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第七章 平行線的證明
7.1為什么要證明、7.2定義與命題
專題 推理在實(shí)際中的應(yīng)用
1．甲、乙、丙、丁四個(gè)小朋友在院里玩球，忽聽(tīng)“砰”的一聲，球擊中了李大爺家的窗戶.李大爺跑出來(lái)查看，發(fā)現(xiàn)一塊窗戶玻璃被打裂了.李大爺問(wèn):“是誰(shuí)闖的禍?”
甲說(shuō):“是乙不小心闖的禍.”
乙說(shuō):“是丙闖的禍.”
丙說(shuō):“乙說(shuō)的不是實(shí)話.”
丁說(shuō):“反正不是我闖的禍.”
如果這四個(gè)小朋友中只有一個(gè)人說(shuō)了實(shí)話,請(qǐng)你幫李大爺判斷一下,究竟是誰(shuí)闖的禍( )
A.甲 B. 乙 C.丙 D.丁
2．如圖，在一條街道的兩邊各有1排房子，每排都有5間，如果標(biāo)號(hào)為G的房子被涂成灰色，要求每一排中相鄰的房子不能同色，兩排中直接相對(duì)的房子也不能是同種顏色，則剩下的7間房子中有__________間的顏色不能被涂成灰色．
3．在元旦晚會(huì)上，學(xué)校組織了一次關(guān)于語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)、奧運(yùn)及日常生活常識(shí)的知識(shí)競(jìng)賽，設(shè)定滿分40分，往下依次為30分、20分、10分和0分共五個(gè)評(píng)分等級(jí)．每個(gè)小組分別回答這五個(gè)方面的問(wèn)題，現(xiàn)將A、B、C、D、E五個(gè)小組的部分得分列表如下：
語(yǔ)文數(shù)學(xué)外語(yǔ)常識(shí)奧運(yùn)總分名次
A組 180l
B組 2
C組 3
D組 30 4
E組40 20 5
表中（1）每一豎行的得分均不相同（包括單科和總分），（2）C組有4個(gè)方面得分相同．
求：B、C、D、E組的總分并填表進(jìn)行檢驗(yàn)．
答案：
1．D 【解析】 本題可分三種情況進(jìn)行討論：
①若甲真，則乙假，丙真，丁真，這種情況下，三人說(shuō)了實(shí)話，顯然與條件不符；
②若甲假，乙真，則丙假，丁真，這種情況下，兩人說(shuō)了實(shí)話，顯然與條件不符；
③若甲假，乙假，則丙真，丁假，這種情況下，只有丙說(shuō)了實(shí)話，符合題目給出的條件．
由于丁說(shuō)了假話，因此闖禍的人一定是�。蔬xD．
2．6 【解析】 第一排未涂顏色的三間房子，均與標(biāo)號(hào)為G的房子相鄰，所以均不能被涂成灰色;第二排從左向右數(shù)，第一間房子與標(biāo)號(hào)為G的房子相對(duì)，所以不能被涂成灰色,第二、四間房子與標(biāo)號(hào)為G的房子相鄰，所以不能被涂成灰色,只有第五間房子既不與標(biāo)號(hào)為G的房子相鄰也不相對(duì)，可以被涂成灰色．所以剩下的7間房子中有6間的顏色不能被除數(shù)涂成灰色．
3．解：由表格知：E組的總分 ≥6O．
五個(gè)組的總分為：5×（1O+20+3O+40）=500（分）.
