四川省遂寧市2013年中考數(shù)學試卷
一、：本大題共10個小題，每小題4分，共40分，在每個小題給出的四個選項中，只有一個符合題目要求
1．（4分）（2013•遂寧）?3的相反數(shù)是（ �。�
A．3B．?3C．±3D．
考點：相反數(shù)．
分析：根據(jù)相反數(shù)的概念解答即可．
解答：解：?3的相反數(shù)是?（?3）=3．
故選A．
點評：本題考查了相反數(shù)的意義，一個數(shù)的相反數(shù)就是在這個數(shù)前面添上“?”號；一個正數(shù)的相反數(shù)是負數(shù)，一個負 數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，0的相反數(shù)是0．
2．（4分）（2013•遂寧）下列計算錯誤的是（ �。�
A．??2=?2B．（a2）3=a5C．2x2+3x2=5x2D．
考點：冪的乘方與積的乘方；絕對值；算術平方根；合并同類項．
專題：．
分析：A、利用絕對值的代數(shù)意義計算得到結(jié)果，即可做出判斷；
B、利用冪的乘方運算法則計算得到結(jié)果，即可做出判斷；
C、合并同類項得到結(jié)果，即可做出判斷；
D、化為最簡二次根式得到結(jié)果，即可做出判斷．
解答：解：A、??2=?2，本選項正確；
B、（a2）3=a6，本選項錯誤；
C、2x2+3x2=5x2，本選項正確；
D、 =2 ，本選項正確．
故選B．
點評：此題考查了冪的乘方及積的乘方，絕對值，算術平方根，以及合并同類項，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．
3．（4分）（2013•遂寧）如圖所示的是三通管的立體圖，則這個幾何體的俯視圖是（ �。�
A． B． C．
考點：簡單組合體的三視圖．
分析：俯視圖是從上往下看得到的視圖，結(jié)合選項進行判斷即可．
解答：解：所給圖形的俯視圖是A選項所給的圖形．
故選A．
點評：本題考查了簡單組合體的三視圖，解答本題的關鍵是掌握俯視圖是從上往下看得到的視圖．
4．（4分）（2013•遂寧）以下問題，不適合用全面調(diào)查的是（ ）
A．了解全班同學每周體育鍛煉的時間B．旅客上飛機前的安檢
C．學校招聘教師，對應聘人員面試D．了解全市中小學生每天的零花錢
考點：全面調(diào)查與抽樣調(diào)查．
分析：由普查得到的調(diào)查結(jié)果比較準確，但所費人力、物力和時間較多，而抽樣調(diào)查得到的調(diào)查結(jié)果比較近似．
解答：解：A、了解全班同學每周體育鍛煉的時間，數(shù)量不大，宜用全面調(diào)查，故本選項錯誤；
B、旅客上飛機前的安檢，意義重大，宜用全面調(diào)查，故本選項錯誤；
C、學校招聘教師，對應聘人員面試必須全面調(diào)查，故本選項錯誤；
D、了解全市中小學生每天的零花錢，工作量大，且普查的意義不大，不適合全面調(diào)查，故本選項正確．
故選D．
點評：本題考查了抽樣調(diào)查和全面調(diào)查的區(qū)別，選擇普查還是抽樣調(diào)查要根據(jù)所要考查的對象的特征靈活選用，一般來說，對于具有破壞性的調(diào)查、無法進行普查、普查的意義或價值不大時，應選擇抽樣調(diào)查，對于精確度要求高的調(diào)查，事關重大的調(diào)查往往選用普查．
5．（4分）（2013•遂寧）已知反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過點（2，?2），則k的值為（ ）
A．4B．?C．?4D．?2
考點：反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征．
分析：把點（2，?2）代入已知函數(shù)解析式，通過方程 即可求得k的值．
解答：解：∵反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過點（2，?2），
∴k=xy=2×（?2）=?4．
故選C．
點評：本題主要考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，所有在反比例函數(shù)上的點的橫縱坐標的積應等于比例系數(shù)．
6．（4分）（2013•遂寧）下列圖案由正多邊形拼成，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ �。�
A． B． C． D．
考點：中心對稱圖形；軸對稱圖形．
