2014-2015學(xué)年重慶市第一中學(xué)八年級(jí)（下）期末數(shù)學(xué)試卷
一．細(xì)心選一選：（本大題12個(gè)小題，每小題4分，共48分）在每個(gè)小題的下面，都給出了代號(hào)為A、B、C、D的四個(gè)答案，其中只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)將正確答案的代號(hào)填在表格中．
1．在分式中，x的取值范圍是（ �。�
A． x≠1 B． x≠0 C． x＞1 D． x＜1
2．在以下回收、綠色食品、節(jié)能、節(jié)水四個(gè)標(biāo)志中，是軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知α、β是一元二次方程x2?2x?3=0的兩個(gè)根，則α+β的值是（ �。�
A． 2 B． ?2 C． 3 D． ?3
4．如圖，反比例函數(shù)y=的圖象過點(diǎn)A，過點(diǎn)A分別向x軸和y軸作垂線，垂足為B和C．若矩形ABOC的面積為2，則k的值為（ �。�
A． 4 B． 2 C． 1 D．
5．如圖所示，▱ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，E是CD中點(diǎn)，連接OE，若OE=3cm，則AD的長(zhǎng)為（ �。�
A． 3cm B． 6cm C． 9cm D． 12cm
6．方程x2+6x?5=0的左邊配成完全平方后所得方程為（ ）
A． （x+3）2=14 B． （x?3）2=14 C． D． （x+3）2=4
7．一個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角都是108°，那么這個(gè)多邊形是（ �。�
A． 五邊形 B． 六邊形 C． 七邊形 D． 八邊形
8．分式方程的解是（ �。�
A． x=?5 B． x=5 C． x=?3 D． x=3
9．如圖，菱形ABCD中，已知∠D=110°，則∠BAC的度數(shù)為（ �。�
A． 30° B． 35° C． 40° D． 45°
10．若關(guān)于x的一元二次方程kx2?6x+9=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍（ �。�
A． k＜1且k≠0 B． k≠0 C． k＜1 D． k＞1
11．下列圖形都是由面積為1的正方形按一定的規(guī)律組成，其中，第（1）個(gè)圖形中面積為1的正方形有9個(gè)，第（2）個(gè)圖形中面積為1的正方形有14個(gè)，…，按此規(guī)律．則第（10）個(gè)圖形中面積為1的正方形的個(gè)數(shù)為（ ）
A． 72 B． 64 C． 54 D． 50
12．已知四邊形OABC是矩形，邊OA在x軸上，邊OC在y軸上，雙曲線與邊BC交于點(diǎn)D、與對(duì)角線OB交于點(diǎn)中點(diǎn)E，若△OBD的面積為10，則k的值是（ ）
A． 10 B． 5 C． D．
二、耐心填一填（本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分）請(qǐng)將每小題的正確答案填入下面的表格中．
13．分解因式：2m2?2= ．
14．若分式的值為零，則x= ．
15．如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AB=4，∠AOD=120°，則對(duì)角線AC的長(zhǎng)度為 ．
16．已知x=2是方程x2+mx+2=0的一個(gè)根，則m的值是 �。�
17．由于天氣炎熱，某校根據(jù)《學(xué)校衛(wèi)生工作條例》，為預(yù)防“蚊蟲叮咬”，對(duì)教室進(jìn)行“薰藥消毒”．已知藥物在燃燒機(jī)釋放過程中，室內(nèi)空氣中每立方米含藥量y（毫克）與燃燒時(shí)間x（分鐘）之間的關(guān)系如圖所示（即圖中線段OA和雙曲線在A點(diǎn)及其右側(cè)的部分），當(dāng)空氣中每立方米的含藥量低于2毫克時(shí)，對(duì)人體無毒害作用，那么從消毒開始，至少在 分鐘內(nèi)，師生不能呆在教室．
18．如圖，在正方形ABCD中，AB=2，將∠BAD繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α°（0＜α＜45），得到∠B′AD′，其中過點(diǎn)B作與對(duì)角線BD垂直的直線交射線AB′于點(diǎn)E，射線AD′與對(duì)角線BD交于點(diǎn)F，連接CF，并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)M，當(dāng)滿足S四邊形AEBF=S△CDM時(shí)，線段BE的長(zhǎng)度為 �。�
三．解答題（本大題共4個(gè)小題，19題10分，20題8分，21題8分，22題8分，共34分）解答時(shí)每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟．
19．解方程：
（1）x2?6x?2=0
（2）=+1．
20．如圖，在▱ABCD中，∠ABD的平分線BE交AD于點(diǎn)E，∠CDB的平分線DF交BC于點(diǎn)F，連接BD．
（1）求證：△ABE≌△CDF；
（2）若AB=DB，求證：四邊形DFBE是矩形．
21．如圖，一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象過點(diǎn)P（?，0），且與反比例函數(shù)y=（m≠0）的圖象相交于點(diǎn)A（?2，1）和點(diǎn)B．
（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；
（2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)，并根據(jù)圖象回答：當(dāng)x在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，一次函數(shù)的函數(shù)值小于反比例函數(shù)的函數(shù)值？
22．童裝店在服裝銷售中發(fā)現(xiàn)：進(jìn)貨價(jià)每件60元，銷售價(jià)每件100元的某童裝平均每天可售出20件．為了迎接“六一”，童裝店決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，擴(kuò)大銷售量，增加盈利．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：如果每件童裝降價(jià)1元，那么平均每天就可多售出2件，
