一.內(nèi)容和內(nèi)容解析
本節(jié)內(nèi)容有函數(shù)零點概念、函數(shù)零點與相應(yīng)方程根的關(guān)系、函數(shù)零點存在性定理.
函數(shù)零點是研究當(dāng)函數(shù)的值為零時,相應(yīng)的自變量的取值,反映在函數(shù)圖象上,也就是函數(shù)圖象與軸的交點橫坐標(biāo).
由于函數(shù)的值為零亦即,其本身已是方程的形式,因而函數(shù)的零點必然與方程有著不可分割的聯(lián)系,事實上,若方程有解,則函數(shù)存在零點,且方程的根就是相應(yīng)函數(shù)的零點,也是函數(shù)圖象與軸的交點橫坐標(biāo).順理成章的,方程的求解問題,可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)零點的問題.這是函數(shù)與方程關(guān)系認(rèn)識的第一步.
零點存在性定理,是函數(shù)在某區(qū)間上存在零點的充分不必要條件.如果函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,并且滿足f(a)·f(b)<0,則函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個零點,但零點的個數(shù),需結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)進行判斷.定理的逆命題不成立.
方程的根與函數(shù)零點的研究方法,符合從特殊到一般的認(rèn)識規(guī)律,從特殊的、具體的二次函數(shù)入手,建立二次函數(shù)的零點與相應(yīng)二次方程的聯(lián)系,然后將其推廣到一般的、抽象的函數(shù)與相應(yīng)方程的情形;零點存在性的研究,也同樣采用了類似的方法,同時還使用了“數(shù)形結(jié)合思想”及“轉(zhuǎn)化與化歸思想”.
方程的根與函數(shù)零點的關(guān)系研究,不僅為“用二分法求方程的近似解”的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備,而且揭示了方程與函數(shù)之間的本質(zhì)聯(lián)系,這種聯(lián)系正是中學(xué)數(shù)學(xué)重要思想方法——“函數(shù)與方程思想”的理論基礎(chǔ).可見,函數(shù)零點概念在中學(xué)數(shù)學(xué)中具有核心地位.
本節(jié)的教學(xué)重點是,方程的根與函數(shù)零點的關(guān)系、函數(shù)零點存在性定理.
二.目標(biāo)和目標(biāo)解析
通過本課教學(xué),要求學(xué)生:理解并掌握方程的根與相應(yīng)函數(shù)零點的關(guān)系,在此基礎(chǔ)上,學(xué)會將求方程的根的問題轉(zhuǎn)化為求相應(yīng)函數(shù)零點的問題;理解零點存在性定理,并能初步確定具體函數(shù)存在零點的區(qū)間.
1.能夠結(jié)合具體方程(如二次方程),說明方程的根、相應(yīng)函數(shù)圖象與軸的交點橫坐標(biāo)以及相應(yīng)函數(shù)零點的關(guān)系;
2.正確理解函數(shù)零點存在性定理:了解圖象連續(xù)不斷的意義及作用;知道定理只是函數(shù)存在零點的一個充分條件;了解函數(shù)零點只能不止一個;
3.能利用函數(shù)圖象和性質(zhì)判斷某些函數(shù)的零點個數(shù);
4.能順利將一個方程求解問題轉(zhuǎn)化為一個函數(shù)零點問題,寫出與方程對應(yīng)的函數(shù);并會判斷存在零點的區(qū)間(可使用計算器).
三.教學(xué)問題診斷分析
學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)是,初中學(xué)習(xí)過二次函數(shù)圖象和二次方程,并且解過“當(dāng)函數(shù)值為0時,求相應(yīng)自變量的值”的問題,初步認(rèn)識到二次方程與二次函數(shù)的聯(lián)系,對二次函數(shù)圖象與軸是否相交,也有一些直觀的認(rèn)識與體會.在高中階段,已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)概念與性質(zhì),掌握了部分基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì).
教學(xué)的重點是方程的根與函數(shù)零點的關(guān)系及零點存在性定理的深入理解與應(yīng)用.
以二次方程及相應(yīng)的二次函數(shù)為例,引入函數(shù)零點的概念,說明方程的根與函數(shù)零點的關(guān)系,學(xué)生并不會覺得困難.學(xué)生學(xué)習(xí)的難點是準(zhǔn)確理解零點存在性定理,并針對具體函數(shù)(或方程),能求出存在零點(或根)的區(qū)間.
教學(xué)過程中,通過引導(dǎo)學(xué)生通過探究,發(fā)現(xiàn)方程的根與函數(shù)零點的關(guān)系;而零點存在性定理的教學(xué),則應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生觀察函數(shù)圖象與軸的交點的情況,來研究函數(shù)零點的情況,通過研究:①函數(shù)圖象不連續(xù);②;③,函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào);④,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào),等各種情況,加深學(xué)生對零點存在性定理的理解.
