2013年全國(guó)各地高考文科數(shù)學(xué)試題分類匯編14：導(dǎo)數(shù)
一、
1 ．（2013年高考課標(biāo)Ⅱ卷（文））已知函數(shù) ,下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ �。�
A． R, B.函數(shù) 的圖像是中心對(duì)稱圖形
C．若 是 的極小值點(diǎn),則 在區(qū)間 上單調(diào)遞減
D．若 是 的極值點(diǎn),則
【答案】C
2 ．（2013年高考大綱卷（文））已知曲線 （ �。�
A． B． C． D．
【答案】D
3 ．（2013年高考湖北卷（文））已知函數(shù) 有兩個(gè)極值點(diǎn),則實(shí)數(shù) 的取值范圍是（ �。�
A． B． C． D．
【答案】B
4 ．（2013年高考福建卷（文））設(shè)函數(shù) 的定義域?yàn)?, 是 的極 大值點(diǎn),以下結(jié)論一定正確的是（ ）
A． B． 是 的極小值點(diǎn)
C． 是 的極小值點(diǎn)D． 是 的極小值點(diǎn)
【答案】D
5 ．（2013年高考安徽（文） ）已知函數(shù) 有兩個(gè)極值點(diǎn) ,若 ,則關(guān)于 的方程 的不同實(shí)根個(gè)數(shù)為（ �。�
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
6 ．（2013年高考浙江卷（文））已知函數(shù)y=f(x)的圖像是下列四個(gè)圖像之一,且其導(dǎo)函數(shù)y=f’(x)的圖像如右圖所示,則該函數(shù)的圖像是
【答案】B
二、題
7 ．（2013年高考廣東卷（文））若曲線 在點(diǎn) 處的切線平行于 軸,則 ____________.
【答案】
8 ．（2013年高考江西卷（文））若曲線 (α∈R)在點(diǎn)(1,2)處的切線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),則α=_________.
【答案】2
三、解答題
9 ．（2013年高考浙江卷（文））已知a∈R,函數(shù)f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax
(Ⅰ)若a=1,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程;
(Ⅱ)若a>1,求f(x)在閉區(qū)間[0,2a]上的最小值.
【答案】解:(Ⅰ)當(dāng) 時(shí), ,所以 ,所以 在 處的切線方程是: ;
(Ⅱ)因?yàn)?
①當(dāng) 時(shí), 時(shí), 遞增, 時(shí), 遞減,所以當(dāng)
時(shí),且 , 時(shí), 遞增, 時(shí), 遞減,所以最小值是 ;
②當(dāng) 時(shí),且 ,在 時(shí), 時(shí), 遞減, 時(shí), 遞增,所以最小值是 ;
綜上所述:當(dāng) 時(shí),函數(shù) 最小值是 ;當(dāng) 時(shí),函數(shù) 最 小值是 ;
10．（2013年高考重慶卷（文））(本小題滿分12分,(Ⅰ)小問(wèn)5分,(Ⅱ)小問(wèn)7分)
某村莊擬修建一個(gè)無(wú)蓋的圓柱形蓄水池(不計(jì)厚度).設(shè)該蓄水池的底面半徑為 米,高為 米,體積為 立方米.假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān),側(cè)面積的建造成本為100元/平方米,底面的建造成本為160元/平方米,該蓄水池的總建造成本為12000 元( 為圓周率).
(Ⅰ)將 表示成 的函數(shù) ,并求該函數(shù)的定義域;z
(Ⅱ)討論函數(shù) 的單調(diào)性,并確定 和 為何值時(shí)該蓄水池的體積最大.z
【答案】
11．（2013 年高考陜西卷（文））已知函數(shù) .
(Ⅰ) 求f(x)的反函數(shù)的圖象上圖象上點(diǎn)(1,0)處的切線方程;
(Ⅱ) 證明: 曲線y = f (x) 與曲線 有唯一公共點(diǎn).
(Ⅲ) 設(shè)a<b, 比較 與 的大小, 并說(shuō)明理由.
【答案】解:(Ⅰ) f (x)的反函數(shù) ,則y=g(x)過(guò)點(diǎn)(1,0)的切線斜率k= .
.過(guò)點(diǎn)(1,0)的切線方程為:y = x+ 1
(Ⅱ) 證明曲線y=f(x)與曲線 有唯一公共點(diǎn),過(guò)程如下.
因此,
所以,曲線y=f(x)與曲線 只有唯一公共點(diǎn)(0,1).(證畢)
(Ⅲ) 設(shè)
令 .
,
且 .
,所以
12．（2013年高考大綱卷（文））已知函數(shù)
(I)求 ;
(II)若
【答案】(Ⅰ)當(dāng) 時(shí), .
令 ,得, , .
當(dāng) 時(shí), , 在 是增函數(shù);
當(dāng) 時(shí), , 在 是減函數(shù);
當(dāng) 時(shí), , 在 是增函數(shù);
(Ⅱ)由 得, .
當(dāng) , 時(shí),
,
所以 在 是增函數(shù),于是當(dāng) 時(shí), .
綜上,a的取值范圍是 .