（1）降價(jià)前，童裝店每天的利潤是多少元？
（2）如果童裝店每要每天銷售這種童裝盈利1200元，同時(shí)又要使顧客得到更多的實(shí)惠，那么每件童裝應(yīng)降價(jià)多少元？
四、解答題（本大題共2個(gè)小題，每小題10分，共20分）解答時(shí)每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟．
23．先化簡(jiǎn)，再求值：（?）÷（?1），其中a是方程a2?4a+2=0的解．
24．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于任意兩點(diǎn)P1（x1，y1）與P2（x2，y2）的“非常距離”，給出如下定義：
若|x1?x2|≥|y1?y2|，則點(diǎn)P1與點(diǎn)P2的“非常距離”為|x1?x2|；
若|x1?x2|＜|y1?y2|，則點(diǎn)P1與點(diǎn)P2的“非常距離”為|y1?y2|．
例如：點(diǎn)P1（1，2），點(diǎn)P1（3，5），因?yàn)閨1?3|＜|2?5|，所以點(diǎn)P1與點(diǎn)P2的“非常距離”為|2?5|=3，也就是圖1中線段P1Q與線段P2Q長(zhǎng)度的較大值（點(diǎn)Q為垂直于y軸的直線P1Q與垂直于x軸的直線P2Q的交點(diǎn)）．
（1）已知點(diǎn)A（?），B為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，①若點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”為2，寫出滿足條件的點(diǎn)B的坐標(biāo)；②直接寫出點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”的最小值；
（2）如圖2，已知C是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D的坐標(biāo)是（0，1），求點(diǎn)C與點(diǎn)D的“非常距離”最小時(shí)，相應(yīng)的點(diǎn)C的坐標(biāo)．
五．解答題（本大題共2個(gè)小題，25題12分，26題12分，共24分）解答時(shí)每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟．
25．如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是對(duì)角線AC上任意一點(diǎn)，F(xiàn)是線段BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CF=AE，連接BE、EF．
（1）如圖1，當(dāng)E是線段AC的中點(diǎn)，且AB=2時(shí)，求△ABC的面積；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E不是線段AC的中點(diǎn)時(shí)，求證：BE=EF；
（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)E是線段AC延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)時(shí)，（2）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．
26．如圖，已知點(diǎn)A是直線y=2x+1與反比例函數(shù)y=（x＞0）圖象的交點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1．
（1）求k的值；
（2）如圖1，雙曲線y=（x＞0）上一點(diǎn)M，若S△AOM=4，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）如圖2所示，若已知反比例函數(shù)y=（x＞0）圖象上一點(diǎn)B（3，1），點(diǎn)P是直線y=x上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是反比例函數(shù)y=（x＞0）圖象上另一點(diǎn)，是否存在以P、A、B、Q為頂點(diǎn)的平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
2014-2015學(xué)年重慶市第一中學(xué)八年級(jí)（下）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一．細(xì)心選一選：（本大題12個(gè)小題，每小題4分，共48分）在每個(gè)小題的下面，都給出了代號(hào)為A、B、C、D的四個(gè)答案，其中只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)將正確答案的代號(hào)填在表格中．
1．在分式中，x的取值范圍是（ �。�
A． x≠1 B． x≠0 C． x＞1 D． x＜1
考點(diǎn)： 分式有意義的條件．
分析： 根據(jù)分式有意義，分母不等于0列式計(jì)算即可得解．
解答： 解：由題意得，x?1≠0，
解得x≠1．
故選A．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了分式有意義的條件，從以下三個(gè)方面透徹理解分式的概念：
（1）分式無意義⇔分母為零；
（2）分式有意義⇔分母不為零；
（3）分式值為零⇔分子為零且分母不為零．
2．在以下回收、綠色食品、節(jié)能、節(jié)水四個(gè)標(biāo)志中，是軸對(duì)稱圖形的是（ �。�
A． B． C． D．
考點(diǎn)： 軸對(duì)稱圖形．
分析： 根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念對(duì)各選項(xiàng)分析判斷利用排除法求解．
解答： 解：A、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)正確；
C、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選；B．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念．軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
3．已知α、β是一元二次方程x2?2x?3=0的兩個(gè)根，則α+β的值是（ �。�
A． 2 B． ?2 C． 3 D． ?3
