一. 教學內(nèi)容：分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理、排列

二. 教學重、難點：

1. 分類計數(shù)原理，分步計數(shù)原理

2.

【典型例題

[例1] 有三個袋子，其中一個袋子裝有紅色小球20個，每個球上標有1至20中的一個號碼，一個袋子裝有白色小球15個，每個球上標有1至15中的一個號碼，第三個袋子裝有黃色小球8個，每個球上標有1至8中的一個號碼。

（1）從袋子里任取一個小球，有多少種不同的取法？

（2）從袋子里任取紅、白、黃色球各一個，有多少種不同的取法？

解：

（1）任取一個小球的方法可分三類，一類取紅球，有20種取法；一類取白球，有15種取法；一類取黃球，有8種取法。由分類計數(shù)原理共有20 15 8=43種不同取法。

（2）取三色小球各一個，可分三步完成，先取紅球。有20種取法；再取白球，有15種取法；最后取黃球，有8種取法。由分步計數(shù)原理，共有 種不同的取法。

[例2] 在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字比十位數(shù)字大的兩位數(shù)有多少個？

解：分析個位數(shù)字，可分以下幾類：

個位是9，則十位可以是1，2，3，……，8中的一個，故有8個；

個位是8，則十位可以是1，2，3，……，7中的一個，故有7個；

與上同樣。

個位是7的有6個；

個位是6的有5個；

……

個位是2的只有1個。

由分類計數(shù)原理知，滿足條件的兩位數(shù)有 （個）

[例3] 如圖，小圓圈表示網(wǎng)絡的結(jié)點，結(jié)點之間的連線表示它們有網(wǎng)線相聯(lián)，連線標注的數(shù)字，表示該網(wǎng)線單位時間內(nèi)可以通過的最大信息量，現(xiàn)從結(jié)點A向結(jié)點B傳遞信息，信息可以分開沿不同的路線同時傳遞，則單位時間內(nèi)傳遞的最大信息量為多少？

解：沿12?D5?D3路線傳遞的信息最大量為3（單位時間內(nèi)），沿12?D6?D4路線傳遞信息的最大量為4……由于以上每個線路均能獨立完成這件事（傳遞信息），故單位時間內(nèi)傳遞的最大信息量為3 4 6 6=19。

[例4] 用6種不同的顏色對下圖中5個區(qū)域涂色，每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰的區(qū)域不能同色，那么共有多少種不同的涂色方法？

解：分五步進行，第一步給5號域涂色有6種方法

第二步給4號涂有5種方法

第三步給1號涂有5種方法

第四步給2號涂有4種方法

第五步給3號涂有4種方法

根據(jù)分步計數(shù)原理，共有 值

（1） ；（3） 。

解：（1）由排列數(shù)公式，

得

整理得 或 （舍去） ∴

解得

（3）由排列數(shù)公式，得 ∴ ；

（2）

∴

（3）∵

[例7] 由0，1，2，3，4，5共六個數(shù)字可組成多少個沒有重復數(shù)字且能被5整除的六位數(shù)？

解：組成的六位數(shù)與順序有關，但首位不能排0，個位必須排0或5，因此分兩類：第一類：個位必須排0，此時前五位數(shù)由1，2，3，4，5共五個數(shù)字組成，這五個數(shù)字的每一個排列對應一個六位數(shù)，故此時有 個六位數(shù)。第二類：個位數(shù)排5，此時為完成這件事（構(gòu)造出六位數(shù)）還應分兩步，第一步排首位，有4種排法，第二步排中間四位，有 個。

[例8] 用0，1，2，3，4五個數(shù)字組成的無重復數(shù)字的五位數(shù)中，其依次從小到大的排列。

（1）第49個數(shù)是多少？（2）23140是第幾個數(shù)？

解：（1）1、2是首數(shù)時各組成 個；2在萬位，0、1在千位的共有 個，還有23104比23140小，故23140是第 種方法，然后讓剩下的5個人（其中包括甲）站在中間的5個位置，有 種站法。

方法二：因為甲不在兩端，分兩步排隊，首先排甲，有 種方法，第二步讓其他6人站在其他6個位置上，有 種方法，第二步讓甲插入這6個人之間的空當中，有 種，故共有 種站法。