13．（2013年高考遼寧卷（文））(I)證明:當(dāng)
(II)若不等式 取值范圍.
【答案】
14．（2013年高考四川卷（文））已知函數(shù) ,其中 是實(shí)數(shù).設(shè) , 為該函數(shù)圖象上的兩點(diǎn),且 .
(Ⅰ)指出函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若函數(shù) 的圖象在點(diǎn) 處的切線互相垂直,且 ,證明: ;
(Ⅲ)若函數(shù) 的圖象在點(diǎn) 處的切線重合,求 的取值范圍.
【答案】解:(Ⅰ)函數(shù) 的單調(diào)減區(qū)間為 ,單調(diào)增區(qū)間為 ,
(Ⅱ)由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知,點(diǎn)A處的切線斜率為 ,點(diǎn)B處的切線斜率為 ,
故當(dāng)點(diǎn) 處的切線互相垂直時(shí),有 ,
當(dāng)x<0時(shí),
因?yàn)?,所以 ,所以 , ,
因此 ,
(當(dāng)且僅當(dāng) ,即 且 時(shí)等號(hào)成立)
所以函數(shù) 的圖象在點(diǎn) 處的切線互相垂直時(shí)有 .
(Ⅲ)當(dāng) 或 時(shí), ,故 .
當(dāng) 時(shí), 的圖象在點(diǎn) 處的切線方程為
即 .
當(dāng) 時(shí), 的圖象在點(diǎn) 處的切線方程為
即 .
兩切線重合的充要條件是 ,
由①及 知, ,
由①、②得 ,
令 ,則 ,且
設(shè) ,則
所以 為減函數(shù),則 ,
所以 ,
而當(dāng) 且t趨向于0時(shí), 無(wú)限增大,
所以 的取值范圍是 .
故當(dāng)函數(shù) 的圖象在點(diǎn) 處的切線重合時(shí), 的取值范圍是 .
15．（2013年高考課標(biāo)Ⅱ卷（文））己知函數(shù)f(X) = x2e-x
(I)求f(x)的極小值和極大值;
(II)當(dāng)曲線y = f(x)的切線l的斜率為負(fù)數(shù)時(shí),求l在x軸上截距的取值范圍.
【答案】
16．（2013年高考北京卷（文））已知函數(shù) .
(Ⅰ)若曲線 在點(diǎn) )處與直線 相切,求 與 的值.
(Ⅱ)若曲線 與直線 有兩個(gè)不同的交點(diǎn),求 的取值范圍.
【答案】解:由 ,得 .
(I)因?yàn)榍� 在點(diǎn) 處與直線 相切,所以
,解得 , .
(II)令 ,得 . 與 的情況如下:
所以函數(shù) 在區(qū)間 上單調(diào)遞減,在區(qū)間 上單調(diào)遞增, 是 的最小值.
當(dāng) 時(shí),曲線 與直線 最多只有一個(gè)交點(diǎn);
當(dāng) 時(shí), > , ,
所以存在 , ,使得 .
由于函數(shù) 在區(qū)間 和 上均單調(diào),所以當(dāng) 時(shí)曲線 與直線 有且只有兩個(gè)不同 交點(diǎn).
綜上可知,如果曲線 與直線 有且只有兩個(gè)不同交點(diǎn),那么 的取值范圍是 .
17．（2013年高考課標(biāo)Ⅰ卷（文））(本小題滿分共12分)
已知函數(shù) ,曲線 在點(diǎn) 處切線方程為 .
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)討論 的單調(diào)性,并求 的極 大值.
【答案】
(II) 由(I)知,
令
從而當(dāng) <0.
故 .
當(dāng) .
18．（2013年高考天津卷（文））設(shè) , 已知函數(shù)
(Ⅰ) 證明 在區(qū)間(-1,1)內(nèi)單調(diào)遞減, 在區(qū)間(1, + ∞)內(nèi)單調(diào)遞增;
(Ⅱ) 設(shè)曲線 在點(diǎn) 處的切線相互平行, 且 證明 .
【答案】
19．（2013年高考福建卷（文））已知函數(shù) ( , 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(1)若曲線 在點(diǎn) 處的切線平行于 軸,求 的值;
(2)求函數(shù) 的極值;
(3)當(dāng) 的值時(shí),若直線 與曲線 沒(méi)有公共點(diǎn),求 的最大值.
【答案】解:(Ⅰ)由 ,得 .
又曲線 在點(diǎn) 處的切線平行于 軸,
得 ,即 ,解得 .
(Ⅱ) ,
①當(dāng) 時(shí), , 為 上的增函數(shù),所以函數(shù) 無(wú)極值.
②當(dāng) 時(shí),令 ,得 , .
, ; , .
所以 在 上單調(diào)遞減,在 上單調(diào)遞增,
故 在 處取得極小值,且極小值為 ,無(wú)極大值.
綜上,當(dāng) 時(shí),函數(shù) 無(wú)極小值;
當(dāng) , 在 處取得極小值 ,無(wú)極大值.