考點(diǎn)： 根與系數(shù)的關(guān)系．
分析： 根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到α+β=?=2，即可得出答案．
解答： 解：∵α、β是一元二次方程x2?2x?3=0的兩個(gè)根，
∴α+β=?=2；
故選A．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2=?，x1x2=．
4．如圖，反比例函數(shù)y=的圖象過點(diǎn)A，過點(diǎn)A分別向x軸和y軸作垂線，垂足為B和C．若矩形ABOC的面積為2，則k的值為（ �。�
A． 4 B． 2 C． 1 D．
考點(diǎn)： 反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義．
分析： 設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x，y），用x、y表示OB、AB的長(zhǎng)，根據(jù)矩形ABOC的面積為2，列出算式求出k的值．
解答： 解：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x，y），
則OB=x，AB=y，
∵矩形ABOC的面積為2，
∴k=xy=2，
故選：B．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，過雙曲線上的任意一點(diǎn)分別向兩條坐標(biāo)軸作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積就等于|k|．
5．如圖所示，▱ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，E是CD中點(diǎn)，連接OE，若OE=3cm，則AD的長(zhǎng)為（ ）
A． 3cm B． 6cm C． 9cm D． 12cm
考點(diǎn)： 三角形中位線定理；平行四邊形的性質(zhì)．
分析： 由平行四邊形的性質(zhì)，易證OE是中位線，根據(jù)中位線定理求解．
解答： 解：根據(jù)平行四邊形基本性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)角線互相平分．可知點(diǎn)O是BD中點(diǎn)，所以O(shè)E是△BCD的中位線．
根據(jù)中位線定理可知AD=2OE=2×3=6（cm）．
故選B．
點(diǎn)評(píng)： 主要考查了平行四邊形的基本性質(zhì)和中位線性質(zhì)，并利用性質(zhì)解題．平行四邊形基本性質(zhì)：①平行四邊形兩組對(duì)邊分別平行；②平行四邊形的兩組對(duì)邊分別相等；③平行四邊形的兩組對(duì)角分別相等；④平行四邊形的對(duì)角線互相平分．
6．方程x2+6x?5=0的左邊配成完全平方后所得方程為（ ）
A． （x+3）2=14 B． （x?3）2=14 C． D． （x+3）2=4
考點(diǎn)： 解一元二次方程-配方法．
專題： 配方法．
分析： 配方法的一般步驟：
（1）把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊；
（2）把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；
（3）等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．
解答： 解：由原方程移項(xiàng)，得
x2+6x=5，
等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，即32，得
x2+6x+9=5+9，
∴（x+3）2=14．
故選A．
點(diǎn)評(píng)： 此題考查了配方法解一元二次方程，解題時(shí)要注意解題步驟的準(zhǔn)確應(yīng)用．選擇用配方法解一元二次方程時(shí)，最好使方程的二次項(xiàng)的系數(shù)為1，一次項(xiàng)的系數(shù)是2的倍數(shù)．
7．一個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角都是108°，那么這個(gè)多邊形是（ �。�
A． 五邊形 B． 六邊形 C． 七邊形 D． 八邊形
考點(diǎn)： 多邊形內(nèi)角與外角．
分析： 利用多邊形的內(nèi)角和=180（n?2）可得．
解答： 解：108=180（n?2）÷n
解得n=5．
故選A．
點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和定理．
8．分式方程的解是（ ）
A． x=?5 B． x=5 C． x=?3 D． x=3
考點(diǎn)： 解分式方程．
專題： 計(jì)算題．
分析： 觀察可得最簡(jiǎn)公分母是（x+1）（x?1），方程兩邊乘以最簡(jiǎn)公分母，可以把分式方程化為整式方程，再求解．
解答： 解：方程兩邊同乘以（x+1）（x?1），
得3（x+1）=2（x?1），
解得x=?5．
經(jīng)檢驗(yàn)：x=?5是原方程的解．
故選A．
點(diǎn)評(píng)： （1）解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要驗(yàn)根．
9．如圖，菱形ABCD中，已知∠D=110°，則∠BAC的度數(shù)為（ �。�
A． 30° B． 35° C． 40° D． 45°
考點(diǎn)： 菱形的性質(zhì)．
專題： 計(jì)算題．
分析： 先根據(jù)菱形的對(duì)邊平行和直線平行的性質(zhì)得到∠BAD=70°，然后根據(jù)菱形的每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角求解．
解答： 解：∵四邊形ABCD為菱形，
∴AD∥AB，
∴∠BAD=180°?∠D=180°?110°=70°，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠BAD=35°．
故選B．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了菱形的性質(zhì)：菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；菱形是軸對(duì)稱圖形，它有2條對(duì)稱軸，分別是兩條對(duì)角線所在直線．
10．若關(guān)于x的一元二次方程kx2?6x+9=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍（ ）
