第八 直線和圓的方程
高考導(dǎo)航
考試要求 重難點(diǎn)擊命題展望
1.在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，確定直線位置的幾何要素.
2.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點(diǎn)的直線的斜率的計算公式.
3.能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直.
4.掌握確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式)，了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系.
5.掌握用解方程組的方法求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo).
6.掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會求兩條平行線間的距離.
7.掌握確定圓的幾何要素，掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.
8.能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系.
9.能用直線和圓的方程解決簡單的問題.
10.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想.
11.了解空間直角坐標(biāo)系，會用空間直角坐標(biāo)表示點(diǎn)的位置，會推導(dǎo)空間兩點(diǎn)間的距離公式. 本重點(diǎn)：1.傾斜角和斜率的概念；2.根據(jù)斜率判定兩條直線平行與垂直；3.直線的點(diǎn)斜式方程、一般式方程；4.兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)；5.點(diǎn)到直線的距離和兩條平行直線間的距離的求法；6.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程；7.能根據(jù)給定直線，圓的方程，判斷直線與圓的位置關(guān)系；8.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想和代數(shù)方法解決幾何問題.
本難點(diǎn)：1.直線的斜率與它的傾斜角之間的關(guān)系；2.根據(jù)斜率判定兩條直線的位置關(guān)系；3.直線方程的應(yīng)用；4.點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)；5.圓的方程的應(yīng)用；6.直線與圓的方程的綜合應(yīng)用. 本內(nèi)容常常與不等式、函數(shù)、向量、圓錐曲線等知識結(jié)合起考查.
直線和圓的考查，一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，屬于容易題和中檔題；如果和圓錐曲線一起考查，難度比較大.同時，對空間直角坐標(biāo)系的考查難度不大，一般為選擇題或者填空題.本知識點(diǎn)的考查側(cè)重考學(xué)生的綜合分析問題、解決問題的能力，以及函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合的能力等.
知識網(wǎng)絡(luò)
8.1 直線與方程
典例精析
題型一 直線的傾斜角
【例1】直線2xcos α－y－3＝0，α∈[π6，π3]的傾斜角的變化范圍是( )
A.[π6，π3] B.[π4，π3]
C.[π4，π2] D.[π4，2π3]
【解析】直線2xcos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α，
由于α∈[π6，π3]，所以12≤cos α≤32，k＝2cos α∈[1，3].
設(shè)直線的傾斜角為θ，則有tan θ∈[1，3]，
由于θ∈[0，π)，所以θ∈[π4，π3]，即傾斜角的變化范圍是[π4，π3]，故選B.
【點(diǎn)撥】利用斜率求傾斜角時，要注意傾斜角的范圍.
【變式訓(xùn)練1】已知(2m＋3，m)，N(m－2,1)，當(dāng)m∈ 時，直線N的傾斜角為銳角；當(dāng)m＝ 時，直線N的傾斜角為直角；當(dāng)m∈ 時，直線N的傾斜角為鈍角.
【解析】直線N的傾斜角為銳角時，k＝m－12m＋3－m＋2＝m－1m＋5＞0⇒m＜－5或m＞1；
直線N的傾斜角為直角時，2m＋3＝m－2⇒m＝－5；
直線N的傾斜角為鈍角時，k＝m－12m＋3－m＋2＝m－1m＋5＜0⇒－5＜m＜1.
題型二 直線的斜率
【例2】已知A(－1，－5)，B(3，－2)，直線l的傾斜角是直線AB的傾斜角的2倍，求直線l的斜率.
【解析】由于A(－1，－5)，B(3，－2)，所以kAB＝－2＋53＋1＝34，
設(shè)直線AB的傾斜角為θ，則tan θ＝34，
l的傾斜角為2θ，tan 2θ＝ 2tan θ1－tan2θ＝2×341－(34)2＝247.
所以直線l的斜率為247.
【點(diǎn)撥】直線的傾斜角和斜率是最重要的兩個概念，應(yīng)熟練地掌握這兩個概念，扎實(shí)地記住計算公式，傾斜角往往會和三角函數(shù)的有關(guān)知識聯(lián)系在一起.
【變式訓(xùn)練2】設(shè)α是直線l的傾斜角，且有sin α＋cos α＝15，則直線l的斜率為( )
A.34B.43C.－43 D.－34或－43
【解析】選C.sin α＋cos α＝15⇒sin αcos α＝－1225＜0⇒
sin α＝45，cos α＝－35或cos α＝45，sin α＝－35(舍去)，
故直線l的斜率k＝tan α＝sin αcos α＝－43.