分析：根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念結(jié)合各圖形的特點求解．
解答：解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；
B、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，符合題意；
C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；
D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意．
故選B．
點評：本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．判斷軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合；判斷中心對稱圖形是要尋找對稱中心，圖形旋轉(zhuǎn)180度后與原圖形重合．
7．（4分）（2013•遂寧）將點A（3，2）沿x軸向左平移4個單位長度得到點A′，點A′關于y軸對稱的點的坐標是（ ）
A．（?3，2）B．（?1，2）C．（1，2）D．（1，?2）
考點：坐標與圖形變化-平移；關于x軸、y軸對稱的點的坐標．
分析：先利用平移中點的變化規(guī)律求出點A′的坐標，再根據(jù)關于y軸對稱的點的坐標特征即可求解．
解答：解：∵將點A（3，2）沿x軸向左平移4個單位長度得到點A′，
∴點A′的坐標為（?1，2），
∴點A′關于y軸對稱的點的坐標是（1，2）．
故選C．
點評：本題考查坐標與圖形變化?平移及對稱的性質(zhì)；用到的知識點為：兩點關于y軸對稱，縱坐標不變，橫坐標互為相反數(shù)；左右平移只改變點 的橫坐標，右加左減．
8．（4分）（2013•遂寧）用半徑為3c，圓心角是120°的扇形圍成一個圓錐的側(cè)面，則這個圓錐的底面半徑為（ �。�
A．2πcB．1.5cC．πcD．1c
考點：圓錐的計算．
分析：把的扇形的弧長等于圓錐底面周長作為相等關系，列方程求解．
解答：解：設此圓錐的底面半徑為r，
根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖扇形的弧長等于圓錐底面周長可得，
2πr= ，
解得：r=1c．
故選D．
點評：主要考查了圓錐側(cè)面展開扇形與底面圓之間的關系，圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，此扇形的弧長等于圓錐底面周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．
9．（4分）一個不透明的口袋里有4張形狀完全相同的卡片，分別寫有數(shù)字1，2，3，4，口袋外有兩張卡片，分別寫有數(shù)字2，3，現(xiàn)隨機從口袋里取出一張卡片，求這張卡片與口袋外的兩張卡片上的數(shù)能構成三角形的概率是（ �。�
A．B．C．D．1
考點：列表法與樹狀圖法；三角形三邊關系．
分析：先通過列表展示所有4種等可能的結(jié)果數(shù)，利用三角形三邊的關系得到其中三個數(shù)能構成三角形的有2，2，3；3，2，3，2；4，2，3共三種可能，然后根據(jù)概率的定義計算即可．
解答：解：列表如下：
共有4種等可能的結(jié)果數(shù)，其中三個數(shù)能構成三角形的有2，2，3；3，2，3，2；4，2，3．
所以這張卡片與口袋外的兩張卡片上的數(shù)能構成三角形的概率=．
故選C．
點評：本題考查了列表法與樹狀圖法：先通過列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果數(shù)n，再找出其中某事件所占有的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率的定義計算這個事件的概率=．也考查了三角形三邊的關系．
10．（4分）（2013•遂寧）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A為圓心，任意長為半徑畫弧分別交AB、AC于點和N，再分別以、N為圓心，大于N的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，連結(jié)AP并延長交BC于點D，則下列說法中正確的個數(shù)是（ �。�
