傅里葉級數(shù)在應用中的重要性，研究其收斂性成為分析嚴格化的動力之一。

十九世紀分析嚴格化的倡導者有高斯、波爾查諾、柯西、阿貝爾和狄利克雷等人。1812年，高斯對一類具體的級數(shù)──超幾何級數(shù)，進行了嚴密研究，這是歷史上第一項重要的有關級數(shù)收斂性的工作。1817年，波爾查諾首先拋棄無窮小量概念，用極限觀念給出導數(shù)和連續(xù)性的定義，并得到判別級數(shù)收斂的一般準則(現(xiàn)稱柯西準則)，由于他的工作長期被埋沒，因此對當時數(shù)學的發(fā)展沒有產(chǎn)生影響，是數(shù)學史上一件憾事。

柯西是對分析嚴格化影響最大的學者，1821年發(fā)表了《分析教程》，除獨立得到波爾查諾的基本結果，還用極限概念定義了連續(xù)函數(shù)的定積分，這是建立分析嚴格理論的第一部重要著作。值得注意的是，柯西的分析理論基本上基于幾何直觀，按現(xiàn)代標準衡量仍不夠嚴密。阿貝爾一直強調分析中定理的嚴格證明，在1826年最早使用一致收斂的思想，證明了連續(xù)函數(shù)的一個一致收斂級數(shù)的和在收斂區(qū)域內(nèi)部連續(xù)。

柯西在建立嚴格的分析理論的同時，還為十九世紀最重要的數(shù)學創(chuàng)造──單復變函數(shù)論奠定了基礎。1814～1825年間，他得到了計算復函數(shù)沿復平面上路徑積分的基本定理和留數(shù)計算公式。由于柯西的工作，復數(shù)和復變函數(shù)論在十九世紀20年代為廣大數(shù)學家所熟悉。1826年，阿貝爾和雅可比創(chuàng)立了橢圓函數(shù)理論，成為復變函數(shù)論蓬勃發(fā)展的生長點。

十九世紀最富革命性的創(chuàng)造當屬非歐幾何。自古希臘時代始，歐氏幾何一直被認為是客觀物質空間惟一正確的理想模型，是嚴格推理的典范。16世紀后的數(shù)學家在論證代數(shù)或分析結果的合理性時，都試圖歸之為歐氏幾何問題。

但歐氏幾何的平行公設曾引起數(shù)學家的持久的關注，以弄清它和其他公理、公設的關系。這個煩擾了數(shù)學家千百年的問題，終于被高斯、羅巴切夫斯基和波爾約各自獨立解決。高斯在1816年已認識到平行公設不可能在歐氏幾何其他公理、公設的基礎上證明，得到在邏輯上相容的非歐幾何，其中平行公設不成立，但由于擔心受人指責而未發(fā)表。

1825年左右，波爾約和羅巴切夫斯基分別得到同樣的結果，并推演了這種新幾何中的一些定理。羅巴切夫斯基1829年的文章《論幾何基礎》是最早發(fā)表的非歐幾何著作，因此這種幾何也稱為羅巴切夫斯基幾何。這項發(fā)現(xiàn)的技術細節(jié)是簡單的，但觀念的變革是深刻的，歐氏幾何不再是神圣的，數(shù)學家步入了創(chuàng)造新幾何的時代。

非歐幾何對人們認識物質世界的空間形式提供了有力武器，但由于它背叛傳統(tǒng)，創(chuàng)立之初未受到數(shù)學界的重視。只是當高斯有關非歐幾何的通信和筆記在他1855年去世后出版時，才因高斯的名望而引起數(shù)學家們的關注。

十九世紀前半葉最熱門的幾何課題是射影幾何。1822年，彭賽列發(fā)表《論圖形的射影性質》，這是他1813～1814年被俘關在俄國時開始研究的總結。他探討幾何圖形在任一投影下所有截影所共有的性質，他的方法具有象解析幾何那樣的普遍性。1827年左右，普呂克等人引進齊次坐標，用代數(shù)方法研究射影性質，豐富了射影幾何的內(nèi)容。

對純幾何問題興趣的增長，并未減弱分析在幾何中的應用。高斯從1816年起參與大地測量和地圖繪制工作，引起他對微分幾何的興趣。1827年他發(fā)表的《關于曲面的一般研究》，為這一數(shù)學分支注入了全新的思想，開創(chuàng)了微分幾何的現(xiàn)代研究。