題型三 直線的方程
【例3】求滿足下列條的直線方程.
(1)直線過點(diǎn)(3,2)，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等；
(2)直線過點(diǎn)(2,1)，且原點(diǎn)到直線的距離為2.
【解析】(1)當(dāng)截距為0時，直線過原點(diǎn)，直線方程是2x－3y＝0；當(dāng)截距不為0時，設(shè)方程為xa＋ya＝1，把(3,2)代入，得a＝5，直線方程為x＋y－5＝0.
故所求直線方程為2x－3y＝0或x＋y－5＝0.
(2)當(dāng)斜率不存在時，直線方程x－2＝0合題意；
當(dāng)斜率存在時，則設(shè)直線方程為y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0，所以1－2kk2＋1＝2，解得k＝－34，方程為3x＋4y－10＝0.
故所求直線方程為x－2＝0或3x＋4y－10＝0.
【點(diǎn)撥】截距可以為0，斜率也可以不存在，故均需分情況討論.
【變式訓(xùn)練3】求經(jīng)過點(diǎn)P(3，－4)，且橫、縱截距互為相反數(shù)的直線方程.
【解析】當(dāng)橫、縱截距都是0時，設(shè)直線的方程為y＝kx.
因?yàn)橹本�過點(diǎn)P(3，－4)，所以－4＝3k，得k＝－43.此時直線方程為y＝－43x.
當(dāng)橫、縱截距都不是0時，設(shè)直線的方程為xa＋y－a＝1，
因?yàn)橹本�過點(diǎn)P(3，－4)，所以a＝3＋4＝7.此時方程為x－y－7＝0.
綜上，所求直線方程為4x＋3y＝0或x－y－7＝0.
題型四 直線方程與最值問題
【例4】過點(diǎn)P(2,1)作直線l分別交x、y軸的正半軸于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)△ABO的面積最小時，求直線l的方程.
【解析】方法一：設(shè)直線方程為xa＋yb＝1(a＞0，b＞0)，
由于點(diǎn)P在直線上，所以2a＋1b＝1.
2a•1b≤(2a＋1b2)2＝14，
當(dāng)2a＝1b＝12時，即a＝4，b＝2時，1a•1b取最大值18，
即S△AOB＝12ab取最小值4，
所求的直線方程為x4＋y2＝1，即x＋2y－4＝0.
方法二：設(shè)直線方程為y－1＝k(x－2)(k＜0)，
直線與x軸的交點(diǎn)為A(2k－1k，0)，直線與y軸的交點(diǎn)為B(0，－2k＋1)，
由題意知2k－1＜0，k＜0,1－2k＞0.
S△AOB＝12(1－2k) •2k－1k＝12[(－1k)＋(－4k)＋4]≥12[2(－1k)•(－4k)＋4]＝4.
當(dāng)－1k＝－4k，即k＝－12時，S△AOB有最小值，
所求的直線方程為y－1＝－12(x－2)，即x＋2y－4＝0.
【點(diǎn)撥】求直線 方程，若已知直線過定點(diǎn)，一般考慮點(diǎn)斜式；若已知直線過兩點(diǎn)，一般考慮兩點(diǎn)式；若已知直線與兩坐標(biāo)軸相交，一般考慮截距式；若已知一條非具體的直線，一般考慮一般式.
【變式訓(xùn)練4】已知直線l：mx－(m2＋1)y＝4m(m∈R).求直線l的斜率的取值范圍.
【解析】由直線l的方程得其斜率k＝mm2＋1.
若m＝0，則k＝0；
若m＞0，則k＝1m＋1m≤12m•1m＝12，所以0＜k≤12；
若m＜0，則k＝1m＋1m＝－1－m－1m≥－12(－m)(－1m)＝－12，所以－12≤k＜0.
綜上，－12≤k≤12.
總結(jié)提高
1.求斜率一般有兩種類型：其一，已知直線上兩點(diǎn)，根據(jù)k＝y(tǒng)2－y1x2－x1求斜率；其二，已知傾斜角α或α的三角函數(shù)值，根據(jù)k＝tan α求斜率，但要注意斜率不存在時的情形.
2.求傾斜角時，要注意直線傾斜角的范圍是[0，π).
3.求直線方程時，應(yīng)根據(jù)題目條，選擇合適的直線方程形式，從而使求解過程簡單明確.設(shè)直線方程的截距式，應(yīng)注意是否漏掉過原點(diǎn)的直線；設(shè)直線方程的點(diǎn)斜式時，應(yīng)注意是否漏掉斜率不存在的直線.
