在本章中，學生應該在已有知識的基礎(chǔ)上，通過對任意三角形邊角關(guān)系的探究，發(fā)現(xiàn)并掌握三角形中的邊長與角度之間的數(shù)量關(guān)系，并認識到運用它們可以解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題。

　　一、內(nèi)容與課程學習目標

　　本章的中心內(nèi)容是解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落實在解三角形的應用上。通過本章學習，學生應當達到以下學習目標：

　　（1）通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題。

　�。�2）能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題。

　　二、內(nèi)容安排

　　本章教學約需8課時，具體分配如下（僅供參考）：

　　1.1正弦定理和余弦定理　　　　　　　　　　　　　　　約3課時

　　1.2 應用舉例　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　約4課時

　　1.3 實習作業(yè)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　約1課時

　　本章的知識結(jié)構(gòu)如下圖所示

　　 

　　1．正弦定理和余弦定理揭示了關(guān)于一般三角形中的重要邊角關(guān)系，它們是解三角形的兩個重要定理。

　　對于正弦定理，教科書首先引導學生回憶任意三角形中有大邊對大角，小邊對小角的邊角關(guān)系，引導學生思考是否能得到這個邊、角關(guān)系準確量化表示的問題。由于涉及邊角之間的數(shù)量關(guān)系，就比較自然地引導到三角函數(shù)。在直角三角形中，邊之間的比就是銳角的三角函數(shù)。研究特殊的直角三角形中的正弦，就很快證明了直角三角形中的正弦定理。分析直角三角形中的正弦定理，考察結(jié)論是否適用于銳角三角形，可以發(fā)現(xiàn)asinB和bsinA實際上表示了銳角三角形邊AB上的高。這樣，利用高的兩個不同表示，就容易證明銳角三角形中的正弦定理。鈍角三角形中定理的證明要應用正弦函數(shù)的誘導公式，教科書要求學生自己通過探究來加以證明。

　　如果∠A＜∠B，由三角形的性質(zhì)，。當∠A、∠B都是銳角，由正弦函數(shù)在區(qū)間（0,π/2）上的單調(diào)性可知，sin A＜sin B。正弦定理指出了三角形中邊與對應角的正弦之間的一個關(guān)系式，它描述了三角形中大邊與大角的一種準確的數(shù)量關(guān)系.當∠A是銳角，∠B是鈍角，因為∠A＋∠B＜π，所以∠B＜π－∠A，由正弦函數(shù)在區(qū)間（π/2, π）上的單調(diào)性可知，sin B ＞ sin（π－A）＝sin A,所以sin A＜sin B。等式仍描述了此三角形中大邊對大角的一種準確的數(shù)量關(guān)系。所以，教科書指出，正弦定理非常好地描述了任意三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系.

　　2．用正弦定理解三角形是正弦定理的一個直接應用，教科書首先說明了什么是解三角形：一般地，把三角形的三個角A，B，C和它們的對邊a，b，c叫做三角形的元素.由已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形.應該注意，上述對于解三角形的描述是對傳統(tǒng)的關(guān)于解三角形的一個簡化。在傳統(tǒng)的解三角形問題中，還把三角形的中線、高、角平分線等也作為三角形的元素。教科書對此作了簡化的處理，僅把邊和角作為元素。

　　正弦定理實際上包含了三個等式，這就是：

　　 　

　　上面的每一個等式都表示了三角形兩個角和它們的對邊的關(guān)系，因此，正弦定理可以用于兩類解三角形的問題：

　　已知三角形的任意兩個角與一邊，求其他兩邊和另一角。

　�。�2） 已知三角形的兩邊與其中一邊的對角，計算另一邊的對角，進而計算出其他的邊和角.