①AD是∠BAC的平分線；②∠ADC=60°；③點D在AB的中垂線上；④S△DAC：S△ABC=1：3．
A．1B．2C．3D．4
考點：角平分線的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；作圖—基本作圖．
分析：①根據(jù)作圖的過程可以判定AD是∠BAC的角平分線；
②利用角平分線的定義可以推知∠CAD=30°，則由直角三角形的性質(zhì)來求∠ADC的度數(shù)；
③利用等角對等邊可以證得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性質(zhì)可以證明點D在AB的中垂線上；
④利用30度角所對的直角邊是斜邊的一半、三角形的面積計算公式來求兩個三角形的面積之比．
解答：解：①根據(jù)作圖的過程可知，AD是∠BAC的平分線．
故①正確；
②如圖，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°．
又∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠1=∠2=∠CAB=30°，
∴∠3=90°?∠2=60°，即∠ADC=60°．
故②正確；
③∵∠1=∠B=30°，
∴AD=BD，
∴點D在AB的中垂線上．
故③正確；
④∵如圖，在直角△ACD中，∠2=30°，
∴CD=AD，
∴BC=CD+BD=AD+AD=AD，S△DAC=AC•CD=AC•AD．
∴S△ABC=AC•BC=AC•AD=AC•AD，
∴S△DAC：S△ABC=AC•AD： AC•AD=1：3．
故④正確．
綜上所述，正確的結(jié)論是：①②③④，共有4個．
故選D．
點評：本題考查了角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)以及作圖?基本作圖．解題時，需要熟悉等腰三角形的判定與性質(zhì)．
二、題：本大題共5個小題，每小題共4分，共20分，把答案填在題中的橫線上．
11．（4分）（2013•遂寧）我國南海海域的面積約為3600000k2，該面積用科學記數(shù)法應表示為 3.6×106 k2．
考點：科學記數(shù)法—表示較大的數(shù)．
分析：科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤a＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值＞1時，n是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，n是負數(shù)．
解答：解：將3600000用科學記數(shù)法表示為3.6×106．
故答案為3.6×106．
點評：此題考查科學記數(shù)法的表示方法．科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤a＜10，n為整數(shù)，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．
12．（4分）（2013•遂寧）如圖，有一塊含有60°角的直角三角板的兩個頂點放在矩形的對邊上．如果∠1=18°，那么∠2的度數(shù)是 12°�。�
考點：平行線的性質(zhì)．
專題：．
分析：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠1+∠3=30°，則∠3=30°?18°=12°，由于AB∥CD，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到∠2=∠3=12°．
解答：解：如圖，
∵∠1+∠3=90°?60°=30°，
而∠1=18°，
∴∠3=30°?18°=12°，
∵AB∥CD，
∴∠2=∠3=12°．
故答案為12°．
點評：本題考查了平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯角相等．也考查了三角形內(nèi)角和定理．
13．（4分）（2007•黃石）若一個多邊形內(nèi)角和等于1260°，則該多邊形邊數(shù)是 9�。�
考點：多邊形內(nèi)角與外角．
專題：計算題．
分析：根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理及其公式，即可解答；
解答：解：∵一個多邊形內(nèi)角和等于1260°，
∴（n?2）×180°=1260°，
解得，n=9．