A． k＜1且k≠0 B． k≠0 C． k＜1 D． k＞1
考點(diǎn)： 根的判別式；一元二次方程的定義．
專題： 計(jì)算題．
分析： 根據(jù)根的判別式和一元二次方程的定義，令△＞0且二次項(xiàng)系數(shù)不為0即可．
解答： 解：∵關(guān)于x的一元二次方程kx2?6x+9=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴△＞0，
即（?6）2?4×9k＞0，
解得，k＜1，
∵為一元二次方程，
∴k≠0，
∴k＜1且k≠0．
故選A．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了根的判別式和一元二次方程的定義，要知道：（1）△＞0⇔方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）△=0⇔方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）△＜0⇔方程沒有實(shí)數(shù)根．
11．下列圖形都是由面積為1的正方形按一定的規(guī)律組成，其中，第（1）個(gè)圖形中面積為1的正方形有9個(gè)，第（2）個(gè)圖形中面積為1的正方形有14個(gè)，…，按此規(guī)律．則第（10）個(gè)圖形中面積為1的正方形的個(gè)數(shù)為（ �。�
A． 72 B． 64 C． 54 D． 50
考點(diǎn)： 規(guī)律型：圖形的變化類．
分析： 由第1個(gè)圖形有9個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形，第2個(gè)圖形有9+5=14個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形，第3個(gè)圖形有9+5×2=19個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形，…由此得出第n個(gè)圖形有9+5×（n?1）=5n+4個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形，由此求得答案即可．
解答： 解：第1個(gè)圖形邊長(zhǎng)為1的小正方形有9個(gè)，
第2個(gè)圖形邊長(zhǎng)為1的小正方形有9+5=14個(gè)，
第3個(gè)圖形邊長(zhǎng)為1的小正方形有9+5×2=19個(gè)，
…
第n個(gè)圖形邊長(zhǎng)為1的小正方形有9+5×（n?1）=5n+4個(gè)，
所以第10個(gè)圖形中邊長(zhǎng)為1的小正方形的個(gè)數(shù)為5×10+4=54個(gè)．
故選：C．
點(diǎn)評(píng)： 此題考查圖形的變化規(guī)律，找出圖形與數(shù)字之間的運(yùn)算規(guī)律，利用規(guī)律解決問題．
12．已知四邊形OABC是矩形，邊OA在x軸上，邊OC在y軸上，雙曲線與邊BC交于點(diǎn)D、與對(duì)角線OB交于點(diǎn)中點(diǎn)E，若△OBD的面積為10，則k的值是（ �。�
A． 10 B． 5 C． D．
考點(diǎn)： 反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義．
分析： 設(shè)雙曲線的解析式為：y=，E點(diǎn)的坐標(biāo)是（x，y），根據(jù)E是OB的中點(diǎn)，得到B點(diǎn)的坐標(biāo)，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式求出k．
解答： 解：設(shè)雙曲線的解析式為：y=，E點(diǎn)的坐標(biāo)是（x，y），
∵E是OB的中點(diǎn)，
∴B點(diǎn)的坐標(biāo)是（2x，2y），
則D點(diǎn)的坐標(biāo)是（，2y），
∵△OBD的面積為10，
∴×（2x?）×2y=10，
解得，k=，
故選：D．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查反比例系數(shù)k的幾何意義，過雙曲線上的任意一點(diǎn)分別向兩條坐標(biāo)作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積就等于|k|．
二、耐心填一填（本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分）請(qǐng)將每小題的正確答案填入下面的表格中．
13．分解因式：2m2?2= 2（m+1）（m?1） ．
考點(diǎn)： 提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用．
專題： 壓軸題．
分析： 先提取公因式2，再對(duì)剩余的多項(xiàng)式利用平方差公式繼續(xù)分解因式．
解答： 解：2m2?2，
=2（m2?1），
=2（m+1）（m?1）．
故答案為：2（m+1）（m?1）．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了提公因式法，公式法分解因式，關(guān)鍵在于提取公因式后繼續(xù)利用平方差公式進(jìn)行二次因式分解．
14．若分式的值為零，則x= ?3�。�
考點(diǎn)： 分式的值為零的條件．
專題： 計(jì)算題．
分析： 分式的值為零，分子等于0，分母不為0．
解答： 解：根據(jù)題意，得
|x|?3=0且x?3≠0，
解得，x=?3．
故答案是：?3．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了分式的值為0的條件．若分式的值為零，需同時(shí)具備兩個(gè)條件：（1）分子為0；（2）分母不為0．這兩個(gè)條件缺一不可．
15．如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AB=4，∠AOD=120°，則對(duì)角線AC的長(zhǎng)度為 8 ．
考點(diǎn)： 矩形的性質(zhì)；含30度角的直角三角形．
分析： 由矩形的性質(zhì)得出OA=OB，再證明△AOB是等邊三角形，得出OA=OB=AB=4，得出AC=2OA即可．
解答： 解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴OA=AC，OB=BD，AC=BD，
∴OA=OB，
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等邊三角形，
∴OA=OB=AB=4，
∴AC=2OA=8；