若 =7O，又每一豎行得分不相同，則5組的總分之和≥70+8O+90+100+18O=520≥500，
矛盾， =60．
同理， =7O分．
故 =60分， =70分， =80分， =11O分，
或 =60分， =7O分， =9O分， =1OO分．
填表對(duì)這兩種情況分別給予檢驗(yàn)（見(jiàn)下表）:
語(yǔ)文數(shù)學(xué)外語(yǔ)常識(shí)奧運(yùn)總分名次
A組304O4O4O3O18O1
B組O1O303O4011O2
C組2O2O20O20803
D組1O3O101O1O7O4
E組4OOO20O6O5
語(yǔ)文數(shù)學(xué)外語(yǔ)常識(shí)奧運(yùn)總分名次
A組30404O4O301801
B組1O1O1O3O401OO2
C組2O2O2O1O209O3
D組03O3OO1O7O4
E組40OO200605
7.3平行線的判定
專題 平行線的判定的實(shí)際應(yīng)用
1．如圖，臺(tái)球運(yùn)動(dòng)中，如果母球P擊中邊點(diǎn)A，經(jīng)桌邊反彈后擊中相鄰的另一桌邊的點(diǎn)B，再次反彈．那么母球P經(jīng)過(guò)的路線BC與PA一定平行．請(qǐng)說(shuō)明理由．
2．小明到工廠去進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)時(shí)，發(fā)現(xiàn)工人師傅生產(chǎn)了一種如圖所示的零件，要求
AB∥CD，∠BAE=35°，∠AED=90°．小明發(fā)現(xiàn)工人師傅只是量出∠BAE=35°，∠AED=90°后，又量了∠EDC=55°，于是他就說(shuō)AB與CD肯定是平行的，你知道什么原因嗎？
3．如圖，某湖上風(fēng)景區(qū)有兩個(gè)觀望點(diǎn)A，C和兩個(gè)度假村B，D．度 假村D在C的正西方向，度假村B在C的南偏東30°方向，度假村B到兩個(gè)觀望點(diǎn)的距離都等于2km．
（1）求道路CD與CB的夾角；
（2）如果度假村D到C是直公路，長(zhǎng)為1km，D到A是環(huán)湖路，度假村B到兩個(gè)觀望點(diǎn)的總路程等于度假村D到兩個(gè)觀望點(diǎn)的總路程．求出環(huán)湖路的長(zhǎng)；
（3）根據(jù)題目中的條件，能夠判定DC∥AB嗎？若能，請(qǐng)寫(xiě)出判斷過(guò)程；若不能，請(qǐng)你加上一個(gè)條件，判定DC∥AB．
答案：
1．解：∵∠PAD=∠BAE，∠PAB=180°-∠PAD-∠BAE，
∴∠PAB=180°-2∠BAE．
同理，∠ABC=180°-2∠ABE．
∵∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠PAB+∠ABC=360°-2（∠BAE+∠ABE）=180°．
∴BC∥PA．
2．解：AB與CD平行．
理由是：延長(zhǎng)AE交DC于M，
∵∠AED=90°，∠EDC=55°，
∴∠AMD=∠AED-∠EDC=35°，
∵∠BAE=35°，
∴∠BAE=∠AMD，
∴AB∥DC．
3．解：（1）如圖所示，過(guò)C作CM⊥CD交AB與M，則∠DCM=90°，∠MCB=30°，
∴CD與CB的夾角為90°+30°=120°；
（2）環(huán)湖路的長(zhǎng)=AB+BC-CD=3km；
（3）不能判定DC∥AB．
加上的條件可以是：CA平分∠DCB．
證明：∵AB=AC，
∴∠CAB=∠ACB，
∵CA平分∠DCB，
∴∠DCA=∠ACB，
∴∠DCA=∠CAB，
∴DC∥AB．
7.4平行線的性質(zhì)
專題 與平行線有關(guān)的探究題
1．如圖，AB∥CD，分別探討下面四個(gè)圖形中∠APC與∠PAB、∠PCD的關(guān)系，請(qǐng)你從所得到的關(guān)系中任選一個(gè)加以說(shuō)明．（適當(dāng)添加輔助線，其實(shí)并不難）
2．利用平行線的性質(zhì)探究：
如圖，直線AC∥BD，連接AB，直線AC，BD及線段AB把平面分成①②③④四個(gè)部分，規(guī)定線上各點(diǎn)不屬于任何部分．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在某個(gè)部分時(shí)，連接PA、PB，構(gòu)成∠PAC、∠APB、∠PBD三個(gè)角．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第①部分時(shí)，小明同學(xué)在研究∠PAC、∠APB、∠PBD三個(gè)角的數(shù)量關(guān)系時(shí)，利用圖1，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥BD，得出結(jié)論：∠APB=∠PAC+∠PBD．請(qǐng)你參考小明的方法解決下列問(wèn)題：
（1）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第②部分時(shí)，在圖2中畫(huà)出圖形，寫(xiě)出∠PAC、∠APB、∠PBD三個(gè)角的數(shù)量關(guān)系；