故答案為9．
點評：本題考查了多邊形的內(nèi)角定理及其公式，關鍵是記住多邊形內(nèi)角和的計算公式．
14．（4分）（2013•遂寧）如圖，△ABC的三個頂點都在5×5的網(wǎng)格（每個小正方形的邊長均為1個單位長度）的格點上，將△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)到△A′BC′的位置，且點A′、C′仍落在格點上，則圖中陰影部分的面積約是 7.2 ．（π≈3.14，結(jié)果精確到0.1）
考點：扇形面積的計算；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．
分析：扇形BAB'的面積減去△BB'C'的面積即可得出陰影部分的面積．
解答：解：由題意可得，AB=BB'= = ，∠ABB'=90°，
S扇形BAB'= = ，S△BB'C'=BC'×B'C'=3，
則S陰影=S扇形BAB'?S△BB'C'= ?3≈7.2．
故答案為：7.2．
點評：本題考查了扇形的面積計算，解答本題的關鍵是求出扇形的半徑，及陰影部分面積的表達式．
15．（4分）（2013•遂寧）為慶�！傲�•一”兒童節(jié)，某幼兒園舉行用火柴棒擺“金魚”比賽．如圖所示：按照上面的規(guī)律，擺第（n）圖，需用火柴棒的根數(shù)為 6n+2�。�
考點：規(guī)律型：圖形的變化類．
專題：規(guī)律型．
分析：觀察不難發(fā)現(xiàn)，后一個圖形比前一個圖形多6根火柴棒，然后根據(jù)此規(guī)律寫出第n個圖形的火柴棒的根數(shù)即可．
解答：解：第1個圖形有8根火柴棒，
第2個圖形有14根火柴棒，
第3個圖形有20根火柴棒，
…，
第n個圖形有6n+2根火柴棒．
故答案為：6n+2．
點評：本題是對圖形變化規(guī)律的考查，查出前三個圖形的火柴棒的根數(shù)，并觀察出后一個圖形比前一個圖形多6根火柴棒是解題的關鍵．
三、（本大題共3小題，每小題7分，共21分）
16．（7分）（2013•遂寧）計算：?3+ ．
考點：實數(shù)的運算；零指數(shù)冪；特殊角的三角函數(shù)值．
專題：計算題．
分析：本題涉及零指數(shù)冪、絕對值、特殊角的三角函數(shù)值、立方根等考點．針對每個考點分別進行計算，然后根據(jù)實數(shù)的運算法則求得計算結(jié)果．
解答：解：原式=3+ × ?2?1
=3+1?2?1
=1．
點評：本題考查實數(shù)的綜合運算能力，是各地中考題中常見的計算題型．解決此類題目的關鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握零指數(shù)冪、絕對值、特殊角的三角函數(shù)值、立方根等考點的運算．
17．（7分）（2013•遂寧）先化簡，再求值： ，其中a= ．
考點：分式的化簡求值．
分析：先根據(jù)分式混合運算的法則把原式進行化簡，再把a的值代入進行計算即可．
解答：解：原式= + •
= +
= ，
當a=1+ 時，原式= = = ．
點評：本題考查的是分式的化簡求值，在解答此類題目時要注意通分及約分的靈活應用．
18．（7分）（2013•遂寧）解不等式組： 并把它的解集在數(shù)軸上表示出來．
考點：解一元一次不等式組；在數(shù)軸上表示不等式的解集．
專題：計算題．
分析：分別解兩個不等式得到x＜1和x≥?4，然后根據(jù)大于小的小于大的取中間確定不等式組的解集，最后用數(shù)軸表示解集．
解答：解： ，
由①得：x＞1
由②得：x≤4
所以這個不等式的解集是1＜x≤4，
用數(shù)軸表示為
．
點評：本題考查了解一元一次不等式組：求解出兩個不等式的解集，然后按照“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中間，小于小的大于大的無解”確定不等式組的解集．也考查了用數(shù)軸表示不等式的解集．
四、（本大題共3小題，每小題9分，共27分）
19．（9分）（2013• 遂寧）如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分別是E、F，并且DE=DF．求證：
（1）△ADE≌△CDF；
（2）四邊形ABCD是菱形．
考點：菱形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．
專題：證明題．
分析：（1）首先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出∠A=∠C，進而利用全等三角形的判定得出即可；