故答案為：8．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明三角形是等邊三角形是解決問題的關(guān)鍵．
16．已知x=2是方程x2+mx+2=0的一個(gè)根，則m的值是 ?3�。�
考點(diǎn)： 一元二次方程的解．
分析： 將x=2代入方程即可得到一個(gè)關(guān)于m的方程，解方程即可求出m值．
解答： 解：把x=2代入方程可得：4+2m+2=0，
解得m=?3．
故答案為?3．
點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了方程的解的定義，把求未知系數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為方程求解的問題．
17．由于天氣炎熱，某校根據(jù)《學(xué)校衛(wèi)生工作條例》，為預(yù)防“蚊蟲叮咬”，對(duì)教室進(jìn)行“薰藥消毒”．已知藥物在燃燒機(jī)釋放過程中，室內(nèi)空氣中每立方米含藥量y（毫克）與燃燒時(shí)間x（分鐘）之間的關(guān)系如圖所示（即圖中線段OA和雙曲線在A點(diǎn)及其右側(cè)的部分），當(dāng)空氣中每立方米的含藥量低于2毫克時(shí)，對(duì)人體無毒害作用，那么從消毒開始，至少在 75 分鐘內(nèi)，師生不能呆在教室．
考點(diǎn)： 反比例函數(shù)的應(yīng)用．
分析： 首先根據(jù)題意，藥物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時(shí)間x（分鐘）成正比例；藥物釋放完畢后，y與x成反比例，將數(shù)據(jù)代入用待定系數(shù)法可得反比例函數(shù)的關(guān)系式；進(jìn)一步求解可得答案．
解答： 解：設(shè)反比例函數(shù)解析式為y=（k≠0），
將（25，6）代入解析式得，k=25×6=150，
則函數(shù)解析式為y=（x≥15），
當(dāng)y=2時(shí)，=2，
解得x=75．
答：從消毒開始，師生至少在75分鐘內(nèi)不能進(jìn)入教室．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，現(xiàn)實(shí)生活中存在大量成反比例函數(shù)的兩個(gè)變量，解答該類問題的關(guān)鍵是確定兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系，然后利用待定系數(shù)法求出它們的關(guān)系式．
18．如圖，在正方形ABCD中，AB=2，將∠BAD繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α°（0＜α＜45），得到∠B′AD′，其中過點(diǎn)B作與對(duì)角線BD垂直的直線交射線AB′于點(diǎn)E，射線AD′與對(duì)角線BD交于點(diǎn)F，連接CF，并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)M，當(dāng)滿足S四邊形AEBF=S△CDM時(shí)，線段BE的長(zhǎng)度為 2?2 ．
考點(diǎn)： 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．
分析： 先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠EAB=∠FAD=α，再根據(jù)正方形的性質(zhì)得AB=AD，∠ADB=∠ABD=45°，則利用BE⊥BD得∠EBA=∠FDA=45°，于是可根據(jù)“ASA”判定△ABE≌△ADF，得到S△ABE=S△ADF，所以S四邊形AEBF=S△ABD=4，則S△CDM=2，利用三角形面積公式可計(jì)算出DM=2，延長(zhǎng)AB到M′使BM′=DM=2，如圖，接著根據(jù)勾股定理計(jì)算出CM=2，再通過證明△BCM≌△DCM得到CM′=CM=2，∠BCM′=∠DCM，然后證∠M′NC=∠M′CN得到M′N=M′C=2，則BN=M′C?BM′=2?2．
解答： 解：∵∠BAD繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α°（0＜α＜45°），得到∠B′AD′，
∴∠EAB=∠FAD=α，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=AD，∠ADB=∠ABD=45°，∵BE⊥BD，
∴∠EBD=90°，
∴∠EBA=45°，
∴∠EBA=∠FDA，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴S△ABE=S△ADF，
∴S四邊形AEBF=S△ABE+S△ABF=S△ADF+S△ABF=S△ABD=×2×2=4，
∵S四邊形AEBF=S△CDM，
∴S△CDM==2，
∴DM•2=2，解得DM=2，
延長(zhǎng)AB到M′使BM′=DM=2，如圖，
在Rt△CDM中，CM==2，
在△BCM′和△DCM中
，
∴△BCM≌△DCM（SAS），
∴CM′=CM=2，∠BCM′=∠DCM，
∵AB∥CD，
∴∠M′NC=∠DCN=∠DCM+∠NCM=∠BCM′+∠NCM，
而NC平分∠BCM，
∴∠NCM=∠BCN，
∴∠M′NC=∠BCM′+∠BCN=∠M′CN，
∴M′N=M′C=2，
∴BN=M′C?BM′=2?2．
故答案為：2?2．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)．
三．解答題（本大題共4個(gè)小題，19題10分，20題8分，21題8分，22題8分，共34分）解答時(shí)每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟．
19．解方程：
（1）x2?6x?2=0
（2）=+1．
考點(diǎn)： 解一元二次方程-配方法；解分式方程．
分析： （1）移項(xiàng)，配方，再開方，即可得出兩個(gè)一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）先把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程，求出方程的解，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可．
解答： 解：（1）x2?6x?2=0，
x2?6x=2，
x2?6x+9=2+9，
（x?3）2=11，
x?3=，
x1=3+，x2=3?；
（2）方程兩邊都乘以x?2得：1?x=?1+x?2，
解這個(gè)方程得：x=2，