代數(shù)觀念的變革時期

代數(shù)思想的革命發(fā)生在十九世紀30～40年代。

1830年，皮科克的《代數(shù)學》問世，書中對代數(shù)運算的基本法則進行了探索性研究。在這之前，代數(shù)的符號運算實際僅是實數(shù)與復數(shù)運算的翻版。皮科克試圖建立一門更一般的代數(shù)，它僅是符號及其滿足的某些運算法則的科學。他和德?摩根等英國學者圍繞這一目標的工作，為代數(shù)結構觀點的形成及代數(shù)公理化研究作了嘗試，因而皮科克被譽為“代數(shù)中的歐幾里得”。皮科克的目標雖然很有價值，但方法過于含糊，無法達到他的愿望。

代數(shù)中更深刻的思想來自于數(shù)學史上傳奇式的人物伽羅華。在1829～1832年間，他提出并論證了代數(shù)方程可用根式解的普遍判別準則，從概念和方法上為最基本的一種代數(shù)結構(群)理論奠定了基礎，闡明了群的正規(guī)子群及同構等重要概念。

伽羅瓦在1832年去世前，幾次向巴黎科學院遞交他的論文，均未獲答復。他的理論在1846年由劉維爾發(fā)表之前幾乎無人知曉，到十九世紀60年代后才引起重視，這是數(shù)學史上新思想歷經(jīng)磨難終放異彩的最典型的例證。

另一項引起代數(shù)觀念深刻變革的成果，歸功于哈密頓和格拉斯曼。哈密頓在用“數(shù)對”表示復數(shù)并探究其運算規(guī)則時，試圖將復數(shù)概念推廣到三維空間，未獲成功，但卻意想不到的創(chuàng)立了四元數(shù)理論，時間是1843年。

四元數(shù)是第一個被構造出的不滿足乘法交換律的數(shù)學對象。從此，數(shù)學家便突破了實數(shù)與復數(shù)的框架，比較自由地構作各種新的代數(shù)系統(tǒng)。四元數(shù)理論一經(jīng)問世便引來數(shù)學與物理學家的討論，它本身雖沒有廣泛應用，但成為向量代數(shù)、向量分析以及線性結合代數(shù)理論的先導。1844年，格拉斯曼在討論 n維幾何時，獨立得到更一般的具有 n個分量的超復數(shù)理論，這一高度獨創(chuàng)的成果由于表達晦澀，無法為當時的學者所理解。

在這一時期，還誕生了代數(shù)不變量理論，這是從數(shù)論中的二次型及射影幾何中的線性變換引伸出的課題。1841年左右，凱萊受布爾的影響開始研究代數(shù)型在線性變換下的不變量。之后，尋找各種特殊型的不變量及不變量的有限基，成為十九世紀下半葉最熱門的研究課題，出現(xiàn)了人數(shù)眾多的德國學派，進而開辟了代數(shù)幾何的研究領域。

數(shù)論中的重要問題，往往成為新思想發(fā)展的酵母。1844年，庫默爾在研究費馬大定理時提出了理想數(shù)理論，借助理想數(shù)可證明在惟一因子分解定理不成立的代數(shù)數(shù)域中，普通數(shù)論中的某些結果仍成立。

在這代數(shù)學豐產(chǎn)的時期，幾何、分析和數(shù)論也都有長足的進步。格林在討論變密度橢球體的引力問題時，考慮了 n維位勢；凱萊在分析學中討論了具有 n個坐標的變量；格拉斯曼則直接從幾何上建立高維空間理論。他們從不同角度導出超越直觀的 n維空間概念。施陶特確立了不依賴歐氏空間的長度概念的射影幾何體系，從邏輯上說明射影幾何比歐氏幾何更基本。

分析的嚴格化在繼續(xù)。狄利克雷按變量間對應的說法給出現(xiàn)代意義下的函數(shù)定義。魏爾斯特拉斯開始了將分析奠基于算術的工作，從1842年起采用明確的一致收斂概念于分析學，使級數(shù)理論更趨完善。

值得注意的是，未經(jīng)嚴格證明的分析工具仍被廣泛使用，在獲得新結果方面顯示威力。格林首先使用了位勢函數(shù)的極小化積分存在的原理，即現(xiàn)稱的狄利克雷原理，它的嚴格理論遲至1904年才為希爾伯特闡明，但是在十九世紀50年代就已成為黎曼研究分析學的重要工具。