　　3．教科書用兩個例題說明應用正弦定理解三角形的方法。在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，在某些條件下會出現(xiàn)無解的情形，教科書在探究與發(fā)現(xiàn)：“關(guān)于解三角形的進一步討論”中對此作了說明。教科書的例2也涉及了這種情況，在得出了　sin B =0.8999后，應該指出在0°到180°之間，對應于sin B =0.8999的角有兩個，一個是銳角64°，一個是鈍角116°，這兩個角是否都合要求呢？根據(jù)“三角形中大邊對大角”來判斷，因為b＞a,所以B＞A，而A=40°，可知求出的B的兩個值都符合題意，即本題有兩個解。  

　　4．對于余弦定理，教科書首先研究把已知兩邊及其夾角判定三角形全等的方法進行量化，也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計算出三角形的另一邊和兩個角的問題。根據(jù)判定三角形全等的方法，已知三角形的兩條邊及其所夾的角，這個三角形是大小、形狀完全確定的三角形.解這個三角形，就是從量化的角度來研究這個問題。教科書先研究如何用已知的兩條邊及其夾角來表示第三條邊，設(shè)法找出一個用已知的兩條邊及其夾角來表示第三條邊的一個公式的問題。涉及邊長問題，考慮用向量的數(shù)量積來加以證明。教科書利用向量的數(shù)量積比較容易地證明了余弦定理。

　　余弦定理指出了三角形的三條邊與其中的一個角之間的關(guān)系，每一個等式中都包含四個不同的量，它們分別是三角形的三邊和一個角，知道其中的三個量，就可以求得第四個量。從已知三角形的三邊確定三角形的角，這就是余弦定理的推論，也可以說是余弦定理的第二種形式。

　　5．應用余弦定理及其推論，并結(jié)合正弦定理，可以解決的解三角形問題有：

　�。�1）已知兩邊和它們的夾角解三角形；

　�。�2）已知三角形的三邊解三角形。

　　教科書中的例3和例4說明了余弦定理及其推論并結(jié)合正弦定理，可以解決的解三角形問題。在已知兩邊和及其夾角解三角形時，可以用余弦定理求出第三條邊，這樣就把問題轉(zhuǎn)化成已知三邊解三角形的問題。

　　6．正弦定理和余弦定理在實際測量中有許多應用，教科書在第1.2節(jié)“應用舉例”介紹了它們在測量距離、高度、角度等問題中的一些應用。

　　對于未知的距離、高度等，存在著許多可以供選擇的測量方案，可以應用全等三角形的方法，也可以應用相似三角形的方法，或借助解直角三角形的方法，以及在本節(jié)介紹的應用兩個定理的方法，等等。但是，由于在測量問題的實際背景下，某些方法也許不能實施，如因為沒有足夠的空間，不能用全等三角形的方法來測量，所以，一種方法會有局限性。這里介紹的許多問題是用以前的方法所不能解決的。本節(jié)的例1和例2是兩個有關(guān)測量距離的問題。例1 是測量從一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離的問題，例2 是測量兩個不可到達的點之間距離的問題。例3、例4和例5是有關(guān)測量底部不可到達的建筑物等的高度的問題。由于底部不可到達，這類問題不能直接用解直角三角形的方法去解決，但常常用正弦定理和余弦定理計算出建筑物頂部或底部到一個可到達的點之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題。例6是一個有關(guān)測量角度的問題。

　　7．關(guān)于三角形的有關(guān)幾何計算，教科書涉及了三角形的高和面積的問題。教科書直接給出了計算三角形的高的公式，

　　

　　

　　

　　這三個公式實際上在正弦定理的證明過程中就已經(jīng)得到。教科書證明了已知三角形的兩邊及其夾角時的面積公式。

　　。

　　在不同已知條件下求三角形的面積的問題，與解三角形問題有密切的關(guān)系，我們可以應用解三角形的知識，求出需要的元素，就可以求出三角形的面積。教科書的例7和例8說明了在不同已知條件下求三角形面積問題的常見解法。已知三角形的三邊求三角形面積的問題在歷史上是一個重要的問題，在西方有海倫公式，在我國數(shù)學史上有秦九韶的“三斜求積公式”，教科書在閱讀與思考中對此作了介紹，在習題中要求學生加以證明。

　　例9是關(guān)于三角形邊角關(guān)系恒等式的證明問題，課程標準要求不在這類問題上作過于繁瑣的訓練，教科書選擇的例題僅限于直接用正弦定理和余弦定理可以證明的問題。