檢驗(yàn)：當(dāng)x=2時(shí)，x?2=0，
所以x=2不是原方程的解，
所以原方程無解．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了解一元二次方程，解分式方程的應(yīng)用，解（1）小題的關(guān)鍵是能把一元二次方程轉(zhuǎn)化成一元一次方程，解分式方程的關(guān)鍵是能把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程．
20．如圖，在▱ABCD中，∠ABD的平分線BE交AD于點(diǎn)E，∠CDB的平分線DF交BC于點(diǎn)F，連接BD．
（1）求證：△ABE≌△CDF；
（2）若AB=DB，求證：四邊形DFBE是矩形．
考點(diǎn)： 矩形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．
專題： 證明題．
分析： （1）根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出AB=CD，∠A=∠C．求出∠ABD=∠CDB．推出∠ABE=∠CDF，根據(jù)ASA推出全等即可；
（2）根據(jù)全等得出AE=CF，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出AD∥BC，AD=BC，推出DE∥BF，DE=BF，得出四邊形DFBE是平行四邊形，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出∠DEB=90°，根據(jù)矩形的判定推出即可．
解答： 證明：（1）在□ABCD中，AB=CD，∠A=∠C．
∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB．
∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB，
∴∠ABE=∠ABD，∠CDF=∠CDB．
∴∠ABE=∠CDF．
∵在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（ASA）．
（2）∵△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴DE∥BF，DE=BF，
∴四邊形DFBE是平行四邊形，
∵AB=DB，BE平分∠ABD，
∴BE⊥AD，即∠DEB=90°．
∴平行四邊形DFBE是矩形．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了平行線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定，矩形的判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線定義等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力．
21．如圖，一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象過點(diǎn)P（?，0），且與反比例函數(shù)y=（m≠0）的圖象相交于點(diǎn)A（?2，1）和點(diǎn)B．
（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；
（2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)，并根據(jù)圖象回答：當(dāng)x在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，一次函數(shù)的函數(shù)值小于反比例函數(shù)的函數(shù)值？
考點(diǎn)： 反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題．
專題： 數(shù)形結(jié)合；待定系數(shù)法．
分析： （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)二元一次方程組，可得函數(shù)圖象的交點(diǎn)，根據(jù)一次函數(shù)圖象位于反比例函數(shù)圖象的下方，可得答案．
解答： 解：（1）一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象過點(diǎn)P（?，0）和A（?2，1），
∴，解得，
∴一次函數(shù)的解析式為y=?2x?3，
反比例函數(shù)y=（m≠0）的圖象過點(diǎn)A（?2，1），
∴，解得m=?2，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=?；
（2），
解得，或，
∴B（，?4）
由圖象可知，當(dāng)?2＜x＜0或x＞時(shí)，一次函數(shù)的函數(shù)值小于反比例函數(shù)的函數(shù)值．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，待定系數(shù)法是求函數(shù)解析式的關(guān)鍵．
22．童裝店在服裝銷售中發(fā)現(xiàn)：進(jìn)貨價(jià)每件60元，銷售價(jià)每件100元的某童裝平均每天可售出20件．為了迎接“六一”，童裝店決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，擴(kuò)大銷售量，增加盈利．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：如果每件童裝降價(jià)1元，那么平均每天就可多售出2件，
（1）降價(jià)前，童裝店每天的利潤是多少元？
（2）如果童裝店每要每天銷售這種童裝盈利1200元，同時(shí)又要使顧客得到更多的實(shí)惠，那么每件童裝應(yīng)降價(jià)多少元？
考點(diǎn)： 一元二次方程的應(yīng)用．
專題： 銷售問題．
分析： （1）用降價(jià)前每件利潤×銷售量列式計(jì)算即可；
（2）設(shè)每件童裝降價(jià)x元，利用童裝平均每天售出的件數(shù)×每件盈利=每天銷售這種童裝利潤列出方程解答即可．
解答： 解：（1）童裝店降價(jià)前每天銷售該童裝可盈利：
（100?60）×20=800（元）；
（2）設(shè)每件童裝降價(jià)x元，根據(jù)題意，得
（100?60?x）（20+2x）=1200，
解得：x1=10，x2=20．
∵要使顧客得到更多的實(shí)惠，
∴取x=20．
答：童裝店應(yīng)該降價(jià)20元．