隨著分析工具的逐步完善，數(shù)學家開始更自覺地在數(shù)學其他分支使用它們。除微分幾何外，解析數(shù)論也應運而生。1837年，狄利克雷在證明算術序列包含無窮多素數(shù)時，精心使用了級數(shù)理論，這是近代解析數(shù)論最早的重要成果。劉維爾則在1844年首次證明了超越數(shù)的存在，引起數(shù)學家對尋找超越數(shù)和證明某些特殊的數(shù)為超越數(shù)的興趣。在下半世紀，林德曼利用埃爾米特證明 e為超越數(shù)的方法，證明了π的超越性，從而徹底解決了化圓為方問題。

數(shù)學新思想的深化階段

這一階段從十九世紀五十年代到十九世紀七十年代。

1851年，黎曼的博士論文《單復變函數(shù)一般理論的基礎》第一次明確了單值解析函數(shù)的定義，指出了實函數(shù)與復函數(shù)導數(shù)的基本差別，特別是闡述了現(xiàn)稱為黎曼面的概念和共形映射定理，開創(chuàng)了多值函數(shù)研究的深刻方法，打通了復變函數(shù)論深入發(fā)展的道路。黎曼本人利用這一思想出色地探討了阿貝爾積分及其反演阿貝爾函數(shù)，1854年，黎曼為獲大學講師資格，提交了兩篇論文，其中《關于作為幾何學基礎的假設》是數(shù)學史上影響最深遠的作品之一。

在十九世紀前半葉，數(shù)學家已認識到存在不同于歐氏幾何的新幾何學，并發(fā)展了內(nèi)蘊幾何和高維幾何的理論，但它們處于分散與孤立的狀態(tài)。黎曼以其深刻的洞察力將三者統(tǒng)一于 n維流形的理論，開始了現(xiàn)代微分幾何學研究。

這是關于任意維空間的內(nèi)蘊幾何，黎曼以二次微分形式定義流形的度量，給出了流形曲率的概念。他還論證了能在球面上實現(xiàn)二維正的常曲率空間。據(jù)說黎曼的深刻思想當時只有高斯能理解。經(jīng)十九世紀60年代貝爾特拉米等人的介紹與推進，黎曼的理論才開始為廣大數(shù)學家領悟，他們對微分不變量的研究，最后導致里奇創(chuàng)立張量理論。

在另一篇論文中，黎曼探討了將積分概念推廣到間斷函數(shù)上去，提出了現(xiàn)稱為黎曼積分的概念。他構造了具有無窮間斷點而按他的定義仍可積的函數(shù)。尋找這類函數(shù)是十九世紀70～80年代很時髦的課題。沿著擴展積分概念的方向，后來的數(shù)學家得到各種廣義積分，最著名的當屬二十世紀初出現(xiàn)的勒貝格積分。

1859年，黎曼研究 ζ函數(shù)的復零點，提出著名的黎曼猜想。黎曼的思想，在幾何、分析、數(shù)論領域長盛不衰，有力地影響著十九世紀后期以至二十世紀的數(shù)學研究。

魏爾斯特拉斯在這一時期繼續(xù)分析算術化的工作，提出了現(xiàn)代通用的極限定義，即用靜態(tài)的方法(不等式)刻畫變化過程。他構造出處處不可微的連續(xù)函數(shù)實例，告誡人們必須精細地處理分析學的對象，對實變函數(shù)論的興起起了催化作用。在復變函數(shù)論方面，他提出了基于冪級數(shù)的解析開拓理論。魏爾斯特拉斯的眾多成果出自他任中學教員的時期，到1859年出任柏林大學教師后才廣為人知。由于他為分析奠基的出色成就，后被譽為“現(xiàn)代分析之父”。

當?shù)聡鴮W者在分析與幾何領域大放異彩之時，英國學者繼續(xù)發(fā)揮他們在代數(shù)中的優(yōu)勢。1854年，布爾發(fā)表了《思維規(guī)律的研究》，創(chuàng)立了符號邏輯代數(shù)，這是使演繹推理形式化的有力工具。布爾強調數(shù)學的本質不是探究對象的內(nèi)容，而是研究其形式，因而數(shù)學不必限于討論數(shù)和連續(xù)量的問題，可由符號表示的一切事物都可納入數(shù)學領域。

1855年，凱萊在研究線性變換的不變量時，系統(tǒng)地提出矩陣概念及其運算法則。矩陣是繼四元數(shù)之后的又一類不滿足乘法交換律的數(shù)學對象，它們和群論都是推動抽象代數(shù)觀點形成發(fā)展的重要因素。在凱萊之后，矩陣理論不斷完善，不僅成為數(shù)學中的銳利武器，還是描述和解決物理問題的有效武器。

