2013.4
學(xué)校_____________班級(jí)_______________姓名______________考號(hào)___________
本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分，第Ⅰ卷1至2頁(yè)，第Ⅱ卷3至5頁(yè)，共150分�？荚嚂r(shí)長(zhǎng)120分鐘�？忌鷦�(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效�？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
第Ⅰ卷（ 共40分）
一、本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。
（1）已知全集 ，集合 ，那么集合 為
（A） （B） （C） （D）
（2）已知 為平行四邊形，若向量 ， ，則向量 為
（A） （B）
（C） （D）
（3）已知圓的方程為 ，那么該圓圓心到直線 （ 為參數(shù)）的距離為
（A） （B） （C） （D）
（4）某游戲規(guī)則如下：隨機(jī)地往半徑為1的圓內(nèi)投擲飛標(biāo)，若飛標(biāo)到圓心的距離大于 ，則成績(jī)?yōu)榧案�；若飛標(biāo)到圓心的距離小于 ，則成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀；若飛標(biāo)到圓心的距離大于 且小于 ，則成績(jī)?yōu)榱己�，那么在所有投擲到圓內(nèi)的飛標(biāo)中得到成績(jī)?yōu)榱己玫母怕蕿?br />（A） （B） （C） （D）
（5）已知數(shù)列 中， ， ， ，那么數(shù)列 的前 項(xiàng)和等于
（A） （B） （C） （D）
（6）已知 ， 分別是雙曲線 ： 的兩個(gè)焦點(diǎn)，雙曲線 和圓 ： 的一個(gè)交點(diǎn)為 ，且 ，那么雙曲線 的離心率為
（A） （B） （C） （D）
（7）已知定義在 上的函數(shù) 的對(duì)稱軸為 ，且當(dāng) 時(shí)， .若函數(shù) 在區(qū)間 （ ）上有零點(diǎn)，則 的值為
（A） 或 （B） 或 （C） 或 （D） 或
（8）已知向量 ， ， 是坐標(biāo)原點(diǎn)，若 ，且 方向是沿 的方向繞著 點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 角得到的，則稱 經(jīng)過(guò)一次 變換得到 .現(xiàn)有向量 經(jīng)過(guò)一次 變換后得到 ， 經(jīng)過(guò)一次 變換后得到 ，…，如此下去， 經(jīng)過(guò)一次 變換后得到 .設(shè) ， ， ，則 等于
（A） （B）
（C） （D）
第Ⅱ卷（共110分）
二、題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。
（9）復(fù)數(shù) 的虛部是 .
（10） 的展開(kāi)式中 的系數(shù)是 ．
（11）如圖是甲、乙兩名同學(xué)進(jìn)入高中以來(lái) 次體育測(cè)試成績(jī)的莖葉圖，則甲 次測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)是 ，乙 次測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)與中位數(shù)之差是 ．
（12）如圖，已知 與圓 相切于 ，半徑 ， 交
于 ，若 , ，則 ， ．
（13）有甲、乙、丙在內(nèi)的6個(gè)人排成一排照相，其中甲和乙必須相鄰，
丙不排在兩頭，則這樣的排法共有 種．
（14）數(shù)列{an}的各項(xiàng)排成如圖所示的三角形形狀，其中每一行比上一
行增加兩項(xiàng)，若 ， 則位于第10行的第8列的項(xiàng)
等于 ， 在圖中位于 ．（填第幾行的第幾列）
三、解答題：本大題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。
（15）（本小題共13分）
在△ 中，三個(gè)內(nèi)角 ， ， 的對(duì)邊分別為 ， ， ，且 ．
（Ⅰ）求角 ；
（Ⅱ）若 ，求 的最大值．
（16）（本小題共14分）
如圖，已知 是直角梯形，且 ，平面 平面 ， ， ， ， 是 的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證： 平面 ；
（Ⅱ）求平面 與平面 所成銳二面角大小的余弦值．
（17）（本小題共13分）
某班聯(lián)歡會(huì)舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，現(xiàn)有六張分別標(biāo)有1，2，3，4，5，6六個(gè)數(shù)字的形狀相同的卡片，其中標(biāo)有偶數(shù)數(shù)字的卡片是有獎(jiǎng)卡片，且獎(jiǎng)品個(gè)數(shù)與卡片上所標(biāo)數(shù)字相同，游戲規(guī)則如下：每人每次不放回抽取一張，抽取兩次.
（Ⅰ）求所得獎(jiǎng)品個(gè)數(shù)達(dá)到最大時(shí)的概率；
（Ⅱ）記獎(jiǎng)品個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量 ，求 的分布列及數(shù)學(xué)期望.
（18）（本小題共14分）
已知函數(shù) ，（ 為常數(shù)， 為自然對(duì)數(shù)的底）．
（Ⅰ）當(dāng) 時(shí)，求 ；
（Ⅱ）若 在 時(shí)取得極小值，試確定 的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，設(shè)由 的極大值構(gòu)成的函數(shù)為 ，將 換元為 ，試判斷曲線 是否能與直線 （ 為確定的常數(shù)）相切，并說(shuō)明理由．
（19）（本小題共13分）
已知橢圓 的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為 ， ，離心率為 ，過(guò) 的直線 與橢圓 交于 ， 兩點(diǎn)，且△ 的周長(zhǎng)為 ．
（Ⅰ）求橢圓 的方程；
（Ⅱ）過(guò)原點(diǎn) 的兩條互相垂直的射線與橢圓 分別交于 ， 兩點(diǎn)，證明：點(diǎn) 到直線 的距離為定值，并求出這個(gè)定值．
（20）（本小題共13分）
設(shè) 是由 個(gè)有序?qū)崝?shù)構(gòu)成的一個(gè)數(shù)組，記作： .其中 稱為數(shù)組 的“元”， 稱為 的下標(biāo). 如果數(shù)組 中的每個(gè)“元”都是來(lái)自 數(shù)組 中不同下標(biāo)的“元”，則稱 為 的子數(shù)組. 定義兩個(gè)數(shù)組 ， 的關(guān)系數(shù)為 .