（2）根據(jù)菱形的判定得出即可．
解答：解：（1）∵DE⊥AB，DF⊥BC
∴∠AED=∠CFD=90°，
∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴∠A=∠C，
∵在△AED和△CFD中
∴△AED≌△CFD（AAS）；
（2）∵△AED≌△CFD，
∴AD=CD，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴四邊形ABCD是菱形．
點評：此題主要考查了菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定等知識，根據(jù)已知得出∠A=∠C是解題關鍵．
20．（9分）（2013•遂寧）2013年4月20日，我省雅安市蘆山縣發(fā)生了里氏7.0級強烈地震．某廠接到在規(guī)定時間內(nèi)加工1500頂帳篷支援災區(qū)人民的任務．在加工了300頂帳篷后，廠家把工作效率提高到原來的1.5倍，于是提前4天完成任務，求原來每天加工多少頂帳篷？
考點：分式方程的應用．
分析：設該廠原來每天生產(chǎn)x頂帳篷，提高效率后每天生產(chǎn)1.5x頂帳篷，根據(jù)原來的時間比實際多4天建立方程求出其解即可．
解答：解：設該廠原來每天生產(chǎn)x頂帳篷，提高效率后每天生產(chǎn)1.5x頂帳篷，據(jù)題意得：
，
解得：x=100．
經(jīng)檢驗，x=100是原分式方程的解．
答：該廠原來每天生產(chǎn)100頂帳篷．
點評：本題考查了列分式方程解實際問題的運用，分式方程的解法的運用，解答時根據(jù)生產(chǎn)過程中前后的時間關系建立方程是關鍵．
21．（9分）（2013•遂寧）釣魚島自古以來就是我國的神圣領土，為維護國家主權和海洋權利，我國海監(jiān)和漁政部門對釣魚島 海域?qū)崿F(xiàn)了常態(tài)化巡航管理．如圖，某日在我國釣魚島附近海域有兩艘自西向東航行的海監(jiān)船A、B，B船在A船的正東方向，且兩船保持20海里的距離，某一時刻兩海監(jiān)船同時測得在A的東北方向，B的北偏東15°方向有一我國漁政執(zhí)法船C，求此時船C與船B的距離是多少．（結(jié)果保留根號）
考點：解直角三角形的應用-方向角問題．
分析：首先過點B作BD⊥AC于D，由題意可知，∠BAC=45°，∠ABC=90°+15°=105°，則可求得∠ACD的度數(shù)，然后利用三角函數(shù)的知識求解即可求得答案．
解答：解：過點B作BD⊥AC于D．
由題意可知，∠BAC=45°，∠ABC=90°+15°=105°，
∴∠ACB=180°?∠BAC?∠ABC=30°，
在Rt△ABD中，BD=AB•sin∠BAD=20× =10 （海里），
在Rt△BCD中，BC= = =20 （海里）．
答：此時船C與船B的距離是20 海里．
點評：此題考查了方向角問題．此題難度適中，注意能借助于方向角構造直角三角形，并利用解直角三角形的知識求解是解此題的關鍵．
五、（本大題2個小題，每小題10分，共20分）
22．（10分）（2013•遂寧）我市某中學舉行“中國夢•校園好聲音”歌手大賽，高、初中部根據(jù)初賽成績，各選出5名選手組成初中代表隊和高中代表隊參加學校決賽．兩個隊各選出的5名選手的決賽成績?nèi)鐖D所示．
（1）根據(jù)圖示填寫下表；
（2）結(jié)合兩隊成績的平 均數(shù)和中位數(shù)，分析哪個隊的決賽成績較好；
（3）計算兩隊決賽成績的方差并判斷哪一個代表 隊選手成績較為穩(wěn)定．
平均數(shù)（分） 中位數(shù)（分） 眾數(shù)（分）
初中部
85 85
85
高中部 85
80 100
考點 ：條形統(tǒng)計圖；算術平均數(shù)；中位數(shù)；眾數(shù)．
分析：（1）根據(jù)成績表加以計算可補全統(tǒng)計表．根據(jù)平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的統(tǒng)計意義回答；
（2）根據(jù)平均數(shù)和中位數(shù)的統(tǒng)計意義分析得出即可；
（3）分別求出初中、高中部的方差即可．
解答：解：（1）填表：初中平均數(shù)為：（75+80++85+85+100）=85（分），
眾數(shù)85（分）；高中部中位數(shù)80（分）．
（2）初中部成績好些．因為兩個隊的平均數(shù)都相同，初中部的中位數(shù)高，