(Ⅲ)當(dāng) 時(shí),
令 ,
則直線 : 與曲線 沒(méi)有公共點(diǎn),
等價(jià)于方程 在 上沒(méi)有實(shí)數(shù)解.
假設(shè) ,此時(shí) , ,
又函數(shù) 的圖象連續(xù)不斷,由零點(diǎn)存在定理,可知 在 上至少有一解,與“方程 在 上沒(méi)有實(shí)數(shù)解”矛盾,故 .
又 時(shí), ,知方程 在 上沒(méi)有實(shí)數(shù)解.
所以 的最大值為 .
解法二:
(Ⅰ)(Ⅱ)同解法一.
(Ⅲ)當(dāng) 時(shí), .
直線 : 與曲線 沒(méi)有公共點(diǎn),
等價(jià)于關(guān)于 的方程 在 上沒(méi)有實(shí)數(shù)解,即關(guān)于 的方程:
(*)
在 上沒(méi)有實(shí)數(shù)解.
①當(dāng) 時(shí),方程(*)可化為 ,在 上沒(méi)有實(shí)數(shù)解.
②當(dāng) 時(shí),方程(*)化為 .
令 ,則有 .
令 ,得 ,
當(dāng) 變化時(shí), 的變化情況 如下表:
當(dāng) 時(shí), ,同時(shí)當(dāng) 趨于 時(shí), 趨于 ,
從而 的取值范圍為 .
所以當(dāng) 時(shí),方程(*)無(wú)實(shí)數(shù)解, 解得 的取值范圍是 .
綜上,得 的最大值為 .
20．（2013年高考湖南（文））已知函數(shù)f(x)= .
(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)證明:當(dāng)f(x1)=f(x2)(x1≠x2)時(shí),x1+x2<0.
【答案】解: (Ⅰ)
.
所以, .
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,只需要證明:當(dāng)x>0時(shí)f(x) < f(-x)即可.
.
21．（2013年高考廣東卷（文））設(shè)函數(shù) .
(1) 當(dāng) 時(shí),求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間;
(2) 當(dāng) 時(shí),求函數(shù) 在 上的最小值 和最大值 ,
【答案】(1)當(dāng) 時(shí)
, 在 上單調(diào)遞增.
(2)當(dāng) 時(shí), ,其開口向上,對(duì)稱軸 ,且過(guò)
(i)當(dāng) ,即 時(shí), , 在 上單調(diào)遞增,
從而當(dāng) 時(shí), 取得最小值 ,
當(dāng) 時(shí), 取得最大值 .
(ii)當(dāng) ,即 時(shí),令
解得: ,注意到 ,
(注:可用韋達(dá)定理判斷 , ,從而 ;或者由 對(duì)稱結(jié)合圖像判斷)
的最小值 ,
的最大值
綜上所述,當(dāng) 時(shí), 的最小值 ,最大值
解法2(2)當(dāng) 時(shí),對(duì) ,都有
,故
故 ,而 ,
所以 ,
(1)解法3:因?yàn)?, ;
①當(dāng) 時(shí),即 時(shí), , 在 上單調(diào)遞增,此時(shí)無(wú)最小值和最大值;
②當(dāng) 時(shí),即 時(shí),令 ,解得 或 ;令 ,解得 或 ;
令 ,解得 ;
因?yàn)?,
作 的最值表如下:
極大值 極小值
則 , ;
因?yàn)?
;
,所以 ;
因?yàn)?
;
;
所以 ;
綜上所述,所以 , .
22．（2013年高考山東卷（文））已知函數(shù)
(Ⅰ)設(shè) ,求 的單調(diào)區(qū)間
(Ⅱ) 設(shè) ,且對(duì)于任意 , .試比較 與 的大小
【答案】
當(dāng) 時(shí)函數(shù) 的單調(diào)遞減區(qū)間是
23．（2013年高考湖北卷（文））設(shè) , ,已知函數(shù) .
(Ⅰ)當(dāng) 時(shí),討論函數(shù) 的單調(diào)性;
(Ⅱ)當(dāng) 時(shí),稱 為 、 關(guān)于 的加權(quán)平均數(shù).
(i)判斷 , , 是否成等比數(shù)列,并證明 ;
(ii) 、 的幾何平均數(shù)記為G. 稱 為 、 的調(diào)和平均數(shù),記為H. 若 ,求 的取值范圍.
【答案】(Ⅰ) 的定義域?yàn)?,
.
當(dāng) 時(shí), ,函數(shù) 在 , 上單調(diào)遞增;
當(dāng) 時(shí), ,函數(shù) 在 , 上單調(diào)遞減.
(Ⅱ)(i)計(jì)算得 , , .
故 , 即
. ①
所以 成等比數(shù)列.
因 ,即 . 由①得 .
(ii)由(i)知 , .故由 ,得
. ②
當(dāng) 時(shí), .
這時(shí), 的取值范圍為 ;
當(dāng) 時(shí), ,從而 ,由 在 上單調(diào)遞增與②式,
得 ,即 的取值范圍為 ;
當(dāng) 時(shí), ,從而 ,由 在 上單調(diào)遞減與②式,
得 ,即 的取值范圍為 . 來(lái)
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