本文以兩道含有45º角的中考試題為載體，分析這類問題的共同特點和解法，供同學們參考.
一、試題呈現(xiàn)
題1 (2018年麗水中考題)如圖1，在平面直角坐標系 中， 直線 分別交 軸， 軸于 、 兩點，已知點 .
(l)略;
(2)設(shè) 為線段 的中點，連結(jié) ， 若 ，則 的值是 .
題2 (2 017年金華中考題)如圖2，已知點 和點 ，點 在反比例函數(shù) 的圖象上.作射線 ，再將射線 繞點 按照逆時針方向旋轉(zhuǎn)45º，交反比例函數(shù)的圖象于點 ，則點 的坐標是 .
上面的兩道中考填空題，雖然形式上不太一樣，但是有著一個共同的特點，都存在一個45º的特殊角.因此，如何利用45º角成為了解題的突破口，45º角的兩邊與 軸的交點都形成了一個類似的三角形，因此這兩道 題有著如下的共同 解法.
二 、共同解法展示
1.構(gòu)造“一線三等角”，利用相似三角形
麗水題解法1 如圖3，在 軸截取 ，此時 ，可以證得
， .
進而得到方程 ，
解得 .
金華題解法1 如圖4，過點 作等腰直角 ，作 ，連結(jié) ，易得
， .
設(shè) ，
可以證得 ，
得 ，
∴ ，
解得 ，
∴ .
求出 的解析式為 ,
再與 聯(lián)列方程，得到 點坐標為 .
分析 “一線三等角”是一種常見的建立三角形相似的方法.該模型在這兩小題的應(yīng)用中看上去有些異常，一個只有兩等角，另一個根本不存在等角，所以我們利用45º的角去構(gòu)造等腰直角三角形，形成“一線三等角”的基本模型，再利用相似三角形的基本 性質(zhì)列出方程.
2.構(gòu)造“三垂型”模型，利用全等三角形
麗水題解法2 如圖5，過點 作 ，交 于點 ，再作 軸，易得
，
∴ ， ，
.
∵ ，
∴ ，
列出方程 ，
解得 .
金華題解法2 如圖6，過點 作 ，構(gòu)造如圖所示的輔助線，易得
.
設(shè) 的坐標為 ，
可得 ， .
因為點 在直線 上，可以求得點 的坐標為 ，
進而求得 ， .
∵ ，
∴ ，列出方程2:
，
解得 ( 舍去).
所以點 的坐標為 .
分析 “三垂型”模型是一個基本圖形.該模型不僅可以找到全等的三角形，也可以用來證明勾股 定理.看到45º角可以構(gòu)造等腰直角三角形，進而形成“三垂型”模型.
3.構(gòu)造“角平分線”，運用內(nèi)角平分線的性質(zhì)
預(yù)備知識:如圖7， 是 的角平分線，則有 (證略).
麗水題解法3 如圖8，過點 作 .
∵ ，所以 為 的角平分線，
∴ ’
∵ ，并且求出 的坐標 ，
可得 ，
解得 .
金華題解法3 如圖9，方法同上.
分析 由于45º是90 º的一半，構(gòu)造了角平分線，恰好可以利用三角形內(nèi)角平分線的基本性質(zhì)，45º這一條件，讓人產(chǎn)生了很多遐想，補全直角也是一種常見的手段.
4.構(gòu)造“正方 形”，借用正方形旋轉(zhuǎn)
預(yù)備知識:如圖10，正方形 ，點 、 分別在 和 上，且 ，求證: .(證略)
麗水題解法4 如圖11，過點 構(gòu)造正方形 .
， ，
根據(jù)預(yù)備知識得到
.
又∵ ，在 中有
，
解得 .
金華題解法4 如圖12 ，∵ ，
∴ ， .
設(shè)點 為 ，
則 ， .
利用預(yù)備知識，
可得 .
在直角 中，
，
解得 ，得 到 .
分析 “半角模型”也是一種常見的基本圖形，這類問題一般利用旋轉(zhuǎn)完成，可以得到全等三角形， 進而得到線段之間的關(guān)系.
5.構(gòu)造 “三角形的高”，回到勻股定理
麗水題解法5 如圖13，作 ，可知 為等腰直角三角 形.
由 ，
，
易得 ，
.
在 中，利用勾股定理，得
，
解得 .
金華題解法5 如圖14，作 (后面計算可得 和 重合).
設(shè) ，則 ， ， .
又∵ ，
得到 ，
∴ ，
∴ .
分析遇到直角問題，有時要回歸到勾股定理，利用勾股定理能夠列出方程.尤其在折疊問題中，我們經(jīng)常會利用勾股定理構(gòu)造方程.本題中依靠 構(gòu)造等腰直角三角形，同時得到 ，一箭雙雕.
6.構(gòu)造“四點共圓”，運用兩點間的距離公式
麗水題解法6 如圖15，以 為直角 邊構(gòu)造等腰直角 .
∵ ，
所以 、 、 、 四點共圓，且以 為直徑， 為圓心.
∵ ， ， ，
根據(jù) ，可得
，
解得 .
金華題解法6如圖 16，方法同上.
分析“四點共圓”是一種常見的基本圖形，它可以運用同弧所對的圓周角相等，半徑相等直徑所對的圓周角是直角等一系列知識點，靈活多變.
三、解題后的反思
1.明確解題方向，確定解題途徑
這兩道中考題都是以函數(shù)為載體的幾何問題，以上的解法都充分利用了數(shù)形結(jié)合，把題中的“形”轉(zhuǎn)化為運算，達到“化形為數(shù) ”的目的，這是解決問題的關(guān)鍵所在，也是基本思
路，有了這些基本思路就有了解決問題的方向在解決函數(shù)中的幾何問題時，一定要充分利用幾何的基本性質(zhì)，抓住問題表象中的隱含條件，利用幾何性質(zhì)的同時結(jié)合平面直角坐標系的有關(guān)計算，達到幾 何與代數(shù)的完美結(jié)合.上述解法中的勾股定理和三角形的相似與全等，等腰直角三角形的性質(zhì)的運用，既在意料之外，又在情理之中，順其自然，水到渠成.
2.抓住問題本質(zhì)，學會異中求同
以上兩道題目看似不同，卻有著共同的本質(zhì)， 可以稱得上是多題一解.數(shù)學問題千變?nèi)f化，僅僅依靠題海戰(zhàn)術(shù)是很難抓住數(shù)學的本質(zhì)，盲目地做題還不如靜下心來去思考.我們應(yīng)該由表及里，發(fā)現(xiàn)題與題之間的內(nèi)在聯(lián)系，抓住問題的本質(zhì)達到有效的解題.一題多解能拓展思維 的廣度 ，多題一解更能挖掘思維的深度，因此，我們在數(shù)學解題教學中，要兩者兼顧，做到收放自如.
3.活用解題模型，呈現(xiàn)多樣解法
基本圖形是解決綜合性幾何問題的一個很好的突破口，從復雜的圖形中抽出簡單的圖形，利用基本圖形的性質(zhì)往往可以化難為易，順利得解.我們要通過解題教學，達到“學會思考”這一核心的教學理念，注重解題的方法 ，加強知識之間的遷移，從而提高解題能力.
本文來自：逍遙右腦記憶 http://yy-art.cn/chusan/1111818.html
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