　　8．本章內(nèi)容有很強的實踐性，教科書安排了一個利用本章知識的有關(guān)測量的實習作業(yè)。

　　9．本章的教學重點是通過對于三角形的邊角的探究，證明正弦定理和余弦定理，并運用兩個定理解決一些有關(guān)的實際問題。

　　本章的教學難點是通過對于三角形的邊角關(guān)系的探究，證明正弦定理和余弦定理。

　　三、編寫中考慮的幾個問題

　　1．重視數(shù)學思想方法的教學

　　數(shù)學思想是對于數(shù)學知識（數(shù)學中的概念、法則、性質(zhì)、公式、公理、定理、方法等）的理性的、本質(zhì)的、高度抽象和概括的認識，帶有普遍的指導意義，蘊涵于運用數(shù)學方法分析、處理和解決數(shù)學問題的過程之中。數(shù)學方法是研究或解決數(shù)學問題并使之達到目的的手段、方式、途徑或程序。數(shù)學思想方法的教學是中學數(shù)學教學中的重要組成部分，有利于學生加深對于具體數(shù)學知識的理解和掌握。

　　本章重視與內(nèi)容密切相關(guān)的數(shù)學思想方法的教學，并且在提出問題、思考解決問題的策略等方面對學生進行具體示范、引導。本章的兩個主要數(shù)學結(jié)論是正弦定理和余弦定理，它們都是關(guān)于三角形的邊角關(guān)系的結(jié)論。在初中，學生已經(jīng)學習了相關(guān)邊角關(guān)系的定性的知識，就是“在任意三角形中有大邊對大角，小邊對小角”，“如果已知兩個三角形的兩條對應邊及其所夾的角相等,那么這兩個三角形全等”，對于這兩個問題的定量的研究就是，“在一個三角形中，如果已知三邊，三條已知長度的邊分別會對應多大的角？”“在一個三角形中，如果已知兩邊及其所夾的角，怎樣求出三角形其余的邊和角的大��？”教科書在引入正弦定理內(nèi)容時，讓學生從已有的幾何知識出發(fā)，提出探究性問題：“在任意三角形中有大邊對大角，小邊對小角的邊角關(guān)系.我們是否能得到這個邊、角的關(guān)系準確量化的表示呢?”，在引入余弦定理內(nèi)容時，提出探究性問題“如果已知三角形的兩條邊及其所夾的角,根據(jù)三角形全等的判定方法，這個三角形是大小、形狀完全確定的三角形.我們?nèi)匀粡牧炕�的角度來研究這個問題，也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計算出三角形的另一邊和兩個角的問題。”設(shè)置這些問題，都是為了加強數(shù)學思想方法的教學。

　　2．注意加強前后知識的聯(lián)系

　　加強與前后各章教學內(nèi)容的聯(lián)系，注意復習和應用已學內(nèi)容，并為后續(xù)章節(jié)教學內(nèi)容做好準備，能使整套教科書成為一個有機整體，提高教學效益，并有利于學生對于數(shù)學知識的學習和鞏固。

　　本章內(nèi)容處理三角形中的邊角關(guān)系，與初中學習的三角形的邊與角的基本關(guān)系，已知三角形的邊和角相等判定三角形全等的知識有著密切聯(lián)系。教科書在引入正弦定理內(nèi)容時，讓學生從已有的幾何知識出發(fā)，提出探究性問題“在任意三角形中有大邊對大角，小邊對小角的邊角關(guān)系.我們是否能得到這個邊、角的關(guān)系準確量化的表示呢?”，在引入余弦定理內(nèi)容時，提出探究性問題“如果已知三角形的兩條邊及其所夾的角,根據(jù)三角形全等的判定方法，這個三角形是大小、形狀完全確定的三角形.我們?nèi)匀粡牧炕�的角度來研究這個問題，也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計算出三角形的另一邊和兩個角的問題。”這樣，從聯(lián)系的觀點，從新的角度看過去的問題，使學生對于過去的知識有了新的認識，同時使新知識建立在已有知識的堅實基礎(chǔ)上，形成良好的知識結(jié)構(gòu)。