8.2 兩條直線的位置關(guān)系
典例精析
題型一 兩直線的交點(diǎn)
【例1】若三條直線l1：2x＋y－3＝0，l2：3x－y＋2＝0和l3：ax＋y＝0 不能構(gòu)成三角形，求a的值.
【解析】①l3∥l1時，－a＝－2⇒a＝2；
②l3∥l2時，－a＝3⇒a＝－3；
③由 ⇒ 將(－1，－1)代入ax＋y＝0⇒a＝－1.
綜上，a＝－1或a＝2或a＝－3時，l1、l2、l3不能構(gòu)成三角形.
【點(diǎn)撥】三條直線至少有兩條平行時或三條直線相交于一點(diǎn)時不能構(gòu)成三角形.
【變式訓(xùn)練1】已知兩條直線l1：a1x＋b1y＋1＝0和l2：a2x＋b2y＋1＝0的交點(diǎn)為P(2,3)，則過A(a1，b1)，B(a2，b2)的直線方程是 .
【解析】由P(2,3)為l1和l2的交點(diǎn)得
故A(a1，b1)，B(a2，b2)的坐標(biāo)滿足方程2x＋3y＋1＝0，
即直線2x＋3y＋1＝0必過A(a1，b1)，B(a2，b2)兩點(diǎn).
題型二 兩直線位置關(guān)系的判斷
【例2】已知兩條直線l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求滿足下列條的a，b的值.
(1)l1⊥l2，且l1過點(diǎn)(－3，－1)；
(2)l1∥l2，且坐標(biāo)原點(diǎn)到兩條直線的距離相等.
【解析】(1)由已知可得l2的斜率存在，
所以k2＝1－a，若k2＝0，則1－a＝0，即a＝1.
因?yàn)閘1⊥l2，直線l1的斜率k1必不存在，即b＝0，
又l1過點(diǎn)(－3，－1)，所以－3a＋b＋4＝0，
而a＝1，b＝0代入上式不成立，所以k2≠0.
因?yàn)閗2≠0，即k1，k2都存在，
因?yàn)閗2＝1－a，k1＝ab，l1⊥l2， 所以k1k2＝－1，即ab(1－a)＝－1，
又l1過點(diǎn)(－3，－1)，所以－3a＋b＋4＝0，
聯(lián)立上述兩個方程可解得a＝2，b＝2.
(2)因?yàn)閘2的斜率存在，又l1∥l2，所以k 1＝k2，即ab＝(1－a)，
因?yàn)樽鴺?biāo)原點(diǎn)到這兩條直線的距離相等，且l1∥l2，
所以 l1，l2在y軸的截距互為相反數(shù)，即4b＝b，
聯(lián)立上述方程解得a＝2，b＝－2或a＝23，b＝2，
所以a，b的值分別為2和－2或23和2.
【點(diǎn)撥】運(yùn)用直線的斜截式y(tǒng)＝kx＋b時，要特別注意直線斜率不存在時的特殊 情況.求解兩條直線平行或垂直有關(guān)問題時，主要是利用直線平行和垂直的充要條，即“斜率相等”或“斜率互為負(fù)倒數(shù)”.
【變式訓(xùn)練2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)三角形ABC的頂點(diǎn)分別為A(0，a)，B(b,0)，C(c,0).點(diǎn)P(0，p)是線段AO上的一點(diǎn)(異于端點(diǎn))，這里a，b，c，p均為非零實(shí)數(shù)，設(shè)直線BP，CP分別與邊AC，AB交于點(diǎn)E，F(xiàn)，某同學(xué)已正確求得直線OE的方程為(1b－1c)x＋(1p－1a)y＝0，則直線OF的方程為 .
【解析】由截距式可得直線AB：xb＋ya＝1，直線CP：xc＋yp＝1，兩式相減得(1c－1b)x＋(1p－1a)y＝0，顯然直線AB與CP的交點(diǎn)F滿足此方程，又原點(diǎn)O也滿足此方程，故所求直線OF的方程為(1c－1b)x＋(1p－1a)y＝0.
題型三 點(diǎn)到直線的距離
【例3】已知△ABC中，A(1,1)，B(4,2)，C(m，m)(1＜m＜4)，當(dāng)△ABC的面積S最大時，求m的值.