（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第③、第○4部分時(shí)，在圖3、圖4中畫(huà)出圖形，探究∠PAC、∠APB、∠PBD之間的數(shù)量關(guān)系，寫(xiě)出結(jié)論并選擇其中一種情形加以證明．
答案：
1．解：如圖：
（1）∠APC=∠PAB+∠PCD；
證明：過(guò)點(diǎn)P作AB∥PF，
∵AB∥PF，∴AB∥CD∥PF，
∴ （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）,
∴∠APC=∠PAB+∠PCD．
（2）∠APC+∠PAB+∠PCD=360°；
（3）∠APC=∠PAB-∠PCD；
（4）∠PCD=∠PAB+∠APC.
2．解：（1）如圖，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第②部分時(shí),∠APB=360°-（∠PAC+∠PBD）；
（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第③部分時(shí), ∠PAC=∠APB+∠PBD；
當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第○4部分時(shí)，∠PAC =∠APB+∠PBD．
證明：如圖，∵∠PAC=∠AEB，
∠AEB=∠PBD+∠APB，
∴∠PAC= ∠APB +∠PBD．
7.5三角形內(nèi)角和定理
專題 與三角形內(nèi)角和外角有關(guān)的探究題
1．如下幾個(gè)圖形是五角星和它的變形．
（1）圖（1）中是一個(gè)五角星，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E；
（2）圖（2）中的點(diǎn)A向下移到BE上時(shí)，五個(gè)角的和（即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E）有
無(wú)變化？說(shuō)明你的結(jié)論的正確性；
（3）把圖（2）中的點(diǎn)C向上移到BD上時(shí)，如圖（3）所示，五個(gè)角的和（即∠CAD+∠B+ ∠ACE+∠D+∠E）有無(wú)變化？說(shuō)明你的結(jié)論的正確性．
2．認(rèn)真下面關(guān)于三角形內(nèi)外角平分線所夾角的探究片段，完成所提出的問(wèn)題.
探究1：如圖1，在△ABC中，O是∠ABC與∠ACB的平分線BO和CO的交點(diǎn)，通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)∠BOC=90°+ ,理由如下:
∵BO和CO分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，
探究2：如圖2,O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點(diǎn)，試分析∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.
探究3：如圖3，O是外角∠DBC與外角∠ECB的平分線BO和CO的交點(diǎn)，則∠BOC與
∠A有怎樣的關(guān)系？（只寫(xiě)結(jié)論，不需證明）
答案：
1．解：（1）如圖，連接CD．
在△ACD中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得出∠A+∠2+∠3+∠ACE+∠ADB=180°．
∵∠1=∠B+∠E=∠2+∠3，
∴∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E=∠A+∠B+∠E+∠ACE+∠ADB=∠A+∠2+∠3+∠ACE+∠ADB=180°.
（2）無(wú)變化．
根據(jù)平角的定義，得出∠BAC+∠CAD+∠DAE=180°．
∵∠BAC=∠C+∠E，∠EAD=∠B+∠D，
∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠BAC+∠CAD+∠DAE=180°；
（3）無(wú)變化．
∵∠ACB=∠CAD+∠D，∠ECD=∠B+∠E，
∴∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E=∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°．
2．解：（1）探究2的結(jié)論：∠BOC= .
理由如下：
∵ BO和CO分別是∠ABC和∠ACD的角平分線,所以
（2）探究3的結(jié)論：∠BOC=90°－
5 Y
本文來(lái)自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/chuer/118259.html
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