點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用和二次函數(shù)實(shí)際中的應(yīng)用，此題找到關(guān)鍵描述語，找到等量關(guān)系準(zhǔn)確的列出方程或函數(shù)關(guān)系式是解決問題的關(guān)鍵．最后要注意判斷所求的解是否符合題意，舍去不合題意的解．
四、解答題（本大題共2個(gè)小題，每小題10分，共20分）解答時(shí)每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟．
23．先化簡(jiǎn)，再求值：（?）÷（?1），其中a是方程a2?4a+2=0的解．
考點(diǎn)： 分式的化簡(jiǎn)求值；一元二次方程的解．
專題： 計(jì)算題．
分析： 原式括號(hào)中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的加減法則計(jì)算，同時(shí)利用除法法則變形，約分得到最簡(jiǎn)結(jié)果，把已知等式變形后代入計(jì)算即可求出值．
解答： 解：原式=[?]÷=•=，
由a2?4a+2=0，得a2?4a=?2，
則原式=．
點(diǎn)評(píng)： 此題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
24．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于任意兩點(diǎn)P1（x1，y1）與P2（x2，y2）的“非常距離”，給出如下定義：
若|x1?x2|≥|y1?y2|，則點(diǎn)P1與點(diǎn)P2的“非常距離”為|x1?x2|；
若|x1?x2|＜|y1?y2|，則點(diǎn)P1與點(diǎn)P2的“非常距離”為|y1?y2|．
例如：點(diǎn)P1（1，2），點(diǎn)P1（3，5），因?yàn)閨1?3|＜|2?5|，所以點(diǎn)P1與點(diǎn)P2的“非常距離”為|2?5|=3，也就是圖1中線段P1Q與線段P2Q長(zhǎng)度的較大值（點(diǎn)Q為垂直于y軸的直線P1Q與垂直于x軸的直線P2Q的交點(diǎn)）．
（1）已知點(diǎn)A（?），B為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，①若點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”為2，寫出滿足條件的點(diǎn)B的坐標(biāo)；②直接寫出點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”的最小值；
（2）如圖2，已知C是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D的坐標(biāo)是（0，1），求點(diǎn)C與點(diǎn)D的“非常距離”最小時(shí)，相應(yīng)的點(diǎn)C的坐標(biāo)．
考點(diǎn)： 一次函數(shù)綜合題．
分析： （1）①根據(jù)點(diǎn)B位于y軸上，可以設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，y）．由“非常距離”的定義可以確定|0?y|=2，據(jù)此可以求得y的值；
②設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，y），根據(jù)|??0|≥|0?y|，得出點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”最小值為|??0|，即可得出答案；
（2）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x0，x0+3）．根據(jù)材料“若|x1?x2|≥|y1?y2|，則點(diǎn)P1與點(diǎn)P2的“非常距離”為|x1?x2|”知，C、D兩點(diǎn)的“非常距離”的最小值為?x0=x0+2，據(jù)此可以求得點(diǎn)C的坐標(biāo)；
解答： 解：（1）①∵B為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
∴設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，y）．
∵|??0|=≠2，
∴|0?y|=2，
解得，y=2或y=?2；
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，2）或（0，?2）；
②設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，y）．
∵|??0|≥|0?y|，
∴點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”最小值為|??0|=；
（2）如圖2，取點(diǎn)C與點(diǎn)D的“非常距離”的最小值時(shí)，需要根據(jù)運(yùn)算定義“若|x1?x2|≥|y1?y2|，
則點(diǎn)P1與點(diǎn)P2的“非常距離”為|x1?x2|”解答，此時(shí)|x1?x2|=|y1?y2|．
即AC=AD，
∵C是直線y=x+3上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D的坐標(biāo)是（0，1），
∴設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x0，x0+3），
∴?x0=x0+2，
此時(shí)，x0=?，
∴點(diǎn)C與點(diǎn)D的“非常距離”的最小值為：|x0|=，
此時(shí)C（?，）．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了一次函數(shù)綜合題．對(duì)于信息給予題，一定要弄清楚題干中的已知條件．本題中的“非常距離”的定義是正確解題的關(guān)鍵．
五．解答題（本大題共2個(gè)小題，25題12分，26題12分，共24分）解答時(shí)每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟．
25．如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是對(duì)角線AC上任意一點(diǎn)，F(xiàn)是線段BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CF=AE，連接BE、EF．