【解析】因?yàn)锳(1,1)，B(4,2)，所以AB＝(4－1)2＋(2－1)2＝10，
又因?yàn)橹本�AB的方程為x－3y＋2＝0，
則點(diǎn)C(m，m)到直線AB的距離即為△ABC的高，
設(shè)高為h，則h＝m－3m＋212＋(－3)2，S＝12AB•h＝12m－3m＋2，
令m＝t，則1＜t＜2，所以S＝12m－3m＋2＝12t2－3t＋2＝12(t－32)2－14，
由圖象可知，當(dāng)t ＝32時，S有最大值18，此時m＝32，所以m＝94.
【點(diǎn)撥】運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離時，直線方程要化為一般形式.求最值可轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，用處理代數(shù)問題的方法解決.
【變式訓(xùn)練3】若動點(diǎn)P1(x1，y1)與P2(x2，y2)分別在直線l1：x－y－5＝0，l2：x－y－15＝0上移動，求P1P2的中點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離的最小值.
【解析】方法一：因?yàn)镻1、P2分別在直線l1和l2上，
所以
(①＋②)÷2，得x1＋x22－y1＋y22－10＝0，所以P1P2的中點(diǎn)P(x1＋x22，y1＋y22)在直線x－y－10＝0上，點(diǎn)P到原點(diǎn)的最小距離就是原點(diǎn)到直線x－y－10＝0的距離d＝102＝52.所以，點(diǎn)P到原點(diǎn)的最小距離為52.
方法二：設(shè)l為夾在直線l1和l2之間且和l1與l2的距離相等的直線.
令l：x－y－c＝0，則5＜c＜15，且c－52＝c－152，
解得c＝10.所以l的方程為x－y－10＝0.
由題意知，P1P2的中點(diǎn)P在直線l上，點(diǎn)P到原點(diǎn)的最小距離就是原點(diǎn)到直線l的距離d＝102＝52，所以點(diǎn)P到原點(diǎn)的最小距離為52.
總結(jié)提高
1.求解與兩直線平行或垂直有關(guān)的問題時，主要是利用兩直線平行或垂直的條，即“斜率相等”或“互為負(fù)倒數(shù)”.若出現(xiàn)斜率不存在的情況，可考慮用數(shù)形結(jié)合的方法去研究.
2.學(xué)會用分類討論、數(shù)形結(jié)合、特殊值檢驗(yàn)等基本的數(shù)學(xué)方法和思想.特別是注意數(shù)形結(jié)合思想方法，根據(jù)題意畫出圖形不僅易于找到解題思路，還可以避免漏解和增解，同時還可以充分利用圖形的性質(zhì)，挖掘出某些隱含條，找到簡捷解法.
3.運(yùn)用公式d＝C1－C2A2＋B2求兩平行直線之間的距離時，要注意把兩直線方程中x、y的系數(shù)化成分別對應(yīng)相等.
8.3 圓的方程
典例精析
題型一 求圓的方程
【例1】求經(jīng)過兩點(diǎn)A(－1,4)，B(3,2)且圓心在y軸上的圓的方程.
【解析】方法一：設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則圓心為(－D2，－E2)，
由已知得 即
解得 D＝0，E＝－2，F(xiàn)＝－9，所求圓的方程為x2＋y2－2y－9＝0.
方法二：經(jīng)過A(－1,4)，B(3,2)的圓，其圓心在線段AB的垂直平分線上，
AB的垂直平分線方程為y－3＝2(x－1)，即y＝2x＋1.
令x＝0，y＝1，圓心為(0,1)，r＝(3－0)2＋(2－1)2＝10 ，
圓的方程為x2＋(y－1)2＝10.
【點(diǎn)撥】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程都有三個參數(shù)，只要求出a、b、r或D、E、F，則圓的方程確定，所以確定圓的方程需要三個獨(dú)立條.
【變式訓(xùn)練1】已知一圓過P(4，－2)、Q(－1,3)兩點(diǎn)，且在y軸上截得的線段長為43，求圓的方程.
【解析】設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，①
將P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入①得
令x＝0，由①得y2＋Ey＋F＝0，④
由已知y1－y2＝43，其中y1、y2是方程④的兩根.
所以(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48，⑤
解②、③、⑤組成的方程組，得
D＝－2，E＝0，F(xiàn)＝－12或D＝－10，E＝－8，F(xiàn)＝4，
故所求圓的方程為x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.
題型二 與圓有關(guān)的最值問題
【例2】若實(shí)數(shù)x，y滿足(x－2)2＋y2＝3.求：
(1)yx的最大值和最小值；
(2)y－x的最小值；
(3)(x－4)2＋(y－3)2的最大值和最小值.