基于對矩陣和四元數(shù)的認識，凱萊還引進了抽象群的概念，但未立刻引起重視，抽象群論的發(fā)展還有待于對各種具體的群作深入的研究。

十九世紀60年代末，若爾當擔起了向數(shù)學界闡明伽羅瓦理論的重任，在發(fā)表于1870年的《置換論》中，他對置換群理論及其與伽羅瓦方程論的聯(lián)系作出清晰的總結，為群論在十九世紀最后30年間的發(fā)展奠定了基礎。

在這一時期，數(shù)學家對射影幾何及非歐幾何的認識也日趨深化。1859年，凱萊論證了歐氏空間的度量性質并非圖形本身的屆性，而可以借助某種特定圖形按射影概念加以建立，說明歐氏幾何是射影幾何的一部分�？巳R因發(fā)揮凱萊的思想，同樣論證非歐幾何也可以包括在射影幾何之內(nèi)。這樣便徹底澄清了射影幾何與那些度量幾何的關系，鋪平了幾何公理化發(fā)展的道路。

1868年，貝爾特拉米在偽球面上實現(xiàn)了羅巴切夫斯基幾何，在歐氏空間中給出直觀上難以想象的非歐幾何模型。之后克萊因和龐加萊分別給出各自的非歐幾何模型，說明非歐幾何本身的相容性(即無矛盾性)與歐氏幾何一致，加速了人們接受非歐幾何的進程。

在60年代末70年代初，由高斯在十九世紀初開辟的代數(shù)數(shù)論研究，經(jīng)由戴德金和克羅內(nèi)克等人的推進，形成為內(nèi)容豐富的現(xiàn)代數(shù)學分支。戴德金引進一種代數(shù)數(shù)類代替庫默爾的理想數(shù)，重建了代數(shù)數(shù)域中的惟一因子分解定理，創(chuàng)立了理想論�？肆_內(nèi)克則另辟蹊徑，得到相似的概念，并創(chuàng)立有理函數(shù)域論，引進在域上添加代數(shù)量生成擴域的方法。

這里，需要提及概率論中的幾項重要成果。在十九世紀，概率論的發(fā)展不象數(shù)學其他分支那樣突出。自拉普拉斯之后，泊松曾得到著名的泊松分布。更重要的是切比雪夫關于獨立隨機變量序列的大數(shù)律和某類獨立隨機變量序列的中心極限定理，概率論的系統(tǒng)理論到二十世紀才完成。

綜上所述，可看到十九世紀前半葉出現(xiàn)的新思想，在這20多年間變得更成熟，形成了眾多獨立的研究方向或分支學科。

數(shù)學公理化運動的初創(chuàng)期

這一階段從十九世紀七十年代初到十九世紀末。數(shù)學經(jīng)過十九世紀前七十年的發(fā)展，討論基礎問題的條件已趨成熟。與以前的世紀不同，十九世紀的數(shù)學家最終選擇算術而不是幾何作為本門科學的基礎。

幾何中普呂克有關齊次坐標的研究，分析中魏爾斯特拉斯的靜態(tài)方法都反映了這種傾向。但是算術中最基本的實數(shù)概念始終是模糊的�？挛鞯膶崝�(shù)定義有嚴重缺陷，犯了循環(huán)定義的錯誤。

1872年，魏爾斯特拉斯、康托爾、戴德金和其他一些數(shù)學家，在確認有理數(shù)存在的前提下，通過不同途徑給無理數(shù)下了精確定義。又經(jīng)過不少數(shù)學家的努力，最終由意大利學者皮亞諾完成了有理數(shù)理論。1881年，他在《算術原理新方法》中，給出了自然數(shù)的公理體系，由此可從邏輯上嚴格定義正整數(shù)、負數(shù)、分數(shù)、無理數(shù)。

康托爾在探討實數(shù)定義的同時，研究了傅里葉級數(shù)收斂點集的結構，1874年起發(fā)表一系列有關無窮集合的文章，開創(chuàng)了集合論這一基礎性的數(shù)學分支�？低袪柕某晒�是高度獨創(chuàng)性的，他把無窮集本身作為研究對象，通過一一對應方法，區(qū)分無窮集的大小，定義了集合的基數(shù)(或稱勢)，引進序型、序數(shù)以及一些屬于拓撲學的基本概念。他提出了著名的連續(xù)統(tǒng)假設。

康托爾的工作影響十分深遠：首先是重新喚起人們對實無窮的研究，開拓了點集拓撲的領域；第二，使人們把函數(shù)的定義域建立在一般的點集之上，推動了測度論和泛函分析的研究；第三，由于集合論的內(nèi)在矛盾，激發(fā)起對數(shù)理邏輯和數(shù)學基礎的深入研究。

