2013-2014學(xué)年度下學(xué)期期中考試
高 一 年級(jí) 數(shù)學(xué)（理科）試題
考試時(shí)間： 120分鐘 試題分?jǐn)?shù)：150分
一、（本題共12小題，每小題5分，共60分）
1．已知全集 ，集合 ，則 等于 （ ）
A. B. C. D.
2．已知 ，則 （ ）
A． B．—1C．1D．0
3．函數(shù) 的零點(diǎn)有（ ）
A． 個(gè) B． 個(gè) C． 個(gè) D． 個(gè)
4. 已知兩條直線 和 互相平行，則 等于（ ）
A． 或- B． 或 C． 或 D． 或
5. 函數(shù) ，任取一點(diǎn) ，使 的概率( )
A. B. C. D.
6．函 數(shù) （其中 ）的圖象如圖所示，為了得到 的圖像，則只要將 的圖像（ ）
A．向右平移 個(gè) 單位長(zhǎng)度 B．向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度
C．向左平移 個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向左平移 個(gè)單位長(zhǎng)度:學(xué)§科
7．若函數(shù) 與 在區(qū)間[1,2]上都是減函數(shù)，則 的取值范圍是（ ）
A．（-1,0） B．（-1,0）∪（0,1] C．（0,1] D．（0,1）
8.函數(shù)f(x)＝sin2x＋2cosx在區(qū)間[－23π，θ]上的最大值為1，則θ的值是( )
A.0 B.π3 C.π2 D.－π2
9．已知直線 ,直線 ，則下列四個(gè)命題：① ；② ；③ ；④ .其中正確的是( ).
A、①② B、③④ C、①③ D、②④
10. 設(shè)向量 ， 滿足： ， ， ．以 ， ， 的模為邊長(zhǎng)構(gòu)成三角形，則它的邊與半徑為 的圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為u.c.o.m （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
11. 定義在R上的偶函數(shù) 滿足 ，當(dāng) 時(shí)， ，則 （ ）
A． B．
C． D．
12.圖1是某高校參加2010年上海世博會(huì)志愿者選拔的學(xué)生身高的條形統(tǒng)計(jì)圖，從左到右各表示學(xué)生人數(shù)依次記為A1、A2、…、A10（如A2表示身高（單位：cm）在[150，155 內(nèi)的人數(shù)）.圖2是統(tǒng)計(jì)圖1中身高在一定范圍內(nèi)學(xué)生人數(shù)的一個(gè)算法流程圖.現(xiàn)要統(tǒng)計(jì)身高在[160，180 內(nèi)的學(xué)生人數(shù)，那么在流程圖中的判斷框內(nèi)應(yīng)填寫(xiě)的條件是（ ）
A．i<6 B．i<7
C．i<8 D．i<9
二、題（每小題5分,共20分）
13. 函數(shù) 的最小值是 。
14. 在等邊三角形ABC中,點(diǎn) 在線段 上，滿足 ，若 ，則實(shí)數(shù) 的值是___________．
15.直線 被圓 截得弦長(zhǎng)的最小值為 。
16．把邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD沿對(duì)角線BD折起，形成三 棱錐C－ABD，它的主視圖與俯視圖如右上圖所示，則二面角 C－AB－D的正切值為
三、解答題
17. (本小題滿分10分)
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。
(1)求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形兩條對(duì)角線的長(zhǎng)；
(2)設(shè)實(shí)數(shù)t滿足( )? =0，求t的值。
18.（本小題滿分12分）
設(shè)平面向量 ＝ （ m , -1）, = ( 2 , n )，其中 m， n {-2,-1,1,2}．
（1）記“使得 // 成立的（ m，n ）”為事件A，求事件A發(fā)生的概率；
（2）記“使得 ⊥（ -2 ）成立的（ m，n ）”為事件B，求事件B發(fā)生的概率.
19.（本小題12分）
已知函數(shù) 的圖象在 軸上的截距為1，在相鄰兩最值點(diǎn) ， 上 分別取得最大值和最小值．
⑴求 的解析式；
⑵若函數(shù) 滿足方程 求在 內(nèi)的所有實(shí)數(shù)根之和。
20.（本小題滿分12分）
如圖，已知矩形 所在平面與矩形 所在平面垂直， ， =1， ， 是線段 的中點(diǎn).
（1）求證： 平面 ；
（2）求多面體 的表面積；
（3）求多面體 的體積.
