一．內容和內容解析

本節(jié)內容有函數零點概念、函數零點與相應方程根的關系、函數零點存在性定理．

函數零點是研究當函數的值為零時，相應的自變量的取值，反映在函數圖象上，也就是函數圖象與軸的交點橫坐標．

由于函數的值為零亦即，其本身已是方程的形式，因而函數的零點必然與方程有著不可分割的聯系，事實上，若方程有解，則函數存在零點，且方程的根就是相應函數的零點，也是函數圖象與軸的交點橫坐標．順理成章的，方程的求解問題，可以轉化為求函數零點的問題．這是函數與方程關系認識的第一步．

零點存在性定理，是函數在某區(qū)間上存在零點的充分不必要條件．如果函數在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，并且滿足f(a)·f(b)<0，則函數在區(qū)間(a,b)內至少有一個零點，但零點的個數，需結合函數的單調性等性質進行判斷．定理的逆命題不成立．

方程的根與函數零點的研究方法，符合從特殊到一般的認識規(guī)律，從特殊的、具體的二次函數入手，建立二次函數的零點與相應二次方程的聯系，然后將其推廣到一般的、抽象的函數與相應方程的情形；零點存在性的研究，也同樣采用了類似的方法，同時還使用了“數形結合思想”及“轉化與化歸思想”．

方程的根與函數零點的關系研究，不僅為“用二分法求方程的近似解”的學習做好準備，而且揭示了方程與函數之間的本質聯系，這種聯系正是中學數學重要思想方法——“函數與方程思想”的理論基礎．可見，函數零點概念在中學數學中具有核心地位．

本節(jié)的教學重點是，方程的根與函數零點的關系、函數零點存在性定理．

二．目標和目標解析

通過本課教學，要求學生：理解并掌握方程的根與相應函數零點的關系，在此基礎上，學會將求方程的根的問題轉化為求相應函數零點的問題；理解零點存在性定理，并能初步確定具體函數存在零點的區(qū)間．

1．能夠結合具體方程（如二次方程），說明方程的根、相應函數圖象與軸的交點橫坐標以及相應函數零點的關系；

2．正確理解函數零點存在性定理：了解圖象連續(xù)不斷的意義及作用；知道定理只是函數存在零點的一個充分條件；了解函數零點只能不止一個；

3．能利用函數圖象和性質判斷某些函數的零點個數；

4．能順利將一個方程求解問題轉化為一個函數零點問題，寫出與方程對應的函數；并會判斷存在零點的區(qū)間（可使用計算器）．

三．教學問題診斷分析

學生已有的認知基礎是，初中學習過二次函數圖象和二次方程，并且解過“當函數值為0時，求相應自變量的值”的問題，初步認識到二次方程與二次函數的聯系，對二次函數圖象與軸是否相交，也有一些直觀的認識與體會．在高中階段，已經學習了函數概念與性質，掌握了部分基本初等函數的圖象與性質．

教學的重點是方程的根與函數零點的關系及零點存在性定理的深入理解與應用．

以二次方程及相應的二次函數為例，引入函數零點的概念，說明方程的根與函數零點的關系，學生并不會覺得困難．學生學習的難點是準確理解零點存在性定理，并針對具體函數（或方程），能求出存在零點（或根）的區(qū)間．

教學過程中，通過引導學生通過探究，發(fā)現方程的根與函數零點的關系；而零點存在性定理的教學，則應引導學生觀察函數圖象與軸的交點的情況，來研究函數零點的情況，通過研究：①函數圖象不連續(xù)；②；③，函數在區(qū)間上不單調；④，函數在區(qū)間上單調，等各種情況，加深學生對零點存在性定理的理解．

四．教學支持條件分析

本節(jié)教學目標的實現，需要借助計算機或者計算器，一方面是繪制函數圖象，通過觀察圖象加深方程的根、函數零點以及同時函數圖象與軸的交點的關系；另一方面，判斷零點所在區(qū)間過程中，一些函數值的計算也必須借助計算機或計算器．

五．教學過程設計

1．方程的根與相應函數圖象的關系

復習總結一元二次方程與相應函數與軸的交點及其坐標的關系：

 

 

一元二次方程根的個數

 

 

 

圖象與軸交點個數

 

 

 

圖象與軸交點坐標

 

 

 

 

意圖：回顧二次函數圖象與軸的交點和相應方程的根的關系，為一般函數及相應方程關系作準備．

問題一、上述結論對其他函數成立嗎？為什么？

在《幾何畫板》下展示如下函數的圖象：

、、、、，

比較函數圖象與軸的交點和相應方程的根的關系。

函數的圖象與軸交點，即當，該方程有幾個根，的圖象與軸就有幾個交點，且方程的根就是交點的橫坐標．

意圖：通過各種函數，將結論推廣到一般函數。

2．函數零點概念

對于函數，把使的實數叫做函數的零點．

說明：函數零點不是一個點，而是具體的自變量的取值．

3．方程的根與函數零點的關系

方程有實數根函數的圖象與軸有交點函數有零點

以上關系說明：函數與方程有著密切的聯系，從而有些方程問題可以轉化為函數問題來求解，同樣，函數問題有時也可轉化為方程問題．這正是函數與方程思想的基礎．

4．零點存在性定理

問題二、觀察圖象（氣溫變化圖）片段，根據該圖象片段，將其補充成完整函數圖象，并問：是否有某時刻的溫度為0℃？為什么？（假設氣溫是連續(xù)變化的）

意圖：通過類比得出零點存在性定理．

給出零點存在性定理：如果函數在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷一條曲線，并且有，那么，函數在區(qū)間內有零點.即存在，使得，這個c也就是方程的根.

問題三、不是連續(xù)函數結論還成立嗎？請舉例說明。

在《幾何畫板》下結合函數的圖象說明。

問題四、若，函數在區(qū)間在上一定沒有零點嗎？

問題五、若，函數在區(qū)間在上只有一個零點嗎？可能有幾個？

問題六、時，增加什么條件可確定函數在區(qū)間在上只有一個零點？

在《幾何畫板》下結合函數的圖象說明問題四、五、六。

意圖：通過四個問題使學生準確理解零點存在性定理．

5．例題：求函數的零點的個數．

問題七、能否確定一個區(qū)間，使函數在該區(qū)間內有零點．

問題八、該函數有幾個零點？為什么？

意圖：通過例題分析，學會用零點存在性定理確定零點存在區(qū)間，并且結合函數性質，判斷零點個數的方法．

六．目標檢測設計

1.已知函數f (x)的圖象是連續(xù)不斷的，且有如下對應值表，則函數在哪幾個區(qū)間內有零點？為什么？

 

x

1

2

3

4

6

10

f (x)

20

-5.5

-2

6

18

-3

 2.函數在區(qū)間[-5，6]上是否存在零點？若存在，有幾個？

3.利用函數圖象判斷下列方程有幾個根

（1）

（2）

4．指出下列函數零點所在的大致區(qū)間

（1）

（2）

最后，師生共同小結（略）

思考題：函數的零點在區(qū)間內有零點，如何求出這個零點？設計意圖：為下一節(jié)“二分法”的學習做準備．

本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/gaozhong/215520.html

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