　　《課程標準》和教科書把“解三角形”這部分內(nèi)容安排在數(shù)學五的第一部分內(nèi)容，位置相對靠后，在此內(nèi)容之前學生已經(jīng)學習了三角函數(shù)、平面向量、直線和圓的方程等與本章知識聯(lián)系密切的內(nèi)容，這使這部分內(nèi)容的處理有了比較多的工具，某些內(nèi)容可以處理得更加簡潔。比如對于余弦定理的證明，常用的方法是借助于三角的方法，需要對于三角形進行討論，方法不夠簡潔，教科書則用了向量的方法，發(fā)揮了向量方法在解決問題中的威力。

　　在證明了余弦定理及其推論以后，教科書從余弦定理與勾股定理的比較中，提出了一個思考問題“勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關(guān)系，如何看這兩個定理之間的關(guān)系？”，并進而指出，“從余弦定理以及余弦函數(shù)的性質(zhì)可知，如果一個三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是直角；如果小于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是鈍角；如果大于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是銳角.從上可知，余弦定理是勾股定理的推廣.”

　　3．重視發(fā)展應用意識和數(shù)學實踐能力

　　用數(shù)學是學數(shù)學的出發(fā)點和歸宿。我國的中學數(shù)學教學與國際上其他一些國家的中學數(shù)學教學比較，具有重視基礎(chǔ)知識教學和基本技能訓練，重視數(shù)學計算、推理和空間想像能力的培養(yǎng)等顯著特點，因而我國中學生的數(shù)學基本功比較扎實。然而，改革開放也使我國數(shù)學教育界看到了我國中學數(shù)學教學的一些不足。其中比較突出的兩個問題是，學生應用數(shù)學的意識不強，創(chuàng)造能力較弱。學生往往不能把實際問題抽象成數(shù)學問題，不能把所學的數(shù)學知識應用到實際問題中去，對所學數(shù)學知識的實際背景了解不多，對于數(shù)學在人類文明發(fā)展史上的重要作用認識不足；學生機械地模仿一些常見數(shù)學問題解法的能力較強，而當面臨一種新的問題時卻辦法不多，對于諸如觀察、分析、歸納、類比、抽象、概括、猜想等發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的科學思維方法了解不夠。針對這些實際情況，我們的數(shù)學教科書為此作了一些努力。數(shù)學教科書重視從實際問題出發(fā)，引入數(shù)學課題，最后把數(shù)學知識應用于實際問題。

　　解三角形的知識本身是從人類長期的生產(chǎn)和生活實踐中產(chǎn)生和發(fā)展起來的，本章的教學內(nèi)容有顯著的實踐性，本章教材重視發(fā)展學生應用數(shù)學的意識和數(shù)學實踐能力。

　　本章一開始的引言就從一個測量問題引入：“在我國古代就有嫦娥奔月的神話故事.明月高懸，我們仰望夜空，會有無限遐想，不禁會問，遙不可及的月亮離我們地球究竟有多遠呢？”接著指出：“在數(shù)學發(fā)展歷史上 高三，受到天文測量、航海測量和地理測量等方面實踐活動的推動，解三角形的理論得到不斷發(fā)展，并被用于解決許多測量問題.”這就點出了本章數(shù)學知識的某些重要的實際背景及其實際需要，使學生初步認識學習解三角形知識的必要性。然后以一系列的實際問題引入本章要學習的數(shù)學知識：“在初中，我們已經(jīng)能夠借助于銳角三角函數(shù)解決有關(guān)直角三角形的一些測量問題.在實際工作中我們還會遇到許多其他的測量問題，這些問題僅用銳角三角函數(shù)就不夠了，例如：

　　樣航行途中測出海上兩個島嶼之間的距離？

　　怎樣測量底部不可到達的建筑物的高度？

　　怎樣在水平飛行的飛機上測量飛機下方山頂?shù)暮０胃叨龋?/p>

　　怎樣測出海上航行的輪船的航速和航向？

　　這些問題的解決需要我們進一步學習任意三角形中邊與角關(guān)系的有關(guān)知識.在本章中我們要學習正弦定理和余弦定理，并學習應用這兩個定理解三角形以及解決實際測量中的一些問題.”