（1）如圖1，當(dāng)E是線段AC的中點(diǎn)，且AB=2時(shí)，求△ABC的面積；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E不是線段AC的中點(diǎn)時(shí)，求證：BE=EF；
（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)E是線段AC延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)時(shí)，（2）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．
考點(diǎn)： 四邊形綜合題．
分析： （1）根據(jù)菱形的性質(zhì)證明△ABC是等邊三角形和AB=2，求出△ABC的面積；
（2）作EG∥BC交AB于G，證明△BGE≌△ECF，得到BE=EF；
（3）作EH∥BC交AB的延長(zhǎng)線于H，證明△BHE≌△ECF，得到BE=EF．
解答： 解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，又E是線段AC的中點(diǎn)，
∴BE⊥AC，AE=AB=1，
∴BE=，
∴△ABC的面積=×AC×BE=；
（2）如圖2，作EG∥BC交AB于G，
∵△ABC是等邊三角形，
∴△AGE是等邊三角形，
∴BG=CE，
∵EG∥BC，∠ABC=60°，
∴∠BGE=120°，
∵∠ACB=60°，
∴∠ECF=120°，
∴∠BGE=∠ECF，
在△BGE和△ECF中，
，
∴△BGE≌△ECF，
∴EB=EF；
（3）成立，
如圖3，作EH∥BC交AB的延長(zhǎng)線于H，
∵△ABC是等邊三角形，
∴△AHE是等邊三角形，
∴BH=CE，
在△BHE和△ECF中，
，
∴△BHE≌△ECF，
∴EB=EF．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查的是菱形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線、靈活運(yùn)用相關(guān)的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
26．如圖，已知點(diǎn)A是直線y=2x+1與反比例函數(shù)y=（x＞0）圖象的交點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1．
（1）求k的值；
（2）如圖1，雙曲線y=（x＞0）上一點(diǎn)M，若S△AOM=4，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）如圖2所示，若已知反比例函數(shù)y=（x＞0）圖象上一點(diǎn)B（3，1），點(diǎn)P是直線y=x上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是反比例函數(shù)y=（x＞0）圖象上另一點(diǎn)，是否存在以P、A、B、Q為頂點(diǎn)的平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
考點(diǎn)： 反比例函數(shù)綜合題．
分析： （1）點(diǎn)A是直線y=2x+1的點(diǎn)，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，代入y=2×1+1=3，求得點(diǎn)A即可得到結(jié)果；
（2）如圖1，設(shè)點(diǎn)M（m，），過A作AE⊥x軸于E，過M作MF⊥x軸于F，根據(jù)題意得：S△AOM=S梯形AEFM=（3+）（m?1）=4，解方程即可得到結(jié)果；
（3）首先求得反比例函數(shù)的解析式，然后設(shè)P（m，m），分若PQ為平行四邊形的邊和若PQ為平行四邊形的對(duì)角線兩種情況分類討論即可確定點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
解答： 解：（1）∵點(diǎn)A是直線y=2x+1的點(diǎn)，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，
∴y=2×1+1=3，
∴A（1，3），
∵點(diǎn)A是反比例函數(shù)y=（x＞0）圖象上的點(diǎn)，
∴k=3；
（2）如圖1，設(shè)點(diǎn)M（m，），過A作AE⊥x軸于E，過M作MF⊥x軸于F，
根據(jù)題意得：S△AOM=S梯形AEFM=（3+）（m?1）=4，
解得：m=3（負(fù)值舍去），
∴M（3，1）；
（3）∵反比例函數(shù)y=（x＞0）圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，3），
∴k=1×3=3，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=，
∵點(diǎn)P在直線y=x上，
∴設(shè)P（m，m）
，若PQ為平行四邊形的邊，
∵點(diǎn)A的橫坐標(biāo)比點(diǎn)B的橫坐標(biāo)小2，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)比點(diǎn)B的縱坐標(biāo)大2，
∴點(diǎn)Q在點(diǎn)P的下方，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m+2，m?2）如圖2，
若點(diǎn)Q在點(diǎn)P的上方，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m?2，m+2）如圖3，
把Q（m+2，m?2）代入反比例函數(shù)的解析式得：m=±，
∵m＞0，
∴m=，
∴Q1（+2，?2），
同理可得另一點(diǎn)Q2（?2，+2）；
②若PQ為平行四邊形的對(duì)角線，如圖4，
∵A、B關(guān)于y=x對(duì)稱，
∴OP⊥AB
此時(shí)點(diǎn)Q在直線y=x上，且為直線y=x與雙曲線y=的交點(diǎn)，
由
解得，（舍去）
∴Q3（，）
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)Q有三個(gè)，坐標(biāo)分別為：Q1（+2，?2），Q2（?2，+2），Q3（，）．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，平行四邊形的判定和性質(zhì)，準(zhǔn)確的畫出圖形是解題的關(guān)鍵．
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