（Ⅰ）若 ， ，設(shè) 是 的含有兩個(gè)“元”的子數(shù)組，求 的最大值；
（Ⅱ）若 ， ，且 ， 為 的含有三個(gè)“元”的子數(shù)組，求 的最大值；
（Ⅲ）若數(shù)組 中的“元”滿足 .設(shè)數(shù)組 含有四個(gè)“元” ，且 ，求 與 的所有含有三個(gè)“元”的子數(shù)組的關(guān)系數(shù) 的最大值.
北京市東城區(qū)2014-2013學(xué)年度第二學(xué)期高三綜合練習(xí)（一）
數(shù)學(xué)參考答案 （理科）
一、（本大題共8小題，每小題5分，共40分）
（1）B （2）C （3）C （4）A
（5）C （6）D （7）A （8）B
二、題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）
（9） （10） （11）
（12） （13） （14） 第 行的第 列
注：兩個(gè)空的填空題第一個(gè)空填對(duì)得3分，第二個(gè)空填對(duì)得2分．
三、解答題（本大題共6小題，共80分）
（15）（共13分）
解：（Ⅰ）因?yàn)?，
由正弦定理可得 ，
因?yàn)樵凇?中， ，
所以 .
又 ，
所以 .
（Ⅱ）由余弦定理 ，
因?yàn)?， ，
所以 .
因?yàn)?，
所以 .
當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)， 取得最大值 .
（16）（共14分）
證明（Ⅰ）取 的中點(diǎn) ，連結(jié) ， ．
因?yàn)?是 的中點(diǎn)，
所以 ， ．
因?yàn)?，且 ，
所以 ，且 ，
所以四邊形 是平行四邊形．
所以 ．
因?yàn)?平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
（Ⅱ）因?yàn)?，平面 平面 ，
所以以點(diǎn) 為原點(diǎn)，直線 為 軸，直線 為 軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 ，則 軸在平面 內(nèi)．
由已知可得 ， ， ， ．
所以 ， ，
設(shè)平面 的法向量為 ．
由
所以
取 ，
所以 ．
又因?yàn)槠矫?的一個(gè)法向量為
．
所以 ．
即平面 與平面 所成銳二面角大小的余弦值為 ．
（17）（共13分）
（Ⅰ）由題意可知所得獎(jiǎng)品個(gè)數(shù)最大為10，概率為：
．
（Ⅱ） 的可能取值是： ．
0246810
所以 ．
（18）（共14分）
解：（Ⅰ）當(dāng) 時(shí)， ．
．
所以 ．
（Ⅱ）
．
令 ，得 或 ．
當(dāng) ，即 時(shí)，
恒成立，
此時(shí) 在區(qū)間 上單調(diào)遞減，沒(méi)有極小值；
當(dāng) ，即 時(shí)，
若 ，則 ．
若 ，則 ．
所以 是函數(shù) 的極小值點(diǎn)．
當(dāng) ，即 時(shí)，
若 ，則 ．
若 ，則 ．
此時(shí) 是函數(shù) 的極大值點(diǎn)．
綜上所述，使函數(shù) 在 時(shí)取得極小值的 的取值范圍是 ．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知當(dāng) ，且 時(shí)， ，
因此 是 的極大值點(diǎn)，極大值為 ．
所以 ．
．
令 ．
則 恒成立，即 在區(qū)間 上是增函數(shù)．
所以當(dāng) 時(shí)， ，即恒有 ．
又直線 的斜率為 ，
所以曲線 不能與直線 相切．
（19）（共13分）
解：（I）由題意知， ，所以 ．
因?yàn)?br />所以 ，
所以 ．
所以橢圓 的方程為 ．
（II）由題意,當(dāng)直線 的斜率不存在，此時(shí)可設(shè) ， .
又 ， 兩點(diǎn)在橢圓 上，
所以 ， ．
所以點(diǎn) 到直線 的距離 ．
當(dāng)直線 的斜率存在時(shí)，設(shè)直線 的方程為 ．
由 消去 得
．
由已知 ．
設(shè) ， ．
所以 ， ．
因?yàn)?，
所以 ．
所以 ．
即 ．
所以 ．
整理得 ，滿足 ．
所以點(diǎn) 到直線 的距離
為定值．
（20）（共13分）
解：（Ⅰ）依據(jù)題意，當(dāng) 時(shí)， 取得最大值為2．
（Ⅱ）①當(dāng) 是 中的“元”時(shí)，由于 的三個(gè)“元”都相等及 中 三個(gè)“元”的對(duì)稱性，可以只計(jì)算 的最大值，其中 ．
由 ，
得 ．
當(dāng)且僅當(dāng) ，且 時(shí)， 達(dá)到最大值 ，
于是 ．
②當(dāng) 不是 中的“元”時(shí)，計(jì)算 的最大值，
由于 ，
所以 ．
，
當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立．
即當(dāng) 時(shí)， 取得最大值 ，此時(shí) ．
綜上所述， 的最大值為1．
（Ⅲ）因?yàn)?滿足 ．
由 關(guān)系的對(duì)稱性，只需考慮 與 的關(guān)系數(shù)的情況．
當(dāng) 時(shí)，有 ．
．
即 ，且 ， ， 時(shí)，
的最大值為 ．
當(dāng) 時(shí)， ，
得 最大值小于 ．
本文來(lái)自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/gaosan/68498.html
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