【—直角三角形射影定理】所謂射影，就是正投影。因此直角三角形射影定理也就是高的投影。

　　直角三角形射影定理

　　直角三角形射影定理(又叫歐幾里德(Euclid)定理)：直角三角形中，斜邊上的高的平方是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項。每一條直角邊的平方是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項。

　　公式: 如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜邊AC上的高，則有射影定理如下：

　　(1)(BD)²=AD·DC， (2)(AB)²=AD·AC ， (3)(BC)²=CD·CA 。

　　等積式 (4)AB×BC=AC×BD(可用“面積法”來證明) (5)(AB)²/(BC)²=

　　AD/CD

　　直角三角形?射影定理的證明

　　射影定理簡圖(幾何畫板)：(主要是從三角形的相似比推算來的)　一、

　　在△BAD與△BCD中，∵∠ABD+∠CBD=90°，且∠CBD+∠C=90°，

　　∴∠ABD=∠C，

　　又∵∠BDA=∠BDC=90°

　　∴△BAD∽△CBD

　　∴ AD/BD=BD/CD

　　即BD^2=AD·DC。其余同理可得可證

　　注：由上述射影定理還可以證明勾股定理。

　　有射影定理如下：

　　AB^2=AD·AC，BC^2=CD·CA

　　兩式相加得：

　　AB^2+BC^2=AD·AC+CD·AC =(AD+CD)·AC=AC^2 .

　　即勾股定理。 注： AB^2的意思是AB的2次方

　　二、

　　已知:三角形中角A=90度,AD是高.

　　用勾股證射影

　　∵AD^2=AB^2-BD^2=AC^2-CD^2,

　　∴2AD^2=AB^2+AC^2-BD^2-CD^2=BC^2-BD^2-CD^2=(BC+BD)(BC-BD)-CD^2=(BC+BD)CD-CD^2=(BC+BD-CD)CD=2BD×CD.

　　故AD^2=BD×CD.

　　運用此結(jié)論可得:AB^2=BD^2+AD^2=BD^2+BD×CD=BD×(BD+CD) =BD×BC, AC^2=CD^2+AD^2=CD^2+BD×CD=CD(BD+CD)=CD×CB.

　　綜上所述得到射影定理。同樣也可以利用三角形面積知識進行證明。

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