【解析】(1)yx＝y(tǒng)－0x－0，即連接圓上一點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的直線的斜率，因此 yx的最值為過原點(diǎn)的直線與圓相切時該直線的斜率，設(shè)yx＝k，y＝kx，kx－y＝0.
由2kk2＋1＝3，得k＝±3，所以yx的最大值為3，yx的最小值為－3.
(2)令x－2＝3cos α，y＝3sin α，α∈[0,2π).
所以y－x＝3sin α－3cos α－2＝6sin(α－π4)－2，
當(dāng)sin(α－π4)＝－1時，y－x的最小值為－6－2.
(3)(x－4)2＋(y－3)2是圓上點(diǎn)與點(diǎn)(4,3)的距離的平方，因?yàn)閳A心為A(2,0)，B(4,3)，
連接AB交圓于C，延長BA交圓于D.
AB＝(4－2)2＋(3－0)2＝13，則BC＝13－3，BD＝13＋3，
所以(x－4)2＋(y－3)2的最大值為(13＋3)2，最小值為(13－3)2.
【點(diǎn)撥】涉及與圓有關(guān)的最值問題，可借助圖形性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合求解，一般地：①形如U＝y(tǒng)－bx－a形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題；②形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為圓心已定的動圓半徑的最值問題.
【變式訓(xùn)練2】已知實(shí)數(shù)x，y滿足x2＋y2＝3(y≥0).試求m＝y(tǒng)＋1x＋3及b＝2x＋y的取值范圍.
【解析】如圖，m可看作半圓x2＋y2＝3(y≥0)上的點(diǎn)與定點(diǎn)A(－3，－1)連線的斜率，b可以看作過半圓x2＋y2＝3(y≥0)上的點(diǎn)且斜率為－2的直線的縱截距.
由圖易得3－36≤m≤3＋216，－23≤b≤15.
題型三 圓的方程的應(yīng)用
【例3】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)與兩坐標(biāo)軸有三個交點(diǎn)，經(jīng)過三個交點(diǎn)的圓記為C.
(1)求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
(2)求圓C的方程；
(3)問圓C是否經(jīng)過定點(diǎn)(其坐標(biāo)與b無關(guān))？請證明你的結(jié)論.
【解析】(1)令x＝0，得拋物線與y軸交點(diǎn)是(0，b)，
由題意b≠0，且Δ＞0，解得b＜1且b≠0.
(2)設(shè)所求圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，這與x2＋2x＋b＝0是同一個方程，故D＝2，F(xiàn)＝b.
令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，此方程有一個根為b，代入得出E＝－b－1.
所以圓C的方程為x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0.
(3)圓C必過定點(diǎn)，證明如下：
假設(shè)圓C過定點(diǎn)(x0，y0)(x0，y0不依賴于b)，將該點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓C的方程，
并變形為x20＋y20＋2x0－y0＋b(1－y0)＝0，(*)
為使(*)式對所有滿足b＜1(b≠0)的b都成立，必須有1－y0＝0，
結(jié)合(*)式得x20＋y20＋2x0－y0＝0，
解得 或
經(jīng)檢驗(yàn)知，點(diǎn)(0,1)，(－2,1)均在圓C上，因此圓C過定點(diǎn).
【點(diǎn)撥】本題(2)的解答用到了代數(shù)法求過三點(diǎn)的圓的方程，體現(xiàn)了設(shè)而不求的思想.(3)的解答同樣運(yùn)用了代數(shù)的恒等思想，同時問題體現(xiàn)了較強(qiáng)的探究性.
【變式訓(xùn)練3】(2010安徽)動點(diǎn)A(x，y)在圓x2＋y2＝1上繞坐標(biāo)原點(diǎn)沿逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，12秒旋轉(zhuǎn)一周.已知時間t＝0時，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(12，32)，則當(dāng)0≤t≤12時，動點(diǎn)A的縱坐標(biāo)y關(guān)于t(單位：秒)的函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是( )
A.[0,1] B.[1,7]C.[7,12] D.[ 0,1]和[7,12]
【解析】選D.由題意知角速度為2π12＝π6，故可得y＝sin(π6t＋π3),0≤t≤12，
π3≤π6t＋π3≤π2或32π≤π6t＋π3≤52π，所以0≤t≤1或7≤t≤12.
所以單調(diào)遞增區(qū)間為[0,1]和[7,12].