所以在平均數(shù)相同的情況下中位數(shù)高的初中部成績好些．
（3）∵ =（75?85 ）2+（80?85）2+（85?85）2+（85?85）2+（100?85）2=70，
=（70?85）2+（100?85）2+（100?85）2+（75?85）2+（80?85）2=160．
∴ ＜ ，因此，初中代表隊選手成績較為穩(wěn)定．
點評：此題主要考查了平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、方差的統(tǒng)計意義．找中位數(shù)要把數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，位于最中間的一個數(shù)或兩個數(shù)的平均數(shù)為中位數(shù)；眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，注意眾數(shù)可以不止一個；平均數(shù)是指在一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之和再除以數(shù)據(jù)的個數(shù)．
23．（10分）（2013•遂寧）四川省第十二屆運動會將于2014年8月18日在我市隆重開幕，根據(jù)大會組委會安排，某校接受了開幕式大型團體操表演任務．為此，學校需要采購一批演出服裝，A、B兩家制衣 公司都愿成為這批服裝的供應商．經(jīng)了解：兩家公司生產(chǎn)的這款演出服裝的質(zhì)量和單價都相同，即男裝每套120元，女裝每套100元．經(jīng)洽談協(xié)商：A公司給出的優(yōu)惠條件是，全部服裝按單價打七折，但校方需承擔2200元的運費；B公司的優(yōu)惠條件是男女裝均按每套100元打八折， 公司承擔運費．另外根據(jù)大會組委會要求，參加演出的女生人數(shù)應是男生人數(shù)的2倍少100人，如果設參加演出的男生有x人．
（1）分別寫出學校購買A、B兩公司服裝所付的總費用y1（元）和y2（元）與參演男生人數(shù)x之間的函數(shù)關系式；
（2）問：該學校購買哪家制衣公司的服裝比較合算？請說明理由．
考點：一次函數(shù)的應用．
分析：（1）根據(jù)總費用=男生的人數(shù)×男生每套的價格+女生的人數(shù)×女生每套的價格就可以分別表示出y1（元）和y2（元）與男生人數(shù)x之間的函數(shù)關系式；
（2）根據(jù)條件可以知道購買服裝的費用受x的變化而變化，分情況討論，當y1＞y2時，當y1=y2時，當y1＜y2時，求出x的范圍就可以求出結(jié)論．
解答：解：（1）總費用y1（元）和y2（元）與參演男生人數(shù)x之間的函數(shù)關系式分別是：
y1=0.7[120x+100（2x?100）]+2200=224x?4800，
y2=0.8[100（3x?100）]=240x?8000；
（2）由題意，得
當y1＞y2時，即224x?4800＞240x?8000，解得：x＜200
當y1=y2時，即224x?4800=240x?8000，解得： x=200
當y1＜y2時，即224x?4800＜240x?8000，解得：x＞200
即當參演男生少于200人時，購買B公司的服裝比較合算；
當參演男生等于200人時，購買兩家公司的服裝總費用相同，可任一家公司購買；
當參演男生多于200人時，購買A公司的服裝比較合算．
點評：本題考查了根據(jù)條件求一次函數(shù)的解析式的運用，運用不等式求設計方案的運用，解答本題時根據(jù)數(shù)量關系求出解析式是關鍵，建立不等式計算優(yōu)惠方案是難點．
六、（本大題2個小題，第24題10分，第25題12分，共22分）
24．（10分）（2013•遂寧）如圖，在⊙O中，直徑AB⊥CD，垂足為E，點在OC上，A的延長線交⊙O于點G，交過C的直線于F，∠1=∠2，連結(jié)CB與DG交于點N．
（1）求證：CF是⊙O的切線；
（2）求證：△AC∽△DCN；
（3）若點是CO的中點，⊙O的半徑為4，cos∠BOC=，求BN的長．
考點：圓的綜合題．
分析：（1）根據(jù)切線的判定定理得出∠1+∠BCO=90°，即可得出答案；
（2）利用已知得出∠3=∠2，∠4=∠D，再利用相似三角形的判定方法得出即可；
（3）根據(jù)已知得出OE的長，進而利用勾股定理得出EC，AC，BC的長，即可得出CD，利用（2）中相似三角形的性質(zhì)得出NB的長即可．
解答：（1）證明：∵△BCO中，BO=CO，