四.教學(xué)支持條件分析
本節(jié)教學(xué)目標(biāo)的實現(xiàn),需要借助計算機或者計算器,一方面是繪制函數(shù)圖象,通過觀察圖象加深方程的根、函數(shù)零點以及同時函數(shù)圖象與軸的交點的關(guān)系;另一方面,判斷零點所在區(qū)間過程中,一些函數(shù)值的計算也必須借助計算機或計算器.
五.教學(xué)過程設(shè)計
1.方程的根與相應(yīng)函數(shù)圖象的關(guān)系
復(fù)習(xí)總結(jié)一元二次方程與相應(yīng)函數(shù)與軸的交點及其坐標(biāo)的關(guān)系:
一元二次方程根的個數(shù)
圖象與軸交點個數(shù)
圖象與軸交點坐標(biāo)
意圖:回顧二次函數(shù)圖象與軸的交點和相應(yīng)方程的根的關(guān)系,為一般函數(shù)及相應(yīng)方程關(guān)系作準(zhǔn)備.
問題一、上述結(jié)論對其他函數(shù)成立嗎?為什么?
在《幾何畫板》下展示如下函數(shù)的圖象:
、、、、,
比較函數(shù)圖象與軸的交點和相應(yīng)方程的根的關(guān)系。
函數(shù)的圖象與軸交點,即當(dāng),該方程有幾個根,的圖象與軸就有幾個交點,且方程的根就是交點的橫坐標(biāo).
意圖:通過各種函數(shù),將結(jié)論推廣到一般函數(shù)。
2.函數(shù)零點概念
對于函數(shù),把使的實數(shù)叫做函數(shù)的零點.
說明:函數(shù)零點不是一個點,而是具體的自變量的取值.
3.方程的根與函數(shù)零點的關(guān)系
方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零點
以上關(guān)系說明:函數(shù)與方程有著密切的聯(lián)系,從而有些方程問題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題來求解,同樣,函數(shù)問題有時也可轉(zhuǎn)化為方程問題.這正是函數(shù)與方程思想的基礎(chǔ).
4.零點存在性定理
問題二、觀察圖象(氣溫變化圖)片段,根據(jù)該圖象片段,將其補充成完整函數(shù)圖象,并問:是否有某時刻的溫度為0℃?為什么?(假設(shè)氣溫是連續(xù)變化的)
意圖:通過類比得出零點存在性定理.
給出零點存在性定理:如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷一條曲線,并且有,那么,函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點.即存在,使得,這個c也就是方程的根.
問題三、不是連續(xù)函數(shù)結(jié)論還成立嗎?請舉例說明。
在《幾何畫板》下結(jié)合函數(shù)的圖象說明。
問題四、若,函數(shù)在區(qū)間在上一定沒有零點嗎?
問題五、若,函數(shù)在區(qū)間在上只有一個零點嗎?可能有幾個?
問題六、時,增加什么條件可確定函數(shù)在區(qū)間在上只有一個零點?
在《幾何畫板》下結(jié)合函數(shù)的圖象說明問題四、五、六。
意圖:通過四個問題使學(xué)生準(zhǔn)確理解零點存在性定理.
5.例題:求函數(shù)的零點的個數(shù).
問題七、能否確定一個區(qū)間,使函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)有零點.
問題八、該函數(shù)有幾個零點?為什么?
意圖:通過例題分析,學(xué)會用零點存在性定理確定零點存在區(qū)間,并且結(jié)合函數(shù)性質(zhì),判斷零點個數(shù)的方法.
六.目標(biāo)檢測設(shè)計
1.已知函數(shù)f (x)的圖象是連續(xù)不斷的,且有如下對應(yīng)值表,則函數(shù)在哪幾個區(qū)間內(nèi)有零點?為什么?
x
1
2
3
4
6
10
f (x)
20
-5.5
-2
6
18
-3
2.函數(shù)在區(qū)間[-5,6]上是否存在零點?若存在,有幾個?
3.利用函數(shù)圖象判斷下列方程有幾個根
(1)
(2)
4.指出下列函數(shù)零點所在的大致區(qū)間
(1)
(2)
最后,師生共同小結(jié)(略)
思考題:函數(shù)的零點在區(qū)間內(nèi)有零點,如何求出這個零點?設(shè)計意圖:為下一節(jié)“二分法”的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備.
本文來自:逍遙右腦記憶 http://yy-art.cn/gaozhong/215520.html
相關(guān)閱讀:高考文科數(shù)學(xué)必背公式有哪些