方法四：在排隊時，對7個人，不考慮甲的站法要求任意排列，有 種方法，因此共有 種排法，再考慮其余5個元素的排法有 種。

方法二：甲、乙兩人不能站在兩端，應包括同時不在兩端，某一人在兩端，故用排異法，應減去兩種情況，同時在兩端，有 種不同站法。

（3）分三步：第一步，從甲、乙以外的5個人中任選2人排在甲、乙之間的兩個位置上，有 種方法，第三步，對甲、乙進行全排列，故共有 種不同站法。

（4）方法一：男生站在前4個位置上有 種站法，男女生站成一排是分兩步完成的，因此這種站法共有 種站法，這兩種站法都符合要求，所以四名男生站在一起，三名女生也站在一起的站法共有 種排法，然后排四名男生，有 種排法，根據(jù)分步計數(shù)原理，將四名男生站在一起，三名女生站在一起的站法有 種排法，在四名男生間的三個間隔共有三個位置安排三名女生，有 種排法符合要求，故四名男生三名女生相間排列的排法共有 種。

（6）在7個位置上任意排列7名學生，有排法 中每一種情況均以 種。

[例10] 某班開設的課程有語文、數(shù)學、英語、政治、物理、化學、生物、體育共8門。若星期一上午排4節(jié)不同的課，并且規(guī)定體育課不能排在第一節(jié)及第四節(jié)，那么星期一上午該班的課程表有多少種不同的排法？

解：若不排體育課，則有 ，且A中至少有一個奇數(shù)，則這樣的集合有（ ）

A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 高中物理 5個

2. 書架上、下兩層分別放有5本不同的數(shù)學書和4本不同的語文書，從中選兩本數(shù)學書和一本語文書，則不同的選法有 種（ ）

A. 9 B. 13 C. 24 D. 40

3. 不等式 B. 或 或

4. 已知 的值為（ ）

A. 7 B. 2 C. 6 D. 8

5. 2個男生和4個女生排成一排，其中男生既不相鄰也不排兩端的不同排法有（ ）

A. 種

C. 種

6. 27位女同學排隊照相，第一排8人，第二排9人，第三排10人，則所有不同的排法種數(shù)為（ ）

A.

C.

二. 解答題

1. （1）某教學樓有三個不同的樓梯，4名學生要下樓，共有多少種不同的下樓方法？（2）有4名同學要爭奪3個比賽項目的冠軍，冠軍獲得者共有多少種可能？

2. 現(xiàn)有高一年級四個班學生34人，其中一、二、三、四班分別有7人、8人、9人、10人，他們自愿組成數(shù)學課外小組。

（1）選其中一人為負責人，有多少種不同的選法？

（2）每班選一名組長，有多少種不同的選法？

（3）推選兩人作中心發(fā)言，這兩人需來自不同的班級，有多少種不同的選法？

3. 解下列各式中的 值。

（1） （2）

【試題答案】

一. 選擇題

1. D 2. D 3. C 4. A 5. A 6. C

二. 解答題

1. 解：

（1）4名學生分別下樓，即問題分4步完成。每名學生都有3種不同的下樓方法，根據(jù)分步計數(shù)原理，不同的下樓方法共有 種。

（2）確定3項冠軍人選可逐項完成，即分3步，第1項冠軍人選有4種可能，第2項與第3項也均有4種可能，根據(jù)分步計數(shù)原理：冠軍獲得者共有 （種）

（2）分四步，易知不同的選法總數(shù)

（種）

（3）分六類，每類又分兩步，從一、二班學生中各選1人，有 種不同的選法；從一、三班學生中各選1人，有 種不同選法；從一、四班學生中各選1人，有 種不同的選法；從二、三班學生中各選1人，有 種不同的選法，所以共有不同的選法數(shù)

∴

∴ （舍）

（2）

∴ （舍）

4. 解：

（1）先排乙有2種方法，再排其余5位同學有 種排法。

（4） 種排法。

（5） 種排法。

（6）7個學生的所有排列中，3名女生交換順序得到的排列只對應一個符合題意的排隊方式，故共有 種排法。

本文來自：逍遙右腦記憶 http://yy-art.cn/gaozhong/63649.html

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