21．（本小題12分）
設(shè) ，函數(shù) 的定義域?yàn)?且 ，
當(dāng) 時(shí)有
（1）求 ；
（2）求 的值；
（3）求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間．
22．(本小題滿分12分)
在直角坐標(biāo)系 中，以坐標(biāo)原點(diǎn) 為圓心的圓與直線： 相切。
（1）求圓 的方程；
（2）若圓 上有兩點(diǎn) 關(guān)于直線 對(duì)稱(chēng)，且 ,求直線MN的方程；
（3）圓 與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，圓內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P使PA、PO、PB成等比數(shù)列，求 的取值范圍。
高一理科數(shù)學(xué)答案詳解
A卷CCAADA DDDBCC B卷CDABCA CDCBCC
-1， , ,
17.解：（1）方法一：由題設(shè)知 ，則
……2分
所以
故所求的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為 、 ……5分
（2）由題設(shè)知： =(－2,－1)， �！�7分
由( )? =0，得： ，
從而 所以 ……10分
18．解：（1）有序數(shù)組（m,n）的所有可能結(jié)果為：（-2，-2），（-2，-1），（-2，1），（-2，2），（-1，-2），（-1，-1），（-1，1），（-1，2），(1,-2)，（1，-1），（1，1），（1，2）,(2,-2)，（2，-1），（2，1），（2，2）共有16種. ………2分
使得 // 成立的（ m，n ）,滿足：mn=-2
事件A有（-2，1），（-1，2）,（1，-2）,（2，-1）4種. ……………4分
故所求的概率為： ……………………6分
（2）使得 ⊥（ -2 ）成立的（ m，n ）滿足：
即： ………9分
事件B有：（1,1）一種 ……………………………10分
故所求的概率為： …………………………………12分
19. 解：（1）依題意，得：
， …………2分
最大值為2，最小值為－2，
…………4分
圖象經(jīng)過(guò) ， ，即
又 ， …………6分
（2）∵ 的周期 ，∴函數(shù) 在 上恰好是三個(gè)周期。函數(shù) 與 在在 內(nèi)有6個(gè)交點(diǎn)。…………8分由于函數(shù) 的圖象具有對(duì)稱(chēng)性，數(shù)形結(jié)合可知：方程 有6個(gè)實(shí)數(shù)根。且前兩個(gè)根關(guān)于直線 對(duì)稱(chēng)，所以前兩根之和1。 …………10分
再由周期性可知：中間兩根之和為1+6=7，后兩根之和為1+12=13………11分
所以方程 在 內(nèi)的所有實(shí)數(shù)根之和為1+7+13=21�！�12分
20.解：（1）連接 交 于點(diǎn) ,連接 , …… 1分
在矩形 中， 為中點(diǎn)， , ……… 3 分
, ，
平面 . ………… 4分
（2）由題設(shè)和圖形易知:
CE⊥面ABCD ， …………… 5分
………… 6分
, …7分
. ……………8分
（3）過(guò)點(diǎn) 在面 內(nèi)作 垂直于 點(diǎn) ，則 面 ，
即 的大小為四棱錐 - 的高， = = ， ………10分
= . ……………………12分
21.解：（1）對(duì)f[(x+y)/2]=f(x)sinα+(1- sinα)f(y)，
令x=1，y=0，得f(1/2)=sinα；……2分
令x=1/2，y=0，得f(1/4)=sin²α；……4分
(2)令x=1，y=1/2，得f(3/4)=2 sinα-sin²α；
令x=3/4，y=1/4，得f(1/2)=3sin²α-2 sin³α；
兩個(gè)f(1/2)相等，得sinα=3sin²α-2 sin³α，結(jié)合a∈(0，π/2)可解得sinα=1/2。 ……8分
(3)
單調(diào)增區(qū)間為 ……12分
22.解：（1）依題設(shè)，圓 的半徑 等于原點(diǎn) 到直線 的距離，
即 ．
得圓 的方程為 ． ………………3分
（2）由題意，可設(shè)直線MN的方程為 。
則圓心 到直線MN的距離 。 ………………4分
由垂徑分弦定理得： ，即 。
所以直線MN的方程為： 或 �！�6分
（3）不妨設(shè) ．由 得 ．
設(shè) ，由 成等比數(shù)列，得
，即 ． …………8分
∴ =
由于點(diǎn) 在圓 內(nèi)，故 由此得 ． …………10分
本文來(lái)自：逍遙右腦記憶 http://yy-art.cn/gaoyi/56321.html
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