　　本章還安排了解三角形的“應用舉例”的內(nèi)容，介紹正弦定理和余弦定理在測量距離、高度、角度、幾何計算等方面的應用。對于未知的距離、高度等，存在著許多可以供選擇的測量方案，可以應用全等三角形的方法，也可以應用相似三角形的方法，或借助解直角三角形的方法，以及在本節(jié)介紹的應用兩個定理的方法，等等。由于在實際測量問題的實際背景下，某些方法會不能實施。如因為沒有足夠的空間，不能用全等三角形的方法來測量，所以，一種方法會有局限性。這里介紹的許多問題是用以前的方法所不能解決的。如例1是測量從一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離的問題，例2 是測量兩個不可到達的點之間距離的問題。例3、例4和例5是有關(guān)測量底部不可到達的建筑物等的高度的問題。教科書注意了問題情景的真實性，重視體現(xiàn)數(shù)學應用的實際價值。對于某些測量問題，最后能得到一個公式，或一個操作程序，使學生能解決一類測量問題。歷史上，解三角形的知識產(chǎn)生主要受到天文測量、航海測量、地理測量等實踐活動的推動，在例題和習題的選擇中，注意配備幾個方面的問題。

　　本章內(nèi)容有很強的實踐性，教科書安排了一個利用本章知識的有關(guān)測量的實習作業(yè)。

　　四、對教學的幾個建議

　　1．要重視學生的創(chuàng)造能力和創(chuàng)新意識的培養(yǎng)

　　在國際競爭日益激烈的當今世界，人們越來越清楚認識到，國家的富強乃至企業(yè)的興衰，無不取決于對科技知識的學習、掌握及其創(chuàng)造性的開拓和應用。但創(chuàng)造能力并非與生俱有，必須通過有意識的學習和訓練才能形成。數(shù)學教育必須重視培養(yǎng)學生應用所學知識進行創(chuàng)造性工作的能力。要培養(yǎng)學生的創(chuàng)造能力，就要讓學生具有積極探索的態(tài)度，猜想、發(fā)現(xiàn)的欲望。數(shù)學教學要設(shè)法鼓勵學生去探索、猜想和發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)學生的問題意識，經(jīng)常地啟發(fā)學生去思考，提出問題。

　　課程標準要求在本章的教學中，學生應該在已有知識的基礎(chǔ)上，通過對任意三角形邊角關(guān)系的探究，發(fā)現(xiàn)并掌握三角形中的邊長與角度之間的數(shù)量關(guān)系。所以，在本章的教學中，應該根據(jù)教學實際，啟發(fā)學生不斷提出問題，研究問題。在對于正弦定理和余弦定理的證明的探究過程中，應該因勢利導，根據(jù)具體教學過程中學生思考問題的方向來啟發(fā)學生得到自己對于定理的證明。如對于正弦定理，可以啟發(fā)得到有應用向量方法的證明，對于余弦定理則可以啟發(fā)得到三角方法和解析的方法。在應用兩個定理解決有關(guān)的解三角形和測量問題的過程中，一個問題也常常有多種不同的解決方案，應該鼓勵學生提出自己的解決辦法，并對于不同的方法進行必要的分析和比較。對于一些常見的測量問題甚至可以鼓勵學生設(shè)計應用的程序，得到在實際中可以直接應用的算法。

　　2．重視認真完成實習作業(yè)

　　本章安排了一個實習作業(yè)，目的是讓學生進一步鞏固所學的知識，提高學生分析問題的解決實際問題的能力、動手操作的能力以及用數(shù)學語言表達實習過程和實習結(jié)果能力，增強學生應用數(shù)學的意識和數(shù)學實踐能力。在學習測量這樣的內(nèi)容時安排實習作業(yè)，對于學生真正理解和掌握所學的知識是非常必要的。

　　在做實習作業(yè)之前，應該要求學生準備好測量工具，如經(jīng)緯儀和鋼卷尺或皮尺等。教師要注意對于學生實習作業(yè)的指導，包括對于實際測量問題的選擇，及時糾正實際操作中的錯誤，解決測量中出現(xiàn)的一些問題。對于實習作業(yè)，要求寫出實習報告。

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