總結(jié)提高
1.確定圓的方程需要三個獨(dú)立條，“選標(biāo)準(zhǔn)，定參數(shù)”是解題的基本方法.一般講，條涉及圓上的多個點(diǎn)，可選擇一般方程；條涉及圓心和半徑，可選圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
2.解決與圓有關(guān)的問題，應(yīng)充分運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)幫助解題.解決與圓有關(guān)的最值問題時，可根據(jù)代數(shù)式子的幾何意義，借助于平面幾何知識，數(shù)形結(jié)合解決.也可以利用圓的參數(shù)方程解決最值問題.
8.4直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系
典例精析
題型一 直線與圓的位置關(guān)系的判斷
【例1】已知圓的方程x2＋y2＝2，直線y＝x＋b，當(dāng)b為何值時，
(1)直線與圓有兩個公共點(diǎn)；
(2)直線與圓只有一個公共點(diǎn).
【解析】方法一：(幾何法)
設(shè)圓心O(0,0)到直線y＝x＋b的距離為d，d＝b12＋12＝b2，半徑r＝2.
當(dāng)d＜r時，直線與圓相交，b2＜2，－2＜b＜2，
所以當(dāng)－2＜b＜2時，直線與圓有兩個公共點(diǎn).
當(dāng)d＝r時，直線與圓相切， b2＝2，b＝±2，
所以當(dāng)b＝±2時，直線與圓只有一個公共點(diǎn).
方法二：(代數(shù)法)
聯(lián)立兩個方程得方程組
消去y得2x2＋2bx＋b2－2＝0，Δ＝16－4b2.
當(dāng)Δ＞0，即－2＜b＜2時，有兩 個公共點(diǎn)；
當(dāng)Δ＝0，即b＝±2時，有一個公共點(diǎn).
【點(diǎn)撥】解決直線與圓的位置關(guān)系的問題時，要注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，既要運(yùn)用平面幾何中有關(guān)圓的性質(zhì)，又要結(jié)合待定系數(shù)法運(yùn)用直線方程中的基本關(guān)系，養(yǎng)成勤畫圖的良好習(xí)慣.
【變式訓(xùn)練1】圓2x2＋2y2＝1與直線xsin θ＋y－1＝0(θ∈R，θ≠kπ＋π2，k∈Z)的位置關(guān)系是( )
A.相離B.相切C.相交 D.不能確定
【解析】選A.易知圓的半徑r＝22，設(shè)圓心到直線的距離為d，則d＝1sin2θ＋1.
因?yàn)棣取佴?＋kπ，k∈Z.所以0≤sin2θ＜1，
所以22＜d≤1，即d＞r，所以直線與圓相離.
題型二 圓與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用
【例2】如果圓C：(x－a)2＋(y－a)2＝4上總存在兩個點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【解析】到原點(diǎn)的距離等于1的點(diǎn)在單位圓O：x2＋y2＝1上.當(dāng)圓C與圓O有兩個公共點(diǎn)時，符合題意，故應(yīng)滿足2－1＜OC＜2＋1，
所以1＜a2＋a2＜3，即22＜a＜322，
所以－322＜a＜－22或22＜a＜322為所求a的范圍.
【變式訓(xùn)練2】兩圓(x＋1)2＋(y－1)2＝r2和(x－2)2＋(y＋2)2＝R2相交于P，Q兩點(diǎn)，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,2)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為 .
【解析】由兩圓的方程可知它們的圓心坐標(biāo)分別為(－1,1)，(2，－2)，則過它們圓心的直線方程為x－(－1)2－(－1)＝y(tǒng)－1－2－1，即y＝－x.
根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知兩圓的交點(diǎn)應(yīng)關(guān)于過它們圓心的直線對稱.
故由P(1,2)可得它關(guān)于直線y＝－x的對稱點(diǎn)，即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(－2，－1).
題型三 圓的弦長、中點(diǎn)弦的問題
【例3】已知點(diǎn)P(0,5)及圓C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.
(1)若直線l過點(diǎn)P且被圓C截得的線段長為43，求l的方程；
(2)求圓C內(nèi)過點(diǎn)P的弦的中點(diǎn)的軌跡方程.
【解析】(1)如圖，AB＝43，D是AB的中點(diǎn)，則AD＝23，AC＝4，
在Rt△ADC中，可得CD＝2.
設(shè)所求直線的斜率為k，則直線的方程為 y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.由點(diǎn)C到直線的距離公式－2k－6＋5k2＋1＝2，
得k＝34，此時直線l的方程為3x－4y＋20＝0.
又直線l的斜率不存在時，也滿足題意，此時的方程為x＝0.