但集合論問世之初，曾遭到一些著名數(shù)學家的激烈反對，以至康托爾晚年處于精神崩潰狀態(tài)。到十九世紀末，阿達馬等證實了康托爾的理論在分析學中的重要應用，才使這一理論得到轉機，終于成為二十世紀數(shù)學研究的一個基礎。

分析的嚴格化以皮亞諾的自然數(shù)公理體系的建立而告一段落。這種公理化的傾向也同樣在其他數(shù)學分支蔓延。弗雷格提出了邏輯公理體系，帕施得到了射影幾何的公理體系。最著名的是希爾伯特于1899年在《幾何基礎》中闡述的歐幾里得幾何的公理系統(tǒng)。他考慮了公理系統(tǒng)的獨立性、相容性和完備性，并證明歐幾里得幾何的相容性可歸結為算術的相容性。

希爾伯特的工作掀起了公理化的熱潮：一方面，數(shù)學家為各數(shù)學分支建立公理體系；另一方面，通過略去否定或其他方式改變所論體系的公理來探索新體系、新問題。

公理化運動并沒有限制新思想的萌生和對各種具體課題的研究，后者始終是數(shù)學發(fā)展中最活躍的因素。群論的應用在這一時期特別引人矚目，1872年，克萊因受聘任埃爾朗根大學教授時，發(fā)表題為《關于近代幾何研究的比較考察》的講演(即著名的埃爾朗根綱領)，他指出每種幾何可由特定的變換群來刻畫，各種幾何的研究內(nèi)容是在相應的變換群下的不變量，一種幾何的子幾何則是研究原變換群的子群的不變量。根據(jù)變換群的觀點，克萊因對幾何進行了系統(tǒng)分類，揭示了群的概念在幾何中的統(tǒng)一作用(不包括一般的黎曼幾何和代數(shù)幾何)開拓了研究幾何的一種有效的方法�？巳R因的工作體現(xiàn)了數(shù)學專門化趨勢中蘊含的統(tǒng)一因素。

1874年，挪威數(shù)學家李在研究常微分方程與保持這些方程的解不變的變換群之間的關系時，創(chuàng)建了連續(xù)變換群理論(現(xiàn)稱李群)以及相應的代數(shù)(現(xiàn)稱李代數(shù))。有了對具體的群的廣泛研究，抽象群論獲得了新生。1882年，德國數(shù)學家迪克受凱萊工作的鼓舞，引進用生成元和生成元之間關系來定義群的抽象觀點，開始抽象群論的系統(tǒng)研究。與此相伴的是分析與經(jīng)典代數(shù)方法對群論的應用，即群的表示理論應運而生。

組合拓撲學作為一門學科在十九世紀末登上了數(shù)學舞臺。龐加萊是這一領域的主要奠基者。龐加萊是當時領頭的數(shù)學家之一，興趣廣泛，研究涉及眾多數(shù)學分支以至天體力學和物理科學。在探討描述行星運動的微分方程周期解時，他采用了拓撲觀點分析奇點及積分曲線的結構，開創(chuàng)了微分方程定性理論。在研究一般”維圖形的結構時，引進了一套系統(tǒng)的組合方法，為組合拓撲奠定了基礎。拓撲和抽象代數(shù)的觀點和方法成為二十世紀最有影響的研究手段。

與龐加萊齊名的另一位著名數(shù)學家是希爾伯特。他不僅積極創(chuàng)導了公理化方法，而且特別重視數(shù)學中單個重大問題的研究，認為這是數(shù)學活力之所在。他本人就通過解決一系列具體問題，得到許多重要方法。十九世紀末，他發(fā)表了兩個報告。《數(shù)論報告》系統(tǒng)總結了代數(shù)數(shù)論的全部成果，開辟了類域論的研究方向。

1900年，在第二屆國際數(shù)學家大會上，希爾伯特作了影響深遠的題為《數(shù)學問題》的報告，成為迎接二十世紀挑戰(zhàn)的宣言。

在數(shù)學分成幾十個分支各自獨立發(fā)展的形勢下，希爾伯特堅信數(shù)學科學是一個不可分割的有機整體，它的生命力正是在于各部分之間的聯(lián)系。在十九世紀末，領頭數(shù)學家對數(shù)學前途充滿了信心，與十八世紀末的情景形成鮮明對照。龐加萊和希爾伯特的業(yè)績展示了二十世紀數(shù)學大發(fā)展的曙光。

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