∴∠B=∠BCO，
在Rt△BCE中，∠2+∠B=90°，
又∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BCO=90°，
即∠FCO=90°，
∴CF是⊙O的切線；
（2）證明：∵AB是⊙O直徑，
∴∠ACB=∠FCO=90°，
∴∠ACB?∠BCO=∠FCO?∠BCO，
即∠3=∠1，
∴∠3=∠2，
∵∠4=∠D，
∴△AC∽△DCN；
（3）解：∵⊙O的半徑為4，即AO=CO=BO=4，
在Rt△COE中，cos∠BOC=，
∴OE=CO•cos∠BOC=4×=1，
由此可得：BE=3，AE=5，由勾股定理可得：
CE= = = ，
AC= = =2 ，
BC= = =2 ，
∵AB是⊙O直徑，AB⊥CD，
∴由垂徑定理得：CD=2CE=2 ，
∵△AC∽△DCN，
∴ = ，
∵點是CO的中點，C=AO=×4=2，
∴CN= = = ，
∴BN=BC?CN=2 ? = ．
點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及切線的判定和勾股定理的應用等知識，根據(jù)已知得出△AC∽△DCN是解題關鍵．
25．（12分）（2013•遂寧）如圖，拋物線y= x2+bx+c與x軸交于點A（2，0），交y軸于點B（0，）．直線y=kx 過點A與y軸交于點C，與拋物線的另一個交點是D．
（1）求拋物線y= x2+bx+c與直線y=kx 的解析式；
（2）設點P是直線AD上方的拋物線上一動點（不與點A、D重合），過點P作 y軸的平行線，交直線AD于點，作DE⊥y軸于點E．探究：是否存在這樣的點P，使四邊形PEC是平行四邊形？若存在請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）在（2）的條件下，作PN⊥AD于點N，設△PN的周長為l，點P的橫坐標為x，求l與x的函數(shù)關系式，并求出l的最大值．
考點：二次函數(shù)綜合題．
分析：（1）將A，B兩點分別代入y= x2+bx+c進而求出解析式即可；
（2）首先假設出P，點的坐標，進而得出P的長，將兩函數(shù)聯(lián)立得出D點坐標，進而得出CE的長，利 用平行四邊形的性質(zhì)得出P=CE，得出等式方程求出即可；
（3）利用勾股定理得出DC的長，進而根據(jù)△PN∽△CDE，得出兩三角形周長之比，求出l與x的函數(shù)關系，再利用配方法求出二次函數(shù)最值即可．
解答：解：（1）∵y= x2+bx+c經(jīng)過點A（2，0）和B（0，）
∴由此得 ，
解得 ．
∴拋物線的解析式是y= x2?x+，
∵直線y=kx?經(jīng)過點A（2，0）
∴2k?=0，
解得：k=，
∴直線的解析式是 y=x?，
（2）設P的坐標是（x， x2?x+），則的坐標是（x， x?）
∴P=（ x2?x+）?（x?）=?x2?x+4，
解方程 得： ， ，
∵點D在第三象限，則點D的坐標是（?8，?7），由y=x?得點C的坐標是（0，?），
∴CE=??（?7）=6，
由于P∥y軸，要使四邊形PEC是平行四邊形，必有P=CE，即?x2?x+=6
解這個方程得：x1=?2，x2=?4，
符合?8＜x＜2，
當x=?2時，y=?×（?2）2?×（?2）+=3，
當x=?4時，y=?×（?4）2?×（?4）+=，
因此，直線AD上方的拋物線上存在這樣的點P，使四邊形PEC是平行四邊形，點P的坐標是（?2，3）和（?4，）；
（3）在Rt△CDE中，DE=8，CE=6 由勾股定理得：DC=
∴△CDE的周長是24，
∵P∥y軸，
∵∠PN=∠DCE，
∵∠PN=∠DEC，
∴△PN∽△CDE，
∴ = ，即 = ，
化簡整理得：l與x的函數(shù)關系式是：l=?x2? x+ ，
l=?x2? x+ =?（x+3）2+15，
∵?＜0，
∴l(xiāng)有最大值，
當x=?3時，l的最大值是15．
點評 ：此題主要考查了二次函數(shù)的最值求法以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和函數(shù)交點求法以及平行四邊形的性質(zhì)等知識，利用數(shù)形結(jié)合得出P=CE進而 得出等式是解題關鍵．
本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/chusan/215360.html
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