所以所求直線為x＝0或3x－4y＋20＝0. (也可以用弦長公式求解)
(2)設(shè)圓C上過點(diǎn)P的弦的中點(diǎn)為D(x，y)，
因?yàn)镃D⊥PD，所以 ＝0，即(x＋2，y－6)•(x，y－5)＝0，
化簡得軌跡方程x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.
【點(diǎn)撥】在研究與弦的中點(diǎn)有關(guān)問題時，注意運(yùn)用“平方差法”，即設(shè)弦AB兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，中點(diǎn)為(x0，y0)，
由 得k＝y(tǒng)1－y2x1－x2＝－x1＋x2y1＋y2＝－x0y0.
該法常用解決與弦的中點(diǎn)、直線的斜率有關(guān)的問題.
【變式訓(xùn)練3】已知圓的方程為x2＋y2－6x－8y＝0，設(shè)該圓過點(diǎn)(3,5)的最長弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為( )
A.106B.206 C.306D.406
【解析】選B.圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程(x－3)2＋(y－4)2＝25，過點(diǎn)(3,5)的最長弦為AC＝10，最短弦為BD＝252－12＝46，S＝12AC•BD＝206.
總結(jié)提高
1.解決直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系有代數(shù)法和幾何法兩種，用幾何法解題時要注意抓住圓的幾何特征，因此常常要比代數(shù)法簡捷.例如，求圓的弦長公式比較復(fù)雜，利用l＝2R2－d2(R表示圓的半徑，d表示弦心距)求弦長比代數(shù)法要簡便.
2.處理直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系，要全面地考查各種位置關(guān)系，防止漏解，如設(shè)切線為點(diǎn)斜式，要考慮斜率不存在的情況是否合題意，兩圓相切應(yīng)考慮外切和內(nèi)切兩種情況.
3.處理直線與圓的位置關(guān)系時，特別是有關(guān)交點(diǎn)問題時，為避免計算量過大，常采用“設(shè)而不求”的方法.
8.5 直線與圓的綜合應(yīng)用
典例精析
題型一 直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用
【例1】已知圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝25及直線l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4 (m∈R).
(1)求證：不論m為何值，直線l恒過定點(diǎn)；
(2)判斷直線l與圓C的位置關(guān)系；
(3)求直線l被圓截得的弦長最短時的弦長及此時直線的方程.
【解析】(1)證明：直線方程可寫作x＋y－4＋m(2x＋y－7)＝0，
由方程組 可得
所以不論m取何值，直線l恒過定點(diǎn)(3,1).
(2)由(3－1)2＋(1－2)2＝5＜5，
故點(diǎn)(3,1)在圓內(nèi)，即不論m取何值，直線l總與圓C相交.
(3)由平面幾何知識可知，當(dāng)直線與過點(diǎn)(3,1)的直徑垂直時，弦AB最短.
AB＝2r2－C2＝225－[(3－1)2＋(1－2)2]＝45，
此時 k＝－1kC，即－2m＋1m＋1＝－1－12＝2，
解得m＝－34，代入原直線方程，得l的方程為2x－y－5＝0.
【點(diǎn)撥】解決弦長問題時，可利用弦長的幾何意義求解.
【變式訓(xùn)練1】若函數(shù)f(x)＝－1beax的圖象在x＝0處的切線l與圓C：x2＋y2＝1相離，則P(a，b)與圓C的位置關(guān)系是( )
A.在圓外B.在圓內(nèi)C.在圓上D.不能確定
【解析】選B.f(x)＝－1beax⇒f′(x)＝－abeax⇒f′(0)＝－ab.
又f(0)＝－1b，所以切線l的方程為y＋1b＝－ab(x－0)，即ax＋by＋1＝0，
由l與圓C：x2＋y2＝1相離得1a2＋b2＞1⇒a2＋b2＜1，即點(diǎn)P(a，b)在圓內(nèi)，故選B.
題型二 和圓有關(guān)的對稱問題
【例2】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，曲線x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上有兩點(diǎn)P、Q關(guān)于直線x＋my＋4＝0對稱，又滿足 • ＝0.
(1)求m的值；
(2)求直線PQ的方程.
【解析】(1)曲線方程可化為(x＋1)2＋(y－3)2＝9，是圓心為(－1,3)，半徑為3的圓.
因?yàn)辄c(diǎn)P，Q在圓上且關(guān)于直線x＋my＋4＝0對稱，
所以圓心(－1,3)在直線x＋my＋4＝0上，代入得m＝－1.
(2)因?yàn)橹本�PQ與直線y＝x＋4垂直，所以設(shè) P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
則直線PQ的方程為y＝－x＋b.將直線y＝－x＋b代入圓的方程，得2x2＋2(4－b)x＋b2－6b＋1＝0，Δ＝4(4－b)2－4×2(b2－6b＋1)＞0，解得2－32＜b＜2＋32.
x1＋x2＝b－4，x1x2＝b2－6b＋12，
y1y2＝(－x1＋b)(－x2＋b)＝b2－b(x1＋x2)＋x1x2＝b2＋2b＋12，
因?yàn)?• ＝0，所以x1x2＋y1y2＝0，
即b2－6b＋12＋b2＋2b＋12＝0，得b＝1.
故所求的直線方程為y＝－x＋1.
【點(diǎn)撥】平面向量與圓的交匯是平面解析幾何的一個熱點(diǎn)內(nèi)容，解題時，一方面要能夠正確地分析用向量表達(dá)式給出的題目的條，將它們轉(zhuǎn)化為圖形中相應(yīng)的位置關(guān)系，另一方面還要善于運(yùn)用向量的運(yùn)算解決問題.
【變式訓(xùn)練2】若曲線x2＋y2＋x－6y＋3＝0上兩點(diǎn)P、Q滿足①關(guān)于直線kx－y＋4＝0對稱；②OP ⊥OQ，則直線PQ的方程為 .
【解析】由①知直線kx－y＋4＝0過圓心(－12，3)，所以k＝2，故kPQ＝－12.
設(shè)直線PQ的方程為y＝－12x＋t，與圓的方程聯(lián)立消去y，
得54x2＋(4－t)x＋t2－6t＋3＝0.(*)
設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由于OP⊥OQ，所以x1x2＋y1y2＝0，
即x1x2＋(－12x1＋t)(－12x2＋t)＝0，所以(x1＋x2)(－12t)＋54x1x2＋t2＝0.
由(*)知，x1＋x2＝4(t－4)5，x1x2＝4(t2－6t＋3)5，代入上式，解得t＝32或t＝54.
此時方程(*)的判別式Δ＞0. 從而直線的方程為y＝－12x＋32或y＝－12x＋54，
即x＋2y－3＝ 0或2x＋4y－5＝0為所求直線方程.
題型三 與圓有關(guān)的最值問題
【例3】求與直線x＋y－2＝0和曲線x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半徑最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【解析】曲線x2＋y2－12x－12y＋54＝0可化為
(x－6)2＋(y－6)2＝18，它表示圓心為(6,6)，半徑為32的圓.
作出直線x＋y－2＝0與圓(x－6)2＋(y－6)2＝18，
由圖形可知，當(dāng)所求圓的圓心在直線y＝x上時，半徑最小.
設(shè)其半徑 為r，點(diǎn)(6,6)到直線x＋y＝2的距離為52，所以2r＋32＝52，即r＝2，
點(diǎn)(0,0)到直線x＋y＝2的距離為2，
所求圓的圓心為(22cos 45°，22sin 45°)，即(2,2)，
故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－2)2＝2.
【點(diǎn)撥】解決與圓有關(guān)的最值問題時，要借助圖形的幾何性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合求解.
【變式訓(xùn)練3】由直線y＝x＋1上的點(diǎn)向圓C：(x－3)2＋(y＋2)2＝1引切線，則切線長的最小值為( )
A.17B.32C.19D.25
【解析】選A.設(shè)為直線y＝x＋1上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)的切線長為l，則l＝C2－r2，當(dāng)C2最小時，l最小，此時C與直線y＝x＋1垂直，即C2min＝(3＋2＋12)2＝18，故l的最小值為17.
總結(jié)提高
1.解決直線與圓的綜合問題時，一方面，我們要注意運(yùn)用解析幾何的基本思想方法(即幾何問題代數(shù)化)，把它轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，通過代數(shù)的計算，使問題得到解決；另一方面，由于直線與圓和平面幾何聯(lián)系得非常緊密，因此，我們要勤動手，準(zhǔn)確地作出圖形，并充分挖掘幾何圖形中所隱含的條，利用幾何知識使問題較為簡捷地得到解決，即注意圓的幾何性質(zhì)的運(yùn)用.
2.解決直線與圓的綜合問題時，經(jīng)常要用到距離，因此兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式要熟練掌握，靈活運(yùn)用.
3.綜合運(yùn)用直線的有關(guān)知識解決諸如中心對稱、軸對稱等一些常見的問題.
本文來自：逍遙右腦記憶 http://yy-art.cn/